一元函数的导数及其应用-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第03讲一元函数的导数及其应

（新高考专用）

一、单项选择题

1.（2024・全国•高考真题）设函数fO）==署，则曲线y=f（久）在点（0,1）处的切线与两坐标轴所围成的

三角形的面积为（）

A-1B-Ic1D-t

【解题思路】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即

可得其面积.

[解答过程]f'8=厘+2必以1+/)字+2sinx>2x,

(1+N)

(e°+2cos0)(l+0)—(e0+2sin0)x0

则八0）==3,

(1+0)2

即该切线方程为y—1=3%,即y=3久+1,

令x=0,则y=l,令y=0,则

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=ixlx|-1|=|.

2I316

故选：A.

2.（2O24^上海^高考真题）已知函数/'（X）的定义域为R,定义集合M={xo|xoeR,xE（-oo,</（x0）},

在使得M=的所有/（久）中，下列成立的是（）

A.存在/（久）是偶函数B.存在/（久）在x=2处取最大值

C.存在/（X）是严格增函数D.存在/（尤）在久=-1处取到极小值

【解题思路】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B,构造

—2,%V—1

函数/(%)=x,-l<x<l即可判断.

lfx>1

【解答过程】对于A,若存在y=/(%)是偶函数，取％0=1€1,1],

则对于任意工€(-8,1)/(%)</(I),而/(-1)=/(I),矛盾，故A错误;

—2,xV—1,

对于B,可构造函数f(x)=%,-1<%<1,满足集合M=[-1,1],

.l,x>1,

当％<-1时，则/'«=—2,当一1—xWl时,/(x)G[-1,1],当x>l时，/(x)=1,

则该函数f（x）的最大值是f（2）,则B正确;

对C,假设存在f(x),使得f(x)严格递增，则用=/?,与已知M=矛盾，则C错误；

对D,假设存在/(x),使得f(x)在x=-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n,使得f(n)>/(-1),这

与已知集合M的定义矛盾，故D错误；

故选：B.

3.(2023•全国•高考真题)函数人久)=产+磔+2存在3个零点，则a的取值范围是()

A.（一co,—2）B.（—co,-3）C.（一4,-1）D.（-3,0）

【解题思路】写出/0)=3/+%并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【解答过程】/(x)=必+a久+2,则/''(X)=3/+①

若f(x)要存在3个零点，则/(X)要存在极大值和极小值，贝必<0,

解得"=一后或混

令/'’（无）=3x2+a—0,

解得a<-3,

4.(2023・全国•高考真题)曲线丫=捕在点(1,1)处的切线方程为()

Ae八e八e.e、e,3e

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-x-\—

,4)244,24

【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所

设方程即可求解.

【解答过程】设曲线y=总在点(1,处的切线方程为y-]=Kx-1),

因为y=

所以、'=1卡=/,

所以k=y'|x=i=3

所以=1）

所以曲线y=W在点(1,以处的切线方程为y=%+：.

故选：C.

5.(2023•全国•高考真题)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e~2

【解题思路】根据/'(x)=aex-120在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【解答过程】依题可知，f'(x)=ae，—二20在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以

xa

设g(%)=E(1,2),所以/(%)=(第+l)e%>0,所以g(%)在(1,2)上单调递增，

g(%)>g(l)=e,故eN，，即即。的最小值为eT.

故选：C.

6.(2022•全国•高考真题)函数f(%)=cos%+(%+l)sin%+1在区间［0,2n］的最小值、最大值分别为()

A.-B.--,-C.-+2D.--,-+2

22222222

【解题思路】利用导数求得f(%)的单调区间，从而判断出/(%)在区间［0,2可上的最小值和最大值.

【解答过程】/(%)=—sinx+sin%+(%+l)cosx=(%+l)cosx,

所以汽x)在区间(O,0和管,2TT)上/'(%)>0,即f(x)单调递增；

在区间&为上/'(*)<0,即/0)单调递减，

Xf(0)=/(2TT)=2,/g)=^+2,/(y)=-(y+l)+l=-y,

所以f(x)在区间［0,2n］上的最小值为-半，最大值为畀2.

故选：D.

7.(2022,全国•高考真题)已知a=得力=cos；,c=4sinJ,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解题思路】由：=4tan：结合三角函数的性质可得c>b;构造函数/(%)=cosx+1%2-l,xe(0,+8),利用

导数可得b>a,即可得解.

