2025版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式2.2.1基本不等式导学案新人教A版必修第一册

第1课时基本不等式【学习目标】(1)学会推导、证明不等式ab≤a+b2【问题探究】如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何说明吗？题型1对基本不等式的理解例1(多选)下列推导过程，其中正确的是()A．因为a，b为正实数，所以ba+aB．因为a>3，所以4a＋a≥24C．因为a<0，所以4a＋a≥24D．因为x，y∈R，xy<0，所以xy+yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2学霸笔记：基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中留意“一正、二定、三相等”．跟踪训练1已知a≠0，下列各不等式恒成立的是()A．a＋1a>2B．a＋1C．a＋1a≤－2D．|a＋1题型2利用基本不等式干脆求最值例2(1)当x>0时，求12x＋4x(2)当x<0时，求12x＋4x学霸笔记：应用基本不等式求最值，必需根据“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，则可干脆运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．跟踪训练2(1)已知a>0，则a＋4aA．2B．3C．4D．5(2)设x>0，则y＝3－3x－1xA．3B．3＋23C．3－23D．－1题型3利用基本不等式求两个变量和(积)的最值例3把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？一题多变把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？学霸笔记：当a>0，b>0时，(1)若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值p24，这可以用基本不等式(2)若ab＝S(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S，这可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．不论哪种状况都要留意等号取得的条件．跟踪训练3(1)已知正数a，b满意ab＝8，则a＋2b的最小值是()A．4B．6C．22D．8(2)已知x>0，y>0，且满意x＋6y＝6，则xy有()A．最大值32B．最小值C．最大值1D．最小值1随堂练习1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝02．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4C．x2＋3x2≥233．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是()A．9B．18C．93D．274．已知y＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a课堂小结1.基本不等式的推导与证明．2．利用基本不等式求最值要满意条件“一正、二定、三相等”，缺一不行．第1课时基本不等式问题探究提示：如题图，可证△ACD∽△DCB，因而CD＝ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为ab≤a+b2.明显，当且仅当点C与圆心重合，即当a例1解析：对于A，a，b为正实数，有ba>0，ab>0，且ba·ab＝1，又当且仅当a＝b时，ba对于B，4a＋a≥24a·a＝4，当a>3时，4a>0，且a·4a＝4，明显不存在大于3的正数a使a＝对于C，因为a<0，则4a对于D，x，y∈R，xy<0，则－xy>0，－yx>0，且-xy·-yx＝1，又当且仅当y＝－答案：AD跟踪训练1解析：取a＝－1时，a＋1a＝－2，可推断选项A、B不正确；取a＝1时，a＋1a＝2，可推断选项C不正确；因为a，1a同号，|a＋1a|＝|a|＋|答案：D例2解析：(1)∵x>0，∴12x>0，4x∴12x＋4x≥212x·当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83∴当x>0时，12x＋4x的最小值为83(2)∵x<0，∴－x>0.则12-x＋(－4x)≥212-当且仅当12-x＝－4x时，即x＝－∴12x＋4x≤－83∴当x<0时，12x＋4x的最大值为－83跟踪训练2解析：(1)因为a>0，所以a＋4a＋1≥2a·4a＋1＝5.当且仅当a＝4a，即a(2)因为x>0，所以3x＋1x≥23x·1x＝23，当且仅当3x＝1x，即x＝33时取等号，所以3－3x－1x≤3－23，即y＝3－3x答案：(1)D(2)C例3解析：设两个正数为a，b，由题意ab＝36，则a＋b≥2ab＝12，当且仅当a＝b＝6时等号成立，即a＝b＝6时，它们的和最小，为12.一题多变解析：设两个正数为a，b，由题意a＋b＝18，则ab≤a+b24＝81当且仅当a＝b＝9时等号成立，即a＝跟踪训练3解析：(1)由a，b为正实数，则a＋2b≥22ab＝22×8＝8，当且仅当a＝2b，即a＝4，(2)xy＝x·6y6≤16x+6y22答案：(1)D(2)A[随堂练习]1．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．故选B.答案：B2．解析：A.当a<0时，a＋4a≤－4，故错误；B.因为a2＋b2≥2ab，故错误；C.由基本不等式得x2＋3x2≥23，当且仅当x2＝3时，取等号，故正确；D.当a＝1，b＝2时，ab答案：C3．解析：因为