2024-2025学年中国人民大学附中高二（上）统练数学试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年中国人民大学附中高二（上）统练数学试卷（三）一、单选题：本大题共10小题，共40分。1.直线x+3y+2=0的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知直线l的方向向量u=(−2,4)且过点A(−1,−2)，则l的方程为(

)A.2x+y+4=0 B.2x−y=0 C.x+2y+5=0 D.x−2y−3=03.过点A(3,5)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(

)A.x−y+2=0 B.x+y−8=0

C.5x−3y=0或x+y−8=0 D.5x−3y=0或x−y+2=04.下列说法中正确的有(

)A.若两直线平行，则两直线的斜率相等

B.若两直线的斜率相等，则两直线平行

C.若两直线的斜率乘积等于−1，则两直线垂直

D.若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于−15.两平行直线mx−3y−2=0与4x−6y−7=0之间的距离为(

)A.1326 B.1313 C.6.已知直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+ay−1=0，则“a=1”是l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y−10=0反射，若反射光线过点(0,1)，则反射光线所在的直线方程为(

)A.x−2y+2=0 B.3x−2y+2=0 C.2x−3y+3=0 D.2x−y+1=08.已知圆M经过P(1,1)，Q(−7,−5)两点，且圆心M在直线l：x−2y−1=0，则圆M的标准方程是(

)A.(x−2)2+(y−3)2=5 B.(x−39.如图，二面角α−l−β的大小为π3，棱l上有A，B两点，线段AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l.若AC=3，BD=4，CD=7，则线段AB的长为(

)A.5 B.6 C.7 D.810.若直线kx−y−3k+2=0与直线x+ky−2k−1=0交于点P，则P到坐标原点距离的最大值为(

)A.22 B.22+1 二、填空题：本大题共5小题，共20分。11.已知直线m：(a+2)x+ay+3=0，n：ax+2y−4=0，若m⊥n，则实数a=______．12.已知点A(2,1)，B(3,−2)，若直线l：y=k(x−1)与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是______．13.已知直线l1：2x+y−2=0与直线l2：22x−y−4=0交于点A，过点A14.已知实数x1，x2，y1，y2满足x12+y115.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E.给出下列四个结论：

①△AA1P的面积的最大值为5；

②满足使△AA1P的面积为2的点P有且只有4个；三、综合题：共40分。16.已知△ABC的顶点为A(0,2)，B(6,4)，C(4,0)．

(1)求边AC的垂直平分线的一般式方程；

(2)求△ABC的外接圆的方程．17.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB=2AD=2EF=4，AE=DE=2．

(1)求证：AB/​/EF；

(2)从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF存在.求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．

条件①：平面CDEF⊥平面ABCD

条件②：平面ADE⊥平面ABCD

条件③：CD⊥AE

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.如图，设直线l1：x=0，l2：3x−4y=0点A的坐标为(1,a)(a>34).过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N(M,N的纵坐标均为正数)．

(1)设a=1，求△MON面积的最小值；

(2)是否存在实数a，使得119.已知集合P的元素个数为3n(n∈N∗)且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P=A∪B∪C，A∩B=⌀，A∩C=⌀，B∩C=⌀，其中A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bn}，C={c1,c2,…,cn}，且满足c1<c2<…<cn，ak+bk=ck，k=1，参考答案1.D

2.A

3.D

4.BC

5.C

6.C

7.A

8.C

9.B

10.B

11.0或−4

12.[0,π13.2x−4y−214.4+215.①④

16.解：(1)设AC中点为D，

因为A(0,2)，C(4,0)．

所以D(2,1)，

由题意得kAC=0−24−0=−12，所以边AC上高的斜率为2，

又因为AC的垂直平分线过点D(2,1)，

所以AC的垂直平分线的方程为：y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0．

(2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．

将A，B，C三点坐标代入上式得2E+F+4=017.解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB/​/CD，

又AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，

所以AB/​/平面CDEF，

又平面ABEF∩平面CDEF=EF，AB⊂平面ABEF，

所以AB/​/EF；

(2)若选条件①：平面CDEF⊥平面ABCD，

则平面CDEF∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，

所以AD⊥平面CDEF，ED⊂平面CDEF，所以AD⊥ED，

但是AE=DE=2，因此AD⊥ED不可能，所以选择条件①的五面体不存在，

若选择条件②：平面ADE⊥平面ABCD，

取AD的中点O，BC的中点M，连接OE，OM，

则OM⊥AD，由AE=DE=2，得OE⊥AD，且OE=1，

因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，OE⊂平面ADE，

所以OE⊥平面ABCD，由OM⊂平面ABCD，得OE⊥OM，

建立如图空间直角坐标系O−xyz，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(−1,4,0)，E(0,0,1)，F(0,2,1)，

则AE=(−1,0,1),BC=(−2,0,0),BF=(−1,−2,1)，

设n=(x,y,z)为平面BCF的一个法向量，

则n⋅BC=−2x=0n⋅BF=−x−2y+z=0，

令y=1，得x=0，z=2，所以n=(0,1,2)，

|cos〈n,AE〉|=|n⋅AE||n||AE|=25×2=105，

设直线AE与平面BCF所成角为α，则sinα=105．

所以直线AE与平面BCF所成角的正弦值为105．

若选择条件③：CD⊥AE，

由于CD⊥AE，CD⊥AD，AD∩AE=A，AD，AE⊂平面AED，

所以CD⊥平面AED，CD⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD，

因为平面ADE∩平面ABCD=AD，OE⊂平面ADE，

所以OE⊥平面ABCD，由OM⊂平面ABCD，得OE⊥OM，

建立如图空间直角坐标系O−xyz，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(−1,4,0)，E(0,0,1)18.解：(1)∵直线l过点A(1,a)(a>34)，且斜率为k，

∴直线l的方程为y=k(x−1)+a，

∵直线l与l1，l2分别交于点M，N，∴k≠34，

因此由x=0y=k(x−1)+a，得x=0y=a−k，即M(0,a−k)，

由3x−4y=0y=k(x−1)+a，得x=4k−4a4k−3y=3k−3a4k−3，即N(4k−4a4k−3,3k−3a4k−3).

又∵M，N的纵坐标均为正数，∴a−k>03k−3a4k−3>0，即a−k>04k−3<0．

而a>34，因此k<34．

又∵当a=1时，直线OA的方程为x−y=0，

则M(0,1−k)，N(4k−44k−3,3k−34k−3)，且|OA|=2，

∴点M到直线OA的距离为|k−1|2=2(1−k)2，

点N到直线OA的距离为|4k−44k−3−3k−34k−3|2=2|k−1|2|4k−3|=2(1−k)2(3−4k)，

因此△MON的面积S=12⋅2⋅[2(1−k)2+19.解：(Ⅰ)将P分为{1}，{2}，{3}满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1=c1，a2+b2=c2；Q中所有元素之和为21，21÷2=10.5=c1+c2，不符合要求．