解三角形综合压轴小题归类（16题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题11解三角形综合压轴小题归类

更盘点•置击看考

目录

题型一：三角形几解求参.........................................................................1

题型二：判断三角形形状：化角为边型..............................................................3

题型三：判断三角形形状：化边为角型..............................................................7

题型四：面积公式的应用.........................................................................9

题型五：求边长或者周长.........................................................................12

题型六：解三角形求角度.........................................................................14

题型七：范围与最值：知角和边求周长.............................................................16

题型八：范围与最值：知角和边求面积.............................................................19

题型九：范围与最值：判断角型...................................................................21

题型十：范围与最值：无长度求比值型.............................................................24

题型十一：范围与最值：正切型最值...............................................................28

题型十二：正余弦定理与三角形外心...............................................................32

题型十三：正余弦定理与角平分线.................................................................35

题型十四：正余弦定理与中线.....................................................................38

题型十五：正余弦定理与三角形高.................................................................42

题型十六：解三角形综合应用.....................................................................46

更突围・错;住握分

题型一：三角形几解求参

指I点I迷I津

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

⑦若有一个交点，则有一个解；

⑥若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

公式法：运用正弦定理进行求解。

①a=bsinA,0=0,则一个解；

②a>bsinA,团>0,则两个解；

③a<bsinA,EI<0,则无解。

1.（23-24高三.陕西榆林・）在丫钻（7中，角的对边分别为a,b,c,若8=60。，6=3万，VABC只

有一个解，贝|c的取值范围为（）

A.（0,3A/3）B.（0,3石]C.（3^,6）D.（0,3^]U{6}

【答案】D

【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解.

晨b3一

【详解】VABC的外接圆。的半径"一大蒜一1万一L

如图所示，AC=3如,AB'是圆的直径.

可知点8在优弧AC上（不包括端点），

当B为q时，此时c取到最大值2R=6；

当点2从点A到8,时，此时。越来越大，且c«0,6）；

当点3从点g到C时，此时c越来越小，且ce（3如,6）；

综上所述：若VABC只有一个解，则c的取值范围为（0,36]口{6}.

故选：D.

7T

2.（23-24图三•江苏南通・）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若满足条件A=：,c=2

6

的VABC有两个，则。的取值范围为（）

A.（1,2）B.（2,+8）C.[1,2）D.（1,2]

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正弦定理用。表示sinC,再借助sinC的范围求解即得.

【详解】在VA5C中，由正弦定理得三二七，则-„_csinA_2sm6_1,

smAsmCsinc=---------=---------=—

aaa

TTJrS1T7T1

由满足条件A=2，c=2的VABC有两个，得2<C<L，且。*彳，即彳<sinC<l,

66622

因此工<—<1,所以l<a<2.

2a

故选：A

4

3.（2023・四川绵阳•模拟预测）命题P:“若VA8C与QEF满足:AB=DE=x,BC=EF=2,cosA=cosD=-,

则ZWC三已知命题P是真命题，则x的值不可以是（）

【答案】D

【分析】根据已知可知三角形有唯一解，根据已知结合正弦定理，以及x与2的大小关系、正弦函数的取值

范围，求解即可得出答案.

4

又COSA=M>0,所以A为锐角.

由正弦定理可得,

3

所以，._ABsinA13.

sinC=-----------=上一=——x

BC210

要使命题。是真命题，则。有唯一满足条件的解.

3

若0<%<2,贝UsinC<y,显然C有唯一满足条件的解;

若x=2,则。=4,满足；

3

若x>2,且sinC<l,即而％<1,

即2<x<g,此时C有两解满足条件，此时命题。是假命题;

当片当时，此时有sinC=l,C=g有唯一解，满足；

当X>?时，此时有sinC>l,显然C无解，不满足.

综上所述，当0<%<2或了=当时，命题P是真命题.

故选：D.

jr

4.（23-24高三下.浙江.）在VABC中，ZA=-,AB=4,BC=a,且满足该条件的VABC有两个，则。的取

值范围是（）

A.（0,2）B.（2,2石）C.（2,4）D.（273,4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sin。，由sinCvl,且可得〃的取值范围.