【解答过程】［方法一］:构造函数

因为当％£(0弓)，工<tanx

=4tan>1»故：>1,所以c>b；

设f(%)=COSX+|x2-1,XE(0,+8),

f(x)=-sinx4-%>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增,

Wg)>/(0)=0,所以cos>0,

所以b>a,所以c>b>a,故选/

［方法二］:不等式放缩

因为当%6(0,Jsinx<%,

取％=5得：cos1=1-2sin21>1-2(|)=故b>a

o4o\ozJZ

4sin：+cos1=V17sinQ+g),其中@6(°弓)，且sin(P=今,coscp=总

当4sinL+cos^=时，-+<»=-,R(p=---

4442T24

止匕时sinj=cos(p=意，cos；=sin(p=今

1［41］

故C0SZ=/<而=sin；<4sin“故6<c

所以b>a,所以c>b>a,故选/

［方法三］:泰勒展开

设30.25,贝必=||=1一竽，b=cosh-亨+粤，

c=4sin］=毕121一琮+笥计算得c>b>a,故选A.

4

［方法四I:构造函数

因为£=4tan-,因为当％Gf0,-Ysinx<x<tanx,所以tan->工，即*>1,所以c>b；设/'(%)=cosx+-12

X乙—

b4\2/44o

l,xG(0,+8)/(%)=-sinx+%>0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，则/6)>/(0)=0,所以cosi-||>0,

所以b>a,所以c>b>a,

故选：A.

［方法五卜【最优解】不等式放缩

因为：=4tan=,因为当第E(0,；),sin%<%Vtan%,所以tan=>之即：>1,所以c>b；因为当％C

b4\2/44D

2

(0,］),sin%Vx,取久二应得cos：=1—2sin2(>1—2&)=故b>a,所以c>b>a.

故选：A.

8.(2022•全国•高考真题)当乂=1时，函数/(%)=alnx+g取得最大值—2,贝次'(2)=()

11

A.-1B,--C.-D.1

【解题思路】根据题意可知/(I)=-2,/'(I)=0即可解得a,6,再根据/'(x)即可解出.

【解答过程】因为函数/⑺定义域为(0,+8),所以依题可知，/⑴=-2,■⑴=0,而八%)=、*所

以b=—2,a-b=0,即a=—2,b=—2,所以/''(>)=一|+5，因此函数/'(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上

递减，x=l时取最大值，满足题意，即有八2)=—1+：—今

故选：B.

9.(2022・全国•高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀，且

3</<3V3,则该正四棱锥体积的取值范围是()

A。［18第13.序里C.玲同D.［18,27］

【解题思路】设正四棱锥的高为h,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定

正四棱锥体积的取值范围.

【解答过程】•••球的体积为36兀，所以球的半径R=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,

则/2=2a2+九2,32=2a2+(3-/i)2,

所以6/1=I,2a2=l2—h2

所以正四棱锥的体积卜=^Sh=|x4a2x九=£x(J—幺)xg=J。，-J)，

所以心刑3一加利(哨,

当3WZW2连时，Vr>0,当2病</<3百时，V'<0,

所以当/=2历时，正四棱锥的体积P取最大值，最大值为段,

又2=3时，V=—,2=38时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积，的最小值为乌，

4

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

4

h

-

由方法一故所以V3I（6%-F）仁家12-2励X八号X［空智灼3誉（当且仅当八=4取到）,

当/1=争寸，得。=皆,则%n=押%="罢）2义|=为

当1=3旧时，球心在正四棱锥高线上，此时无=T+3=（

苧a=¥=a=等，正四棱锥体积匕=/%=家哭）2、占卜?，故该正四棱锥体积的取值范围是

故选：C.

10.(2022•全国•高考真题)设a=0.1e°a,b=［,c=—ln0.9,贝lj()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】构造函数/(%)=ln(l+%)-%,导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.

