广东省深圳市2024-2025学年高一数学上学期第一次阶段考试试卷含解析

Page16广东省深圳市2024-2025学年高一数学上学期第一次阶段考试试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：因为，所以，又，所以.故选：B2.设命题：，，则以下描述正确的是（）A.为假命题，是“，”B.为假命题，“，”C.为真命题，是“，”D.为真命题，是“，”【答案】B【解析】【详解】当时，，与，冲突，所以，，所以为假命题而是，故选：B3.已知，则函数的解析式是（）A. B.（且）C. D.【答案】B【解析】【详解】解：由题知且，令，则（且），∴（且），∴（且）．故选：B．4.若实数满意，则的最小值为A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.考点：基本不等式5.函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题,,因为,,且对称轴为,所以,因为在区间上的最大值是5,最小值是1,所以故选：B6.若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．7.若两个正实数满意，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满意，可得，当且仅当，即时，等号成立，，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.8.关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】由得，若，则不等式无解．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．综上，满意条件的的取值范围是故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若a，b，，则下列命题正确的是（）A.若且，则 B.若，则C.若且，则 D.【答案】BCD【解析】【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；对于B，等价于，又，故成立，故B正确；对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.10.下面命题正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件C.设，则“”是“且”的充分不必要条件D.“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【详解】解：对于A，依据必要不充分条件的定义，可知A正确；对于B，若，则，所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；对于C，若“”，则不肯定有“且”，而若“且”，则肯定有“”，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；对于D，若，则或，则若“”，则不肯定有“”，而“”时，肯定有“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.11.下面结论正确的是（）A.若，则的最大值是B.函数的最小值是2C.函数（）的值域是D.，且，则的最小值是3【答案】ACD【解析】【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，A正确；，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；时，，，因为，所以时，，时，，时，．所以值域是，C正确；，且，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．故选：ACD．12.已知，，且，则（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.的最小值是3D.的最小值是【答案】BD【解析】【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B,由，,，当且仅当时取等号，得，所以,又，所以，B正确；对于C,由，，，得，则，当且仅当，即时等号成立,但，所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．【答案】5或－3【解析】【详解】因为9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意；当a＝3时，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意，综上所述，a＝5或a＝－3.故答案为：5或－314.若函数的定义域为，则的值为_________．【答案】【解析】【详解】由题意的解是，所以，解得，，所以．故答案为：．15.若关于x的二次方程的两个根分别为，且满意，则m的值为______【答案】【解析】【详解】关于x的二次方程有两个根，则，，又，即，解得或（舍去），的值为.16.已知函数，若且，则取值范围是_____．【答案】【解析】【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，且，则，，由得（负值舍去），因此，，，，，所以时，取得最大值，时，取得最小值，所以的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【小问1详解】对于集合A：，得，故；当时，所以.【小问2详解】由或，而，当时，，即满意题设；当时，，可得；综上，.18.已知命题“，”，命题“，”．（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【小问1详解】解：当命题是真命题，则不等式对满意的一切恒成立．由，得．设，则在上单调递增，在上单调递减，，．因此，实数的取值范围是．【小问2详解】解：当命题是真命题时，实数的取值范围是，（1）当命题是假命题时，实数的取值范围是．…（2）当命题假命题时，则命题“，”是真命题．由，得，，且当时取等号，的最小值是．当命题是假命题时，实数的取值范围是．…（3）当命题是真命题时，实数的取值范围是．…（4）当命题是真命题且是假命题时，由（1）、（3），得实数的取值范围是；当命题是假命题且是真命题时，由（2）、（4），得实数的取值范围是；综上，实数的取值范围是或．19.（1）已知、、、是实数，求证：（2）已知，，，且，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【详解】证明：（1），当且仅当时，取等号，对随意实数，，，，成立．（2）20.设函数．（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（2）若，解关于不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【小问1详解】不等式对于实数时恒成立，即，，明显，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；【小问2详解】不等式，即，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.21.某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满意与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、修理等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）求x关于t的函数；（2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）（2）（3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大【解析】【小问1详解】由题意：与成反比例，所以设，将t＝0，x＝1代入，得k＝2，所以.【小问2详解】当年生产x(万件)时，年生产成本为：，当销售x(万件)时，年销售收入为：，由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，所以即：.【小问3详解】由（2）有：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，，即.所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．22.对随意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．（1）若对于随意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）若，且，求使得等式成立的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【