【详解】由正弦定理可得：1二=」；，所以sinC=2叵<1,所以a>26，

因为满足条件的VABC有两个，所以3c<AB,即。<4,所以。的取值范围是R班,4）

故选:D

5.（22-23高三・北京）已知在VABC中，5=60。力=布,若满足条件的三角形有且只有一个，则。的取值

范围是（）

A.{«10<a<A/3}B.或a=2}

C.{a|O<tz<73}D.{a|O<aV6或“=2}

【答案】D

【分析】由正弦定理和三角形解的个数可得答案.

,'V*ATJXr+t口去£=?Tpn——r4曰a=sinA—sinA=2sinA

【详解】由正弦定理可得sin573，

若满足条件的三角形有且只有一个，则0。<AW60。或A=90。，

所以0<sinA4巫或sinA=1,

2

可得或a=2.

故选：D.

题型二：判断三角形形状：化角为边型

指I点I迷I津

正余弦定理：化角为边型

若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理"角化边";

AaRb

1.（2021iWi二,全国・专题练习）设4ABC的二边长为BC=a,CA—b，AB=c,若tan—=-----,tan—=-------，

2b+c2a+c

则△ABC是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各边长为。、Ac且内切圆半径为，，

法一：由内切圆的性质有tan：==、tan3=一也，根据边角关系可得。=6或4+62=02,注意讨论所

2b+c2a+c

得关系验证所得关系的内在联系；

7T

法二：由半角正切公式、正弦定理可得A=B或A+2=5,结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形

的形状.

【详解】设尸=；（a+6+c）,ZkABC的内切圆半径为r,如图所示,

ArBrb

：.tan—=-------①;tan—=----②.

2p-ab+c2p-ba+c

p-b_aa+c2(7J-Z?)fl(a+c)

①:②，得:

p—ab+cb2(p-〃)b(b+c)

于是80+0）（0+々一人）=1（々+。）（6+。一々），

ab1—Z?3+bc2=a2b-a3+ac2,（〃一匕）（/+/?2—c2）=0,

从而得a=人或4+廿=。2,

・•・NA=NB或NC=90。.故4ABC为等腰三角形或直角三角形,

（1）当。二人时，内心/在等腰三角形C4B的底边上的高上,

c-a2--

=-ABCD=-从而得2S4•

22r

a+b+c2a+c

^p-a=-(b+c-a)=-c,代入①式，得即'-I=工，

22(2a+c)[cb+ca+c2a+ca+c

2a-ca2「

上式两边同时平方，得：y—=7------丧，化简2/=o,即C=缶.即△ABC直角三角形,

2〃+c(Q+C)

・・・△ABC为等腰直角三角形.

(2)当4+/二。a时，易得r=；g+)_c).

-yu-ru-cjb

代入②式，得^--------=——，此式恒成立,

1/,7\Q+C

综上，△A3c为直角三角形.

法二：

AsinAB区及正弦定理和题设条件，得sinAsinA

利用tan^=tan—二①,

1+cosA21+cosAsinB+sinC

sinBsin3

---------=--------------②.

1+cosBsinA+sinC

1+cosA=sinB+sinC(3)；l+cosB=sinA+sinC@.

由③和④得：l+cosA—sin5=l+cos3—sinA,即sinA+cosA=sinB+cosB,sin[A+：)=sin[+~

因为A,B为三角形内角,

：,A+-=B+-^A+-=TI-B--,即A=B或A+B=巴.

44442

(1)若A=B,代入③得：1+cosA=sin5+sinC⑤

XC=7t—A—B=7i—2A,将其代入⑤，得：1+cosA=sinA+sin2A.

变形得(sinA-cosA)?-(sinA-COSA)=0,

即(sinA—cosA)(sinA-cosA_1)=0⑥，

由A=5知A为锐角，从而知sinA—cosA—lw。.

二.由⑥，得：sinA—cosA=0,即4=£,从而5=囚，C=—.

442

因此，△ABC为等腰直角三角形.

TTTT

(2)A+B=—,即C=5，此时③④恒成立，

综上，AA3C为直角三角形.

故选：B

2.(20-21高三.上海浦东新•)已知VABC的三条边a,b,c和与之对应的三个角A,民C满足等式

acosB+/?cosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC贝!J止匕三角形的形》犬是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.

