1.1 锐角三角函数 第1课时 正切 北师大版数学九年级下册习题课件

第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切

对边

邻边

tan

A

tan

A

注意：（1）tan

A是在直角三角形中定义的，∠A是一

个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.（2）tan

A是一个比值，所以无单位.（3）tan

A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角

形的边长长短无关.（4）两锐角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相

等，则这两个锐角相等.（5）两个互余的角，正切值的乘积等于1，即tan

A·tan（90°－A）＝1.2.

判断梯子的倾斜程度用正切来描述梯子的倾斜程度，正切值越

，梯子

越

⁠.大

陡

铅直高度

水平宽度

注意：（1）坡面与水平面的夹角叫坡角.（2）坡度等于坡角（记作α）的正切值，即i＝tan

α.

题型一

根据边长求正切值

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12

cm，AB＝20

cm.（1）求tan

A和tan

B的值；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求tan∠ACD的值.[分析]

（1）先用勾股定理求出边AC的长，再直接根据

正切的定义求tan

A和tan

B的值；（2）利用同角的余角相等，可得∠ACD＝∠B，由等

角的正切值相等即可求出tan∠ACD的值.

[方法总结]解决此类问题的关键是找准对应边，准确表

示所求角的正切.当所需边未知时，通常需要结合已知

条件利用勾股定理求解.当两个角相等时，它们的正切

值也相等，所以有时我们可以转换角来求正切值.跟踪训练1.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶AB＝

3∶5，则tan

A的值为（C

）（第1题）C2.

如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D

是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的

值为

⁠.（第2题）

题型二

根据正切值求边长及相关量

图1

图2

图3

跟踪训练

（第3题）9

4.

如图，在▱ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中

点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.

（1）求证：四边形AEBD是菱形；（第4题）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四

边形，∴AD∥CE.

∴∠DAF＝∠EBF.

∵点F是AB的中点，∴AF＝BF.

（第4题）又∵∠AFD＝∠BFE，

∴△AFD≌△BFE.

∴AD＝BE.

∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形.又∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形.

（第4题）

（第4题）题型三

解决与坡度有关的问题

如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD

＝5

m，斜坡AB的坡度i＝1∶3（指坡面的铅直高度AE

与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i＝1∶1.5，已知

该拦水坝的高为6

m.（1）求斜坡AB的长；

（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长.解：（2）如答案图，过点D作DF⊥BC于点F，可得

四边形AEFD是矩形，故EF＝AD.

（答案图）

跟踪训练

（第5题）6

6.

如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为

18

cm，深为30

cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜

坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜

坡BC的坡度i＝2∶5，求AC的长度.解：如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D.

（第6题）根据题意，得AD＝30×2＝