【解答过程】方法一：构造法

设/(%)=ln(l+x)-x(x>-1),因为/'(%)=£-1=一自，

当久€(—1,0)时，fXx)>0,当久E(0,+8)时—(第)V0,

所以函数/(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)单调递减，在(一1,0)上单调递增，

所以/(3)V/(。)=0，所以In?—3<0,故］>In-^-=—ln0.9,即b>c,

所以/(一套)V/(0)=0,所以ln'+>VO,故［veF,所以1e」V《,

故a<b,

设9(%)=xqX+ln(l—x)(0<x<1),则g(%)=(%+l)ex+；=—―丁+；

令h(X)=ex(x2—1)+1,/i(x)=ex(%2+2%—1),

当0<%<鱼—1时，％'(%)<0,函数九(久)=ex(x2—1)+1单调递减，

当五—1V%V1时，h'(x)>0,函数h(%)=ex(%2—1)+1单调递增，

又%(0)=0,

所以当0<%〈注一1时，h(x)<0,

所以当0v%vV^-l时，g\x)>0,函数g(%)=+ln(l-％)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO,le01>-ln0.9,所以a>c

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le01,b=J：】,c=—ln(l—0.1),

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=%+ln(l—%),xG(0,0.1］,

则/(%)=1-*=产<0,

1—x1—x

故/(%)在(0,0.1］上单调递减，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—\nbV。，所以aVb；

@a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令0(%)=xeX+ln(l—%),x6(0,0,1］,

则g\)=xex+ex--=0+工)(1-为a-1,

x1—x1—x

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即g(x)>。，

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

故选：C.

二、多项选择题

11.(2024•全国•高考真题)设函数/(x)=2炉-3a/+1,则()

A.当a>l时，/(久)有三个零点

B.当a<0时，X=0是f(x)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,/(1))为曲线y=f(x)的对称中心

【解题思路】A选项，先分析出函数的极值点为比=0,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判断出八x)

在(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设

存在这样的a,6,使得x=6为f(x)的对称轴，则f(%)=f(2b-久)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存

在这样的a,使得(1,3-3a)为/(x)的对称中心，则〃>)+f(2-％)=6-6a,据此进行计算判断,亦可利用

拐点结论直接求解.

【解答过程】A选项，f'(X)=6/—6ax=6x(久-a),由于a>l,

故比G(-oo,0)U(a,+8)时/''(%)>0,故/'(无)在(—8,0),(a,+8)上单调递增，

xe(0,a)时，/(x)<0,f(x)单调递减，

则在x=0处取到极大值，在久=a处取到极小值，

由/"(())=1>0,/(a)=1-a3<0,W(0)/(a)<0,

根据零点存在定理/(%)在(0,a)上有一个零点，

又/(一1)=一1一3a<0,/(2a)=4a3+l>0,则/(-1)/(0)<0,f(d)f(2d)<0,

则f(x)在(-l，0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；

B选项，f'(x)=6x(x—d),a<0时，xe(a,0),f(x)<0,f(尤)单调递减，

%6(0,+8)时/''(%)>0,/(x)单调递增，

此时/(X)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为/(%)的对称轴，

即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x),

即2%3—3ax2+1=2(2b—x)3—3a(2b—x)2+1,

根据二项式定理，等式右边(2b-展开式含有炉的项为2cx26)°(-乂)3=-2x3,

于是等式左右两边炉的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的a,6,使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(I)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3—3a)为f(x)的对称中心，

则/'(X)+f(2-x)=6-6a,事实上，

f(久)+/(2—x)=2x3-3ax2+1+2(2—%)3—3a(2—%)2+1=(12—6a)x2+(12a—24)x+18—12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12a-24=0,解得Q=2,即存在a=2使得(1)(1))是/(%)的对称中心，D选项正确.

、18—12ci=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(%)=2x3—3ax2+1,/(%)=6x2—6ax,f(%)=12x—6a,

由八X)=o=X=*于是该三次函数的对称中心为gf(叨，

由题意(1"(1))也是对称中心，故=1oa=2,

即存在a=2使得(1/(1))是f(X)的对称中心，D选项正确.

故选：AD.