【详解】由余弦定理，可得

a1+c2-b2,a2+b2-c2b2+c2-a2,b2+c2-a2a1+c2-b2a2+b2-c2

laclab2bc2bclaclab

2222

a-hh-c「22

整理，得++=

ab

g、1a_0b-cc-b+b-a_

所以------+------+--------------=0,

cab

所以(》2)1一力+伍-2)2一力=。，

所以(1一万)仅一0)・0^+仅一〃)9一)空^=0,

所以("6)(6一=0,

Vbeab)

所以14)(6-c).上包产卫=0,

所以(a-6)(6-c)(a-c>^1^=0,

所以。=6或6=。或。=。，故三角形为等腰三角形.

故选：A

3.(18-19高三・四川雅安•阶段练习)在AABC中，+贝必人方。的形状是()

a-bsm(A-B)

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【解析】原式可化为(片+Z?2)-(sinAcosB-cosAsinB)=(a2-/?2)(sinAcosB+cosAsinB),然后利用正弦定理、

余弦定理进行边角互化，得出。，b,c的关系.

【详解】解：由2^=黑号得：(〃+廿)市11(4-3)=(〃-62卜取4+3),旦立6,

(a?+)2).(sinAcos5-cosAsin5)=("一斤)(sinAcos5+cosAsin5),且〃w人,

化简整理得：(片+/).(/_/)=(〃2_万2卜2,即(〃2+/_02)(〃2_万2)=0,

a2=b2^a2+b2=c2又a#b,

・・・AABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点.

4.(23-24高三.江苏徐州)在VABC中，若—osf=：cos%则VABC的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【彳析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案.

1—cos2cl-cos2B二匚22sin2C2sin2B

【详解】因为------,所以------=-------

c•cosBb•cosCccosBb•cosC

所以2bsin2CcosC=2csin2BcosB,

所以由正弦定理得2bc2cosC=2cb2cosB,

因为2Z?cwO,所以ccosC=bcos_B,

a2+b2-c2

所以由余弦定理得

lablac

所以（？（々2+82_。2）=82（々2+。2_加），

所以a2b2—a2c2+c4-Z?4=0,

所以02s2一。2）+（02+。2）（°2_。2）=0,

所以（〃—，升1_（/+〃）］=0,

所以。2一。2=。或〃2一92+匕2）=。,

所以〃=C或〃2=。2+〃2,

所以VABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

5.（23-24高三・安徽芜湖•）已知。也。分别是VABC三个内角A民C的对边，下列关于VABC的形状判断一

定正确的为（）

A.sin2A+sin2B=sinC,则VA6C为直角三角形

B.sin2A+sin2B=sinC,则VABC为等腰三角形

C.sin2A+sin2B+sin2C=2,则VASC为直角三角形

D.sin2A+sin2B+sin2C=2,则NABC为等腰三角形

题型三：判断三角形形状：化边为角型

;指I点I迷I津

正余弦定理：化边为角型

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理"角化边"；

1戢:工海蓍蒲福臻为5巨如VABC西君扬芬菰i£'V,'c~示立/版市「M

命题的个数是（）

（1）若/tanBu/tanA,则VABC是等腰三角形;

（2）若sinA=cos3,则VABC是直角三角形；

（3）若cosAcos3cosc<0,则VABC是钝角三角形；

（4）cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1,则VABC是等边三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解.

【详解】VABC中，ertanB=Z?2tanA,由正弦定理有：

sin2A・四O=sin2B.ia,因为VABC中sinAr0,sinB*0,

cosBcosA

smzAsinR

所以----=-----,EPsinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin25,

cosBcosA

所以2A=25或2A+23=兀，故（1）错误；

VABC中，因为sinA=cosB>0,所以Be［。,］；

所以A+3=gIT或A=5+JgT,故（2）错误；

22

VABC中，cosAcos3cosc<0,当cosA<0,cosB<0,cosC<0时，

B„,C„显然不满足；

当cosA,cos5,cosC中有1为负，2个为正，不妨设cosA<0,cosB>0,cosC>0,

则Be［。,］）,Cefo^l所以V>1BC是钝角三角形；故（3）正确；

VABC中，A,B,CG(0,7i),所以24—5£(—兀,兀),3—。£(一兀,兀),。一人£(一兀,兀),

所以cos(A-B)G(-1,1],cos(B-C)cos(C-A)G(-1,1],

因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=l,

所以cosQA_5)=cos(5—C)=cos(C—A)=l,所以A=B二°,

则VABC是等边三角形，故(4)正确；故A,C,D错误.

