2025版新教材高中数学第七章统计案例3独立性检验问题3.1独立性检验3.2独立性检验的基本思想3.3独立性检验的应用课时作业北师大版选择性必修第一册

3．1独立性检验3．2独立性检验的基本思想3．3独立性检验的应用必备学问基础练学问点一2×2列联表1.如下是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()yxy1y2总计x1a3545x27bn总计m73sA．10，38B．17，45C．10，45D．17，382．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的状况进行了调查，统计数据如表所示：每年是否体检人群每年体检每年未体检合计老年人a7c年轻人6bd合计ef50已知抽取的老年人、年轻人各25名，则完成上面的列联表数据错误的是()A．a＝18B．b＝19C．c＋d＝50D．e－f＝2学问点二独立性检验思想3.对于变量X与Y的统计量χ2，下列说法正确的是()A．χ2越大，“X与Y有关联”的可信程度越小B．χ2越小，“X与Y有关联”的可信程度越小C．χ2越接近于0，“X与Y没有关联”的可信程度越小D．χ2越大，“X与Y没有关联”的可信程度越大4．在探讨打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到了“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是()A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打鼾C．在100个心脏病患者中肯定有打鼾的人D．在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有学问点三独立性检验的应用5.某机构为探讨学生玩电脑嬉戏和对待作业量看法的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如下表所示：认为作业多认为作业不多合计喜爱玩电脑嬉戏251540不喜爱玩电脑嬉戏253560合计5050100(参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）))参照以上公式，得到的正确结论是()A．有95%的把握认为喜爱玩电脑嬉戏与对待作业量的看法有关B．有95%的把握认为喜爱玩电脑嬉戏与对待作业量的看法无关C．有99%的把握认为喜爱玩电脑嬉戏与对待作业量的看法有关D．有99%的把握认为喜爱玩电脑嬉戏与对待作业量的看法无关6．有两个分类变量x与y，其一组观测值如下表所示：y1y2x1a20－ax215－a30＋a其中a，15－a均为大于5的整数，则当a＝________时，有90%的把握认为x与y之间有关系．7．为了探讨患色盲是否与性别有关，随机调查了男性480人，其中有38人患色盲，女性520人，其中有6人患色盲．(1)依据以上数据建立一个2×2列联表；(2)推断患色盲是否与性别有关．关键实力综合练一、选择题1．如表是一个2×2列联表，则表中a，b的值分别为()y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A.94，72B．52，50C．52，74D．74，522．假设有两个分类变量X和Y，其2×2列联表如下：YXy1y2合计x1a10a＋10x2c30c＋30合计b46120注：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝n(eq\f(a,a＋c)－eq\f(b,b＋d))·(eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)).对于同一样本，以下数据能说明X和Y关联性最大的一组是()A．a＝45，c＝15B．a＝40，c＝20C．a＝35，c＝25D．a＝30，c＝303．为探讨某两个变量是否有关系，依据调查数据计算得到χ2≈15.968，所以断定这两个变量有关系的把握为()A．90%B．95%C．99%D．100%4．两个变量X和Y，值域分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关联的可信程度为90%，则c＝()A．5B．6C．7D．85．某探讨所为了检验新开发的疫苗对某疾病的预防作用，对1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的一年健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是()A．这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1%B．若某人未运用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病C．有1%的把握认为这种疫苗能起到预防疾病的作用D．有99%的把握认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用6．[易错题]在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动．则认为性别与休闲方式有关系的把握大约为()A．0.1B．0.01C．0.9D．0.99二、填空题7．为了调查患慢性支气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：患慢性支气管炎未患慢性支气管炎合计吸烟43162205不吸烟13121134合计56283339依据列联表数据，求得χ2≈________．(精确到0.001)8．某科研机构为了探讨中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的状况，详细数据如下表：心脏病无心脏病总计秃发20300320不秃发5450455总计25750775依据表中数据得到χ2＝eq\f(775×（20×450－5×300）2,25×750×320×455)≈15.968.因为χ2>6.635，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种推断出错的可能性为________．9．有人发觉，多看手机简单使人变近视，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：近视不近视合计少看手机203858多看手机6842110合计8880168则有________的把握认为多看手机与人变近视有关系．三、解答题10．[探究题]某学校课题组为了探讨学生的数学成果与物理成果之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试的成果(百分制)如下表所示：序号12345678910数学成果95758094926567849871物理成果90637287917158829381序号11121314151617181920数学成果67936478779057837283物理成果77824885699161847886若数学成果90分(含90分)以上为优秀，物理成果85分(含85分)以上为优秀．(1)依据上表完成下面的2×2列联表：数学成果优秀数学成果不优秀合计物理成果优秀物理成果不优秀12合计20(2)依据题(1)中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成果与物理成果之间有关系？参考数据公式：独立性检验统计量χ2值的计算公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.学科素养升级练1．[多选题]千百年来，我国劳动人民在生产实践中依据云的形态、走向、速度、厚度、颜色等的改变，总结了丰富的“看云识天气”的阅历，并将这些阅历编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，视察了A地区的100天日落和夜晚天气的状况，得到如下2×2列联表：夜晚天气日落云里走下雨未下雨出现255未出现2545并计算得到χ2≈19.05，下列小波对A地区天气推断正确的是()A．