2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={−1,0}，B={0,1}，则A∩B=(

)A.{0} B.{−1,0} C.{0,1} D.{−1,0,1}2.已知a<1，则(a−1)2A.−1 B.1 C.2a−1 D.1−2a3.已知函数f(x+1)=x2，则f(−1)=(

)A.0 B.1 C.2 D.44.命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是(

)A.∀x<0，x2<0 B.∀x≥0，x2<0

C.∃x<0，x25.已知a，b∈R，则“ab=0”是“a2+b2=0A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要6.已知m<n<0，则(

)A.m2<n2 B.m2<mn7.已知a=log94，b=log1510A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a8.定义：min{a,b}表示a，b中的较小者.若函数y=min{1−|x−2|,(x−1)2−1}在区间[m,n]上的取值范围为[−1,0]，则n−m的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为A，B，C，D的单选题，他们的对话如下：

甲：我选的A；

乙：我选的B；

丙：我选的C；

丁：我选的不是C．

已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论正确的是(

)

注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值A.若f(x)，g(x)均为增函数，则y=f(x)+g(x)也为增函数

B.若f(x)，g(x)均为减函数，则y=f(x)g(x)也为减函数

C.若f(x)，g(x)均存在零点，则y=f(x)g(x)也存在零点

D.若f(x)，g(x)均存在零点，则y=f(x)+g(x)也存在零点11.设x，y为正数，且logax+2y3=loA.2yx+x2y的最小值是2 B.xy的最大值是8116

C.x+2y的最大值是9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数y=x−1x的定义域为______.(13.已知2a=3，b=log25，则log158=______.(14.已知a>0，关于x的不等式x2−ax+6⩽0的解集中有且仅有3个整数n−1，n，n+1，则n=______，a的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知全集U=R，集合A={x|x2−7x+10<0}，B={x|m−1<x<m+1}．

(1)当m=3时，求A∪(∁RB)；

(2)若16.(本小题15分)

已知a∈R，命题p：∀x>1，2−a⩽x+1x−1，命题q：∃x⩾0，x2−2x+a−1=0．

(1)若p为真命题，求a的最小值；

(2)若p和q恰好一真一假，求17.(本小题15分)

已知A，B为东西方向的海岸线上相距12km的两地(B在A的东侧)，C是A，B之间距A地3km处的一地，在C地正南方向3km处有一海岛P，由海岛P开往海岸的小船以10km/ℎ的速度按直线方向航行．

(1)某人在海岛P上乘小船在距C地正东方向4km处的D地登岸，登岸后以5km/ℎ的速度向东步行到B地，求此人从海岛P到达B地的时间；

(2)一快递员以vkm/ℎ的速度从A地向B地骑行，同时某人乘小船从海岛P向海岸出发，两人恰好相遇于C，B之间的E地，且距C地xkm(0<x<9)，求快递员的速度v的最大值．18.(本小题17分)

已知函数p(x)=x，q(x)=1x−2．

(1)是否存在x∈R，使得p(q(x))=0？请说明理由；

(2)设函数f(x)=p(x)−q(1x)−2，判断并证明f(x)在区间(14,+∞)上的单调性；

(3)设函数g(x)=p(x),14<x<1,19.(本小题17分)

我们知道，任何一个正实数x都可以表示成x=a×10n(1⩽a<10,n∈Z).当n⩾0时，记x的整数部分的位数为f(a×10n)，例如f(1.02×10)=2；当n<0时，记x的非有效数字的个数为f(a×10n)，例如f(1.02×10−2)=2．

(1)求f(1.02×102)，f(1.02×10−1)，并写出f(a×10n)的表达式(不必写出过程)；

(2)若x=参考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.B

8.B

9.AB

10.AC

11.ACD

12.[1,+∞)

13.3a+b14.3

{a|215.解：(1)由题意，A={x|2<x<5}，当m=3时，B={x|2<x<4}，

则∁RB={x|x≤2或x≥4}，A∪(∁RB)=R；

(2)A∩B=B，则B⊆A，

显然B≠⌀，则m−1≥2m+1≤5，解得3≤m≤416.解：已知a∈R，命题p：∀x>1，2−a⩽x+1x−1，命题q：∃x⩾0，x2−2x+a−1=0，

(1)p为真命题，即2−a≤x+1x−1对任意x>1恒成立，

所以1−a≤x−1+1x−1对任意x>1恒成立，

因为x−1+1x−1≥2(x−1)⋅1x−1=2，当且仅当x−1=1x−1，即x=2时等号成立，

所以1−a≤2，解得a≥−1，即a的最小值为−1．

(2)若q为真命题，即当x≥0时，x2−2x+a−1=0有解，

因为y=x2−2x+a−1开口向上，对称轴为x=1，

所以只需Δ=4−4(a−1)≥0，即a≤2，

所以当p假17.解：(1)如图所示，可得AC=PC=3km，CD=4km，BD=9−4=5km，PC⊥CD，

根据勾股定理，可得PD=PC2+CD2=32+42=5km，

因此，此人从海岛P到达B地的时间为t=PD10+BD5=510+55=1.5ℎ．

(2)如图所示，可得AC=PC=3km，CE=xkm，PC⊥CE，

根据勾股定理，可得PE=PC2+C18.(1)解：函数p(x)=x，q(x)=1x−2，

由p(q(x))=0，得1x−2=0，即1x−2=0，得x=12，

∴存在x∈R，使得p(q(x))=0，x=12；

(2)解：函数f(x)=p(x)−q(1x)−2=x−x的定义域为(0,+∞)，

f(x)在区间(14,+∞)上单调递减，证明如下：

∀x1,x2∈(14,+∞),x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=x1−x1−(x2−x2)=x1−x2−(x1−x2)

=x1−x2−(x1+x2)(x1−x2)=(x1−x2)(1−x1−x2)，

由∀x1,x2∈(14,+∞),x1<x2，得119.解：(1)因为当n⩾0时，记x的整数部分的位数为f(a×10n)；当n<0时，记x的非有效数字的个数为f(a×10n)，

所以f(1.02×102)=3，f(1.