故选：B.

2.(22-23高三・福建福州・)VA5c中三个角的对边分别记为〃、b、c,其面积记为工有以下命题：①

S=1oSinBsinC,②若2cos8sinA=sinC,则VABC是等腰直角三角形；③

2smA

sin2C=sin2A+sin2B—2sinAsin3cosC;④(a，/)sin(A—B)=(a2—Z?2)sin(A+B),贝!!VABC是等腰或直角

三角形.其中正确的命题是

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断.

、斗力、八、、

【▼详»解】由,a得b6.=-asinB代入S°=；1；a6,s.inC得5„=彳1/2_sinBsinC,①正确;

sinAsinBsmA22sinA

若2cos8sinA=sinC=sin(A+6)=sinAcosB+cosAsin8,cos3sinA-cosAsin_B=0,sin(A-B)=0,*/

AB是三角形内角，，4-3=0,即A=B,VABC为等腰三角形，②错；

由余弦定理=a2+b2-labcosC,又C—,sin2C=sin2A+sin2B—2sinAsinBcosC，③正确;

sinAsinBsinC

(a2+1)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

a2-b2sin(A-B)sinAcosB-cosAsinB.a2_sinAcosBsin2AsinAcosB

贝(J_9V==由正弦定理得

a+bsin(A+B)sinAcosB+cosAsinBb2cosAsinBsin2BcosAsinB

角形中sinAwO,sin5wO,则sinAcosA=sin5cos5,sin2A=sin2区，.=2A=25或2A+23=»,A=3或

TT

A+B=-,④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角

转化在其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换.

3.(23-24高三・重庆・)VA5C中，角A氏。所对应的边分别是〃也。，c=acosB+ccosAf则VABC的形状

是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

［答案］D

【分析】首先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，判断三角形的形状.

【详解】由正弦定理边化角可知，sinC=sinAcosB+sinCeosA,

又sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsin3,

所以cosAsinB=sinCeosA,即cosA(sinB-sinC)=0,

所以cosA=0或sinB=sinC,则A=90°或3=C,

所以VABC是等腰三角形或直角三角形.

故选：D

tenR

4.(23-24高三・广东广州•)在VA3C中，角A、B、C所对的边为a、b、c若二—,则VABC的形状

c~tanC

是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.

sinB

【详解】在VA5c中，由与=咽0及正弦定理得理，=华学，而sinA>0,sin3>0,

c2tanCsin2csmC

cosC

整理得sinBcosB=sinCeosC,即sin23=sin2C,而。v3V兀,。vCv兀，

TT

则0<23<2兀,0<2C<2TI,因止匕23=2C或28+2。=兀，即8=C或B+C=—,

2

所以VABC是等腰三角形或直角三角形.

故选：C

5.(2024・山东.二模)在VABC中，设内角A,2,C的对边分别为a,b,c,设甲：b-c=a(cosC-cosB),设乙:

VA3C是直角三角形，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】D

【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】在VABC中，由正弦定理及6-c=a(cosC-cos3),得5由3-$山。=$1114905。-8$3),

即sin(A+C)-sin(A+B)=sinA(cosC-cosB),整理得cosAsinC-cosAsinB=0,

TT

由正弦定理得ccosA—bcosA=0,贝！JcosA=0或〃=c,即A=一或》=c,

2

因此甲：4=1或6=。，显然甲不能推乙；

乙：VABC是直角三角形，当角3或C是直角时，乙不能推甲，

所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.

故选：D

题型四：面积公式的应用

指I点I迷I津

三角形面积，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下:

^111abc

Q)S团ABC=]absinC=]bcsinA=]acsinB=]^

②SI3ABC=5(a+b+c>r(r是切圆的半径)

1.(23-24高三・重庆・)已知VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,VABC的面积为S,

S=f1^2-c2|sinA,上+，=三，则4=()

<2)tanAtanCtanB

A.120°B.135°C.150°D.165°

[答案]A

【4析】由面积公式得到b=2c,再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到

sin2B=2sinAsinCeos利用正弦定理将角化边得到方？=2QCCOS3,由余弦定理得到7c?=4,最后利用余

弦定理计算可得.