12.(2024•全国•高考真题)设函数/'(X)=(%—l)2(x—4),贝!]()

A.x=3是/(久)的极小值点B.当。<久<1时，/(x)</(x2)

C.当1<久<2时，一4</(2%—1)<0D.当一1<久<0时，/(2-%)>/(%)

【解题思路】求出函数f(x)的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数f(x)

在(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【解答过程】对A,因为函数/(久)的定义域为R,而f'(X)=2(%-1)(%-4)+(%-I)2=3(%-1)(%-3),

易知当(1,3)时，/(x)<0,当xe(-8,1)或％e(3,+8)时，/(%)>o

函数n>)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，故%=3是函数/(%)的极小值

点，正确；

对B,当0<x<l时，x—X2—%(1—%)>0,所以l>x>/>o,

而由上可知，函数人万)在(0,1)上单调递增，所以fQ)>/(/),错误;

对C,当l<x<2时，1<2万一1<3,而由上可知，函数/(x)在(1,3)上单调递减，

所以f(l)>/(2x—1)>/(3),即-4<)(2"-1)<0,正确;

对D,当—1<%<0时，/(2—x)—f(x)=(1—x)2(—2—x)—(x—l)2(x—4)=(x—l)2(2—2%)>0,

所以f(2-x)>f(x),正确；

故选：ACD.

13.(2023•全国•高考真题)已知函数/(x)的定义域为R,/(砂)=y2/O)+//(y),则().

A./(0)=0B./(1)=。

C.f(x)是偶函数D.x=0为/(久)的极小值点

【解题思路】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC,举反例f(x)=0即可排

除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(无)=，21；1]:°进行判断即可.

【解答过程】方法一：

因为/(孙)=y2f(.x)+x2/(y)>

对于A,令x=y=o,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),则f(l)=O,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则f(-1)=0,

令y=-1,/(-%)=f(x)+x2/(-1)=f(x),

又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(x)=0,显然符合题设条件，此时/(%)无极值，故D错误.

方法二：

因为/Oy)=y2/W+x2f(y),

对于A,令x=y=o,/■(())=0/(0)+0/(0)=o,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+If(1),则f(l)=o,故B正确.

对于C,令x=y=-L/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则f(-1)=0,

令y=-1,/(-x)=f(x}+无2/(-1)=/(%),

又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数，故C正确，

2

对于D,当/y2片。时，对/'(xy)=y/(x)+//(y)两边同时除以/丫2,得到:=臀+等，

故可以设譬=ln|x|(xK0),则/(x)=0,

当％>0肘，/(%)=x2lnx,贝！J/(%)=2x\nx+%2•1=x(21nx+1),

令/'(%)<0,得0<xVe-2；令/'(%)>0,得x>e-2；

故/(久)在(0,e《)上单调递减，在(e《,+8)上单调递增，

因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(-e4,0)上单调递增，在(-8,e~,上单调递减，

显然，此时尤=0是/。)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

14.(2023・全国•高考真题)若函数f(x)=alnx+§+/("0)既有极大值也有极小值，贝!!().

A.be>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【解题思路】求出函数f(x)的导数/'(x),由已知可得f'Q)在(0,+8)上有两个变号零点，转化为一元二次方

程有两个不等的正根判断作答.

【解答过程】函数/"(x)=alnx+g+排勺定义域为(0,+8),求导得人工)=、/一登=心詈£,

因为函数/■(%)既有极大值也有极小值，则函数f'(X)在(0,+8)上有两个变号零点，而aKO,

1，2，

因此方程-bx-2c=0有两个不等的正根为工

A=+Qac>o

b2+VO,

x1+x2=->0,即有8ac>0,ab>0,ac<0,显然小儿<0,即儿A错误，BCD正

{久1%2=-]>0

确.

故选：BCD.

15.(2022•全国•高考真题)己知函数/(x)=sin(2x+^)(0<cp<TT)的图像关于点得，°)中心对称，则()

A.人久)在区间(0,工)单调递减

B.”久)在区间(-"，岩)有两个极值点

C.直线”是曲线y=/Q)的对称轴

D.直线y=?-x是曲线y=f(x)的切线

【解题思路】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

【解答过程】由题意得：f仔)=sin管+卬)=0,所以与+9=kmkeZ,

即9=----Fkn,kGZ)

又0<9Vm所以々=2时，(p=导故/(%)=sin9%+g).

对A,当％<0,■时，2%+日£管患)，由正弦函数y=sin〃图象知y=f(乃在(0为上是单调递减；

对B,当％€(-已等)时，2%+与6&用，由正弦函数y=sin”图象知y=/(久)只有1个极值点，由2%+

y=解得％=工，即"称为函数的唯一极值点；

对C,当％二B时，2%+==3TT,/(2)=0，直线％=?不是对称轴；

6366

对D,由y'=2cos(2久+g)=-1得：cos卜x+与)=—',

解得2x+y=y+2/CTT或2x+y=y+2/m,kEZ,

从而得：x=kn或x-1+/CTT,/cGZ,

所以函数y=f(x)在点(。,苧)处的切线斜率为k=y]x=0-2cosm=一L

切线方程为：y-苧=一(x-0)即y=?-x.

