2024年中国科学技术大学少年创新班数学试题真题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中科大少年班及少创班入围考试数学真题考试时间：2024年3月9日星期六本次数学考试，其18个填空题，1个大题.1．1-14个数填入正方体顶点和各面中心，求证是否可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等.2．一只蚂蚁从棱长为1的正方体一个顶点出发沿棱爬行，回到原点，最短路程.3．求取值范围.4．，对任意均成立，求的范围.5．求的常数项为____.6．是双曲线，求的范围7．求曲线所围成的封闭图形的面积.8．，求9．某复数，代表点，将绕点顺时针旋转得到，求点坐标.10．若分别为平面上的向量，为平面内的定点，的夹角为，.求点轨迹所围的面积是多少？11．，求12．8本不同的书分给5人，其中1个2本，1个人3本，剩余三人每人一本，求分配的方法有多少？13．甲乙进行比赛.每一轮，甲胜率为，乙胜率为．当其中一人比另一人多胜2轮则获得最终胜利.则甲获胜概率为？14．，和相互独立，，求15．下列哪些命题是真命题？（1）是的充要条件（2）（3），使得（4）若为无理数，则为无理数16．到分别为，求的最小值．17．的最小正周期为？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．否【分析】将个顶点设为，个面中心设为，求出面总和以及所有数的和，找出矛盾即可.【详解】将个顶点设为，个面中心设为，则，则面总和为为奇数，但面总和应该使的倍数，矛盾，综上：不可使各面上顶点及中心所填入数值之和相等.2．16【分析】根据每个顶点的度为3，且每个定点的出、入度之和为偶数，求出最短路径范围，再找到具体走法且其路径长恰好为最小值即可得解.【详解】将立方体看成一个平面图形，则每个顶点的度为3，但在回到起点的前提下，每个顶点的入度与出度之和应当是一个偶数，因此至少为4，这说明了最短路径长不小于，另一方面，设这个正方体为，则的路径长为，且能遍历所有棱且回到原出发点，满足题意，则最短路径长恰为.3．【分析】先利用和差化积公式和二倍角公式，转化成和的式子，在利用换元法转化成二次函数的的值域问题求解.【详解】∵.设，则原式，.此时把原式看成是关于的一次函数，所以函数的最大最小值必定是时取得.当时，原式，当时，原式.所以原式的取值范围为：.故答案为：.4．【分析】根据题意，分离参数可得在恒成立，然后构造函数，转化为，求导即可得到结果.【详解】由，对任意均成立，可得在恒成立，构造函数，即，又，令，可得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，当时，有极小值，即最小值，所以，即的范围为.5．141【分析】以为整体求出展开式的通项，再利用二项式定理求出常数项.【详解】依题意，的展开式的通项为，当时，，当时，展开式的通项，于是，由，得，则，此时常数项为，所以的常数项是.故答案为：1416．【分析】考虑双曲线方程的特点，可求的取值范围.【详解】由可得由或，由所以的取值范围是：.7．【分析】首先判断曲线的对称性，从而确定曲线在第一象限内与轴所围成的图形，再求出图形的面积.【详解】对于曲线，将换成得，即曲线关于轴对称，将换成得，即曲线关于轴对称，因此只需考虑在第一象限的情形，当，时曲线即，即，所以曲线在第一象限内与轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形，根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分，所以所围成的封闭图形的面积.

8．【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解.【详解】由由或，故由，故，因此由于，所以故9．【分析】根据题意，由条件可得，然后可得与相隔，结合三角函数的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为复数代表点，则，将绕点顺时针旋转得到，则，设与轴正半轴夹角为，则与轴正半轴夹角为，且，设点，则，，所以.10．【分析】确定点的轨迹为圆面，求解即可.【详解】因为，所以，所以时，，当时，，所以，所以点轨迹是以A为圆心，为半径的圆面，所以点轨迹所围的面积.11．【分析】利用复数的三角形式的运算，先求出，再利用和差化积公式进行求解.【详解】设，则.所以：,因为，所以.所以.∵.∴所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：用复数的三角形式计算复数的乘方和三角函数的和差化积公式是解决问题的关键.12．【分析】现将8本不同的书分成，再分分给5人，再由分步乘法计数原理即可得出答案.【详解】现将8本不同的书分成，所以有种方法，再分给5人，则有种方法，所以一共有：.13．【分析】分析甲最终获得胜利的情况，求出其概率.【详解】用表示事件“第一、二轮甲均获胜”，则，用表示事件“两轮比赛未决出胜负”，则必定是前两轮，甲以胜一负，则，则问题回到初始状态，用表示事件“甲最终获得胜利”，则则.故答案为：14．【分析】根据和事件及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】因为和相互独立，所以.又因为，，，所以，解得：.15．（1）（2）（3）【分析】逐一判断命题的真假即可.【详解】对（1）显然是成立的，故（1）是真命题；对（2）当时，，，故（2）是真命题；对（3）取，其中是不大于的最大整数，即的整数部分，则，令，则，故（3）为真命题；对（4）取，，可以验证（4）是假命题.故答案为：（1）（2）（3）16．70【分析】根据绝对值不等式求解.【详解】由，令，且，因为，同理，，上述等号成立条件为，故取时，有，此时取最小值，综上，，且当时，等号成立，则所求的最小值为.17