【详解】因为S=gbcsinA,又S=(g后一°2卜门人，

1fl1

所以ebcsmA=[/9-sinA,又0。<4<180°,所以sinA>0,

2

所以儿=从一2。2,BP(Z?-2c)(/?+c)=0,显然Z?+c>0,所以b=2c,

1+1_cosAcosC_sinCcosA+sinAcosC_sin(A+C)_sinB22cos3

tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCtan5sinB

112已12sin52cos5

----+-----=-----,所以---------=------

tanAtanCtan3sinAsinCsinB

所以sin?B=2sinAsinCeosB,由正弦定理可得。？=2«ccosB,

又由余弦定理从=tz2+c2-2accosB，即。之=/十。2一加,

所以4c2=+/_4c2,则7c2=6,

由余弦定理cosA=b十°——_

2bc2

又0。<4<180。，所以4=120。.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出b=2c、7c2=〃，再由余弦定理计算可得.

2.（2023•江西景德镇•模拟预测）已知VA5C中，设角A、B、。所对的边分别为〃、b、c,VABC的面积为

C

S,若SsirB+ZsirCusinAlsinA+ZsinBsinC）,则乒的值为（）

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】B

【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：3〃+2c2=/+2/sin4,通过余弦定理可将等式化简

整理为%W=sinA_cosA=^sin（A_f）,通过三角函数图像可知"+告M应，同时通过基本不等式可知

c2bI4Jc2b

限三N瓶,即得七三=夜，通过取等条件可知A=芬，c=y/2b，将其代入问题中即可求解答案.

c2bc2b4

【详解】已知Bsin?B+2sin2C=sin2A+sinA•(2sinBsinC)

由正弦定理可知：3Z?2+2c2=a1+2Z?csinA,

/.3b2+2c2—a1=2Z?csinA，

整理得：伊+。2_。2)+2层+d=2历sinA,

两边同除2历得：、+c"+亚JsinA,

2bc2bc

根据余弦定理得：cosA+2+£=sinA,即+等=sinA_cosA=&sin(A_f],

c2bC2bk4J

-：b>o,c>0,J+=当且仅当2=三，即c=后时等号成立.

c2bNc2bc2b

又•.•2+9=sinA-cosA=^sin(A-f]v也,当且仅当4=电时，等号成立.

c2bk4J4

综上所述：-+^->A/25.-+^<A/2,

c2bc2b

故得：,+£=应，止匕时c=^/5力且A=—,

c2b4

.c17.3万忆,S_y/2be_yf2c_^2r-_l

244b14b24ft42

故选：B

3.(2023・海南•二模)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知a=+c?-3)tanA=V3bc,

2cos2=(V2-l)cosCJiJAABC的面积

口372+763应-而D3+^3

A,c

24'4'4

【答案】D

【解析】本题利用余弦定理，倍角公式，内角和定理进行化简，可求得角A和C的值，再利用正弦定理和

面积公式求得结果即可.

【详解】由题，a=yf3,（b2+c2—3)tanA=6bc

r-rprb2+c2-a2.73b2+c2-a2.

m以---------tanA=——---------------=cosA

2bc22bc

所以tanA•cosA=sinA=

2

又因为锐角三角形ABC,所以人=?

由题2cos2=(V2-l)cosC,即1+cos(A+B)=(72-ijcosC

根据cos(A+8)=-cosC代入可得，COsC=—,即C=M

24

8=若

再根据正弦定理：-£-=-£-.-.C=V2

sinAsmC

面积S」acsin2」•"0・"2=三立

2244

故选D

【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形的综合，以及三角恒等变化公式的的运用，熟悉公式，灵活运用

是解题的关键，属于中档偏上题.

TT

4.(21-22高三上•江西宜春・)在/ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知6=2,A=§,且

ch

-_—=^-＞贝MA8C的面积为

1-cosCcosA

A.上B.25/3C.手或6D.G或2后

【答案】D

【详解】依题意，Z?(1-cosc)=ccosA,Z?=ccosA+Z;cosC,由正弦定理得

sinB=sinCcosA+sin5cosc=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,化简得sin3cosc=sinAcosC,故cosC=0或

=2i

sin5=sinA.当cosC=0,C=二时，"兀，面积S=—〃8=26.当sin5=sinA时，为等边三角形,

2tan-2

o

面积为立・22=血，故选D.