故选：AD.

16.(2022•全国•高考真题)己知函数人支)及其导函数/⑺的定义域均为R，记g(x)=f'Q)，若/'(|-2%)，

g(2+%)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.5(-1)=0C./(-1)=/(4)D.g(-1)=9⑵

【解题思路】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质

逐项判断即可得解.

【解答过程】[方法一]:对称性和周期性的关系研究

对于/⑶，因为/"(|一2%)为偶函数,所以f(|—2x)=f(|+2x)即x)=fG+x)①，所以f(3-x)=

f(x),所以/(x)关于x=|对称，则1)=/(4),故C正确；

对于9(K)，因为9(2+%)为偶函数,g(2+x)=g(2-%),g(4-％)=g(%),所以g(%)关于%=2对称,由

①求导，和9(%)=/'(%),得[/(1_%)]=[/(1+%)]o—,d—x)=/(1+%)o—gd—x)

所以g(3-%)+g(x)=。,所以9(久)关于(|,0)对称，因为其定义域为R,所以g(?)=0,结合g(%)关于久=2

对称，从而周期「=4X(2-|)=2,所以g=g(|)=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错

误;

若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于久=2对称，故可设g(久)=COS(TTX),则/'(X)=|sin(Ttx)+c,显然A,D错

误，选BC.

故选：BC.

［方法三］:

因为f(|一2x),g(2+无)均为偶函数，

所以/'©-2久)=/©+2久)即/■修一X)=+g(2+x)=g(2-x),

所以/'(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),则/'(一1)=f(4),故C正确；

函数/(久)，。(久)的图象分别关于直线x-\-x=2对称，

又g(x)=/(%),且函数/'(%)可导，

所以9(0=仇9(3-X)=-g(x)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x4-1)=g(x),

所以g(—=g(D=。，g(—i)=g(i)=-g(2)，故B正确,D错误；

若函数/(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定人尤)的函数值，故

A错误.

故选：BC.

17.(2022•全国•高考真题)已知函数/(久)=炉—久+1,则()

A.f(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(%)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(久)的切线

【解题思路】利用极值点的定义可判断A,结合f(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导

数的几何意义判断D.

【解答过程】由题，f\x)=3/-1,令/'(%)>0得x>?或x<-与

令f3<0得_y<X<y,

所以f(x)在(―8,—苧)，谭,+8)上单调递增，(—苧,弓)上单调递减，所以X=±手是极值点，故A正确；

因/(—?)=1+舒>。，樗)=1一等>0,2)=-5<。，

所以，函数f(x)在(-8,-1)上有一个零点，

当X>争寸，/(X)>/(y)>0,即函数f(x)在g,+8)上无零点，

综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；

令九(久)=x3-x,该函数的定义域为R,/i(-x)=(-%)3-(-%)=-x3+x=-/i(x),

则/I(x)是奇函数，(0,0)是九(%)的对称中心，

将九(%)的图象向上移动一个单位得到f(%)的图象，

所以点(0,1)是曲线y=/(%)的对称中心，故C正确；

令/(%)=3/-1=2,可得％=±1,又/1(1)=/(-1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为y=2%-1,当切点为(一1,1)时，切线方程为y=2%+3,故D错误.

故选：AC.

三、填空题

18.(2024・全国•高考真题)曲线y=炉一3%与y=-(％-1)2+。在(0,+8)上有两个不同的交点，贝心的取

值范围为_(二2J)_.

【解题思路】将函数转化为方程，令/-3x=-(x-I)2+a,分离参数a,构造新函数g(%)=%34-x2-5%+

1,结合导数求得9(%)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

23232

【解答过程】令——3%=—(%—I)+a,即Q=%+%—5%+1,令9(%)=X+%—5%+1(%>0),

则0(%)=3%2+2%—5=(3x+5)(%—1),令g(x)=0(%>0)得第=1,

当％G(0,1)时，/(%)<0,g(%)单调递减，

当％E(1,+8)时，g(%)单调递增，g(0)=Lg(l)=-2,

因为曲线y=x3-3%与y=-(％-I)2+a在(0,+8)上有两个不同的交点，

所以等价于y=。与g(%)有两个交点，所以ae(-2,1).

liy二g(x)

:J3

故答案为：(—2,1).