夜晚下雨的概率约为eq\f(1,2)B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为eq\f(5,14)C．有99%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关D．出现“日落云里走”，有99%的把握认为夜晚会下雨2．对于两个变量X，Y，其2×2列联表如下所示．YXy1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d若两个变量X，Y独立，给出下列结论：①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③eq\f(c＋d,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；④eq\f(c＋a,a＋b＋c＋d)≈eq\f(b＋d,a＋b＋c＋d)；⑤eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）,（a＋b）（b＋d）（a＋c）（c＋d）)≈0.其中正确结论的序号是________．3．[学科素养——数据处理]某高校健康社团为调查本校高校生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长(单位：时)，依据[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下表，规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”．表1：男生每周运动的时长时长[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]人数2816842表2：女生每周运动的时长时长[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]人数04121284(1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；(2)依据题目条件，完成下面的2×2列联表，并推断能否有99%的把握认为本校高校生是否为“运动合格者”与性别有关．每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生女生总计参考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.3．1独立性检验3．2独立性检验的基本思想3．3独立性检验的应用必备学问基础练1．解析：由题意，依据2×2列联表可知：a＋35＝45，解得a＝10，则m＝a＋7＝10＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，则n＝7＋38＝45，故选B.答案：B2．解析：因为a＋7＝c＝25，6＋b＝d＝25，a＋6＝e，7＋b＝f，e＋f＝50，所以a＝18，b＝19，c＋d＝50，e＝24，f＝26，e－f＝－2，故选D.答案：D3．解析：对于分类变量X与Y的统计量χ2，χ2越大，“X与Y有关联”的可信程度越大；χ2越小，“X与Y有关联”的可信程度越小，所以选项B正确．故选B.答案：B4．解析：有99%以上的把握认为“打鼾与患心脏病有关”的结论成立，与多少个人打鼾没有关系，只有D选项正确，故选D.答案：D5．解析：由题意得χ2＝eq\f(100×（25×35－15×25）2,40×60×50×50)≈4.17>3.841，故有95%的把握认为喜爱玩电脑嬉戏与对待作业量的看法有关．故选A.答案：A6．解析：由题意，可知要有90%的把握认为x与y之间有关系，则χ2>2.706，则χ2＝eq\f(65×[a（30＋a）－（20－a）（15－a）]2,20×45×15×50)＝eq\f(65×（65a－300）2,20×45×15×50)＝eq\f(13×（13a－60）2,60×90)>2.706.因为a>5且15－a>5，a∈Z，所以a＝6，7，8，9.代入不等式验证可知8，9均满意要求，故当a为8或9时，有90%的把握认为x与y之间有关系．答案：8或97．解析：(1)建立的2×2列联表如下表所示：患色盲未患色盲总计男38442480女6514520总计449561000(2)χ2＝eq\f(1000×（38×514－442×6）2,480×520×44×956)≈27.139，因为27.139>6.635，所以有99%的把握认为患色盲与性别有关．关键实力综合练1．解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝52＋22＝74.故选C.答案：C2．解析：对于A选项，χ2＝100×(eq\f(45,60)－eq\f(10,40))(eq\f(45,55)－eq\f(15,45))＝eq\f(800,33)≈24.24；对于B选项，χ2＝100×(eq\f(40,60)－eq\f(10,40))(eq\f(40,50)－eq\f(20,50))＝eq\f(100,6)≈16.7；对于C选项，χ2＝100×(eq\f(35,60)－eq\f(10,40))(eq\f(35,45)－eq\f(25,55))＝eq\f(3200,297)≈10.77；对于D选项，χ2＝100×(eq\f(30,60)－eq\f(10,40))(eq\f(30,40)－eq\f(30,60))＝eq\f(25,4)＝6.25.由于A中的χ2最大，故可以推断出，X和Y关联性最大．故选A.答案：A3．解析：因为χ2≈15.968>6.635，所以断定这两个变量有关联的把握为99%.故选C.答案：C4．解析：列2×2列联表可知：XYX1X2合计Y1102131Y2cd35合计10＋c21＋d66当c＝5时，d＝30，此时χ2＝eq\f(66×（10×30－21×5）2,15×51×31×35)≈3.024>2.706，所以c＝5时，X与Y有关联的可信程度为90%，而其余的值皆不满意，故选A.答案：A5．解析：由P(χ2≥6.635)≈0.01，可知D正确．答案：D6．解析：依据所给的数据得到2×2列联表，如下：男女合计看电视204060运动352560合计5565120计算χ2＝eq\f(120×（20×25－35×40）2,55×65×60×60)≈7.552>6.635，所以有99%的把握认为性别与休闲方式有关系．故选D.答案：D7．解析：χ2＝eq\f(339×（43×121－162×13）2,205×134×56×283)≈7.469.答案：7.4698．解析：由已知χ2>6.635，可知有99%的把握断定秃发与心脏病有关系，且这种推断出错的可能性为0.01.答案：0.019．解析：由题意题中数据可得，χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(168×（20×42－38×68）2,58×110×88×80)≈11.377>6.635，所以有99%的把握认为多看手机与人变近视有关系．答案：99%10．解析：(1)列联表为数学成果优秀数学成果不优秀合计物理成果优秀527物理成果不优秀11213合计61420(2)依据上述列联表可以求得χ2＝eq\f(20×（5×12－1×2）2,6×14×7×13)≈8.802>6.635，所以我们有99%的把握认为学生的数学成果与物理成果之间有关系．学科素养升级练1．解析：对于选项A，因为夜晚下雨的天数一共有25＋25＝50(天)，所以夜晚下雨的概率约为eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，故A正确．对于选项B，未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落云里走”的一共有25＋45＝70(天)，所以在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为eq\f(25,70)＝eq\f(5,