4

点睛：本题主要考查三角函数很等变换的应用，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形你给的面积公式

在解三角形中的综合应用，还需要结合分类讨论的数学思想方法来求解.首先利用正弦定理和三角形内角和

公式化简已知条件，由于解有两个，所以需要对三角形的情况进行分类讨论.

5.（23-24高三广西百色）V43C的内角A,B,C的对边分别为。，6,c,已知加inC+csinB=4asinBsinC,

62+°2一“2=8,则VA2C的面积为（）

【答案】B

【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出sinA,再利用余弦定理求出反即可求出三角形面积.

【详解】在VABC中，由加inC+csin3=4asinBsinC及正弦定理，得2sin3sinC=4sinAsinJ5sinC,

而sinBsinC>0,则sinA=—,由/+。2=8及余弦定理得2历8$24=8,cosA>0,

2

因此cosA=Vl-sin2A=，be=—^=,则S=—Z?csinA=—x-^==,

213aABC24733

所以VABC的面积为友.故选：B

3

题型五：求边长或者周长

指I点I迷I津

解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角

函数关系，正切函数性质等等.注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边“力，。的齐次式

或关于角的正弦$也Asin氏sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通

常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论.

I_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三・湖北黄冈・）在丫河（7中，内角A,5,C的对边分别为。，b,c,已知26sinA=3』，a=3,

为钝角，b-c=2,贝1」人=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

9IT

【分析】利用正弦定理可得B=再结合余弦定理运算求解.

【详解】由正弦定理n—-可得bsinA=asin5=3sin5,

smAsinB

且2bsinA=3g,即6sinB=3g,则sin8=走，

且为钝角，则8=曾，

又因为b-c=2,即c=b-2,

由余弦定理可得=4z2+c2-2«ccosB，

即〃=9+（“2『-2x3仅-2）x（-解得6=7.

故选：C.

2.（23-24高三・江苏淮安•）在VABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,若A=60。，a=瓜,

a2+b2—c2=y[lab，则。=（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】由余弦定理求出cosC,得sin。，由正弦定理即可求解.

【详解】由题意，得cosC=正止乙=，辿=立，

2ab2ab2

又。为VABC的内角。£（。,兀），因为sin?。+cos2c=1

贝IsinC=,

2

।一…qe，uasinC

由正弦定理，得c=­

2

故选：B.

3.（23-24高三•山西长治・）在VABC中，角A,B,C所对应的边分别为b,c,q=2c=2,

tan-------+tan-=4,贝（）

22

A.&B.73C.2D.石

【答案】B

【分析】先根据tan4等+tan：=4求出C,然后利用余弦定理求出b.

A+BC71-C+tanC=4,

【详解】由tan+tan一=4得tan

2222

.71—C,CC.C

sin-------sm——cos——sm——

71—(7C

tan--------btan—=2+-22+-2=4,

22Tl-CCCC

cos—cos—sin一cos—

2222

1

=4，.二=:，又，所以所以。£。，兀

CCsinCa=2c=2a=2>c=1,15

sin-cos一2

22

小叱=¥=^^=盗匚解得匹瓜故选：B.

4.（23-24高三•四川成都）在VA5C中，a,b,c分别为内角A,B,。的对边，若

3

3sin2C=sin2A+sin2B+2sinAsinB,cosC=4，且凡人叱=4,贝!Jc=（）

A.蛔B.4C.亚D.5

33

【答案】B

【分析】根据正弦定理角化边，由三角形面积公式求必，再结合余弦定理，即可求解J

a

【详解】由正弦定理角化边，可知，3c2=〃+〃+2",且cosC=(

412

则sinC=—,SARC=—absinC=—ab=4,贝！J"=10,

5△25

则3c2=/+/+20,①

由余弦定理。2=/+/一2。/7cosc=Q2+/一12,②

由①②得，c2=16,即c=4.

故选：B

7T

5.（23-24高三・江苏南京）在△ABC中，角A,B,。对边分别为。，b,c.若2bcosC=2〃—c,A=一,b=3,