19.(2024・全国•高考真题)若曲线y=e%+%在点(0,1)处的切线也是曲线y=111(%+1)+。的切线，则。=

]n乙.

【解题思路】先求出曲线y=ex+%在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+1)+Q的切点为(%o，ln(%o+1)+

a),求出y‘，利用公切线斜率相等求出%°,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【解答过程】由、=e%+%得/=e%+1,y\x=o=e°+1=2,

故曲线y=e%+%在(0,1)处的切线方程为y=2%+1；

由y=In(%+1)+a得y'=击，

设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(%o，ln(劭+1)+a),

由两曲线有公切线得“=房=2,解得%0=-(则切点为(一3。+比3，

切线方程为y=2(%+J+a+In]=2.x+1+a—ln2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：ln2.

20.(2023•全国•高考真题)设a6(0,1),若函数f(x)=/+(1+a尸在(0,+8)上单调递增，则°的取值

范围是—[年.

【解题思路】原问题等价于/'(%)=ax\na+(1+a)-ln(l+a)>0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变

形，可得马乐，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a

的取值范围.

【解答过程】由函数的解析式可得/&)=axlna+(1+a)^ln(l+a)>0在区间(0,+8)上恒成立，

则(1+a)*ln(l+a)crnna,即(平)2-常需在区间(。,+8)上恒成立，

故0^)—1>—),而a+16(1,2),故ln(l+a)>0,

故[ln(a+1)2—Ina即/(a+1)21,故卫<a<l,

(0<a<1t0<a<12

故答案为：性二,1）.

21.（2022・全国•高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为一三§匚，v^-|x.

【解题思路】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（xo，ln&），求出函数的导函数，即可求出切线

的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出勺，即可求出切线方程，当时同理可得；

【解答过程】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当％>0时设切点为（&,ln&），求出函数供导函数，即可求出切线的斜率，从而

表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出刈，即可求出切线方程，当久<0时同理可得；

解：因为y=ln|%］,

当%>0时y=ln%,设切点为（%o，ln%o）,由/=（所以所以切线方程为y—In%。=看（%一式o），

又切线过坐标原点，所以一In%。=^（一々）），解得%°=e,所以切线方程为y-1=：（%-e）,即y="；

当％V0时y=设切点为（-％D）,由/=%所以”|%=巧=（,所以切线方程为y-ln（-%i）=

一（%一久J,

又切线过坐标原点，所以—In（一式J=—（―勺），解得％1=—e,所以切线方程为y—1=5（％+e）,即y=—3%；

故答案为：y=-x；y=--x

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当%>0时y=ln%,设切点为（%o，ln%o）,由y'=5，所以y］%=%o=2，所以切线方程为y-In%。=看（%-%o），

又切线过坐标原点，所以—ln%o=5（-&），解得配=e,所以切线方程为y—1==（%—e）,即y=f

因为y=ln|%|是偶函数，图象为：

所以当X<0时的切线，只需找到丫=、关于y轴的对称直线y=—：刷可.

［方法三］:

因为y=ln|%|,

当%>0时y=ln%,设切点为(%o，ln%o),由y'=±所以，|%=孙=工，所以切线方程为y-In%。=工(%-久0),

又切线过坐标原点，所以一1叫=看(一］0),解得%o=e,所以切线方程为y—l=—即y=?；

当xV0时y=ln(-%),设切点为(-％1)),由y'=g,所以”|%=%1=:，所以切线方程为y-In(-％J=

~—%］)9

又切线过坐标原点，所以-In(-％。=—(-/)，解得%1=-e,所以切线方程为y-1=—(%+e),即y=-工无；

X\—ee

故答案为：y=L%；y=--x.

ee

22.(2022•全国•高考真题)已知％=/和%=初分别是函数/(%)=2谟一ex2(a>0且aW1)的极小值点

和极大值点.若X1<%2，则。的取值范围是

【解题思路】法一：依题可知，方程21na•谟-2e%=0的两个根为％［％2，即函数y=Ina•谈与函数y=e%

的图象有两个不同的交点，构造函数g(%)=Ina•凝，利用指数函数的图象和图象变换得到g(%)的图象，利

用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【解答过程】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'(%)=21na-ax—2ex,所以方程21na-ax—2ex=0的两个根为久力冷，

