高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书

第二节两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2A1A2＝l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合A1A2＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点——直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝x2(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝C1应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (×)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. (×)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为kx0+b(4)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离为0. (×)2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为()A．0B．－8C．2D．10B解析：由题意知4-mm3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0A解析：因为直线AB的斜率为a+1-aa-1-a＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点2a-12，2a+12，所以2a+12＝2a-4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为－9．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为________．52解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝-3-考点1两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为()A．3 B．3C．5 D．5C解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5a-2所以a2＋b2的最小值为5.3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2.1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4 B．13C．21313B解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0.它们之间的距离是72+3(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为()A．－24 B．24C．6 D．±6A解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a，0)，则2a-k=0，本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9.由3x+2y-3=0，6x-1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)C解析：设P(x，5－3x)，则d＝x-5+3x-112+-12＝2，化简得|42．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为()A．0 B．1C．2 D．3C解析：由x-2y+3=0，2x+3y-8=0，因为|PQ|＝1-02所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3对称问题——应用性考向1点关于点对称过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.中心对称问题的解法(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则x(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．考向2点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．-3313，413解析：设A由已知得y+2解得x=-3313，y=轴对称问题的解法(1)若点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为P′(m，n)，则有n(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B解析：由x-y-1=0，2x-y-2=0，得交点(1，0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线直线与直线对称问题的解法(1)先求出两条直线的交点，再在其中一条直线上取一个异于交点的点，求出该点关于直线的对称点，由两点式可写出直线的方程．(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A．2x＋3y＋5＝0B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0D．2x－3y＋5＝0B解析：易知A(－1，1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－1kA＝32，所以直线l2的方程为y－1＝32(x＋1)，即32．若函数y＝ax＋8与y＝－12x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋bA．12 B．－C．2 D．－2C解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－12x＋b为同一直线，则a=-2，b=4.课时质量评价(四十四)A组全考点巩固练1．(2023·聊城模拟)d为点P(1，0)到直线x－2y＋1＝0的距离，则d＝()A．55 B．C．355B解析：d＝1-0+11+42．已知直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，则l∥m的充要条件是()A．a＝－1 B．a＝1C．a＝±1 D．a＝0A解析：因为直线l：ax＋y＋a＝0，直线m：x＋ay＋a＝0，易知a＝0时，两直线垂直，所以l∥m的充要条件是a1＝1a≠aa3．(2023·泰安质检)过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0A解析：由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A．4．(多选题)直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为()A．3x－2y－4＝0 B．x＝2C．x－2y＝0 D．3x－2y－8＝0AB解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.因为P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝32，则直线l的方程为3x－2y5．已知A(1，63)，B(0，53)，作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是()A．d≥1 B．0＜d＜1C．0＜d≤1 D．0＜d＜2B解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线．而|AB|＝1-02+63-536．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0D解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.7．已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．6x－y－6＝0解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b-4又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为y-06-0＝x8．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．x＋2y－3＝0解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝-1-10-1＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－19．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝-1-5设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝-1+m1+9＝解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝-3+n1+9＝解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.B组新高考培优练10．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为()A．18 B．C．14A解析：直线l1，l2恒过点P(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2.因为0＜k＜4，所以4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝12×2×(4－k)＋12×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为()A．5 B．35C．45 D．53B解析：因为点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，所以|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|A′B|＝9+36＝35.故选B．12．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线y＝13x上的动点，则|AC|＋|BCA．22 B．23C．25 D．27C解析：设B关于直线y＝13x的对称点为B′(x0，y0)，则y0所以B′(2，－1)．由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝2+22+-13．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1，3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为____________________．y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得k-31+k2＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x.当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1，3)到直线l的距离为2，得4-a2＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或14．已知