即方程Ina-ax=e%的两个根为工力冷，

即函数y=Ina•谈与函数y=e%的图象有两个不同的交点，

因为%1，第2分别是函数/(%)=2ax-e/的极小值点和极大值点，

所以函数/(%)在(-8,%1和(交,+8)上递减，在(%L%2)上递增，

所以当时(一8,巧)(x2,+8),/(%)<0,即、=eX图象在y=Ina•谟上方

当％时，/'(%)>0，即丫=e%图象在y=Ina•/下方

a>1,图象显然不符合题意，所以OVaVl.

x2

令g(%)=Ina-a9贝！Jg(%)=lna-a\0<a<1,

设过原点且与函数y=g(%)的图象相切的直线的切点为(%o,Ina•谈。)，

xxXo

则切线的斜率为g'(%o)=In2a.a0,故切线方程为y-Ina-a°=In2a.a(x-x0),

11

x2x2

则有-Ina.a°=—x0\na-a°,解得%o=--，则切线的斜率为In2a.海=elna,

因为函数y=Ina-谈与函数y=ex的图象有两个不同的交点,

所以elMaVe,解得工<aVe,又0<aVl,所以工<。<1,

ee

综上所述，a的取值范围为G，l).

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/(%)=21na-ax—2ex=0的两个根为％力及

因为%1，久2分别是函数/(%)=2ax-e/的极小值点和极大值点，

所以函数/(%)在(一8,勺)和(交,+8)上递减，在(巧,及)上递增，

设函数g(x)=/(%)=2(axlna—ex),则'(%)=2ax(lna)2—2e,

若Q>I,则'(%)在R上单调递增，此时若r(&)=o,

则/'(%)在(-8,%0)上单调递减，在(%0,+8)上单调递增，此时若有％=和%=%2分别是函数

/(%)=2a*-"2(。>0且a。1)的极小值点和极大值点，则修，打，不符合题意；

若0<aVl,则'(%)在R上单调递减，此时若'(%o)=O,则/'(%)在(一8,软)上单调递增，在(第。,+8)上单

调递减，令'(第())=0,贝“0配=酢声此时若有％=/和%=冷分别是函数/(%)=2谟一e/(a>o且。w1)

x2

的极小值点和极大值点，且%1<犯，则需满足/Go)>0,/'(%o)=2(a°lna-ex0)=(高一的)>。，即

x

%。〈春，xolna>1故lna°=xolna=In(山：)1>1，所以:<a<l.

故答案为：-<a<1.

e

23.(2022•全国•高考真题)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是—(―8,-4)U

(Q,+oo)_.

【解题思路】设出切点横坐标打,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于与的方程,

根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.

【解答过程】•；y=(x+a)eX,.•.)/=(x+l+a)eX,

x

设切点为(%o，yo),则%=(%0+a)e?切线斜率k=(x0+1+a)e°,

xx

切线方程为：y-(x0+a)e°=(&+1+a)e°(x-x0),

xx

:切线过原点，，一(%0+a)e°=(x0+1+a)e°(-x0~),

整理得：XQ+ax0-a=0,

'：切线有两条，△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,

；.a的取值范围是(一8,-4)U(0,+oo),

故答案为：(-00,-4)U(0,+co).

四、解答题

24.(2024•全国•高考真题)已知函数/■(久)=a(x-1)-Inx+1.

(1)求/Q)的单调区间；

(2)当a<2时，证明：当x>1时，f(x)<e*T恒成立.

【解题思路】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>1时，e^1-2%+1+Inx>0即可.

【解答过程】(1)/(x)定义域为(0,+8),/'(x)=a—：=竺，

当aWO时，f'(x)=?<0,故/'(%)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，xeg,+8)时，//(x)>0,f(X)单调递增，

当x€(0,，)时，/'(%)<0,f(x)单调递减.

综上所述，当aWO时，f(x)的单调递减区间为(0,+8)；

a>0时，f(x)的单调递增区间为&，+8),单调递减区间为(0,£).

(2)a<2,且％>1时，ex-1-/(x)=ex-1—a(x—1)+Inx-1>ex-1—