数学课堂导学：同角三角函数的基本关系式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、对基本关系的理解（1)公式sin2α+cos2α=1(平方关系)和=tanα（商数关系）,称为同角三角函数的基本关系式.这里，“同角”有两层含义，一是“角相同",二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下)关系式都成立。（2)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方,后者是α的平方的正弦，两者是不同的.应弄清它们的区别,并能正确书写.(3)公式sin2α+cos2α=1,=tanα的应用极为广泛,它们还有如下等价形式:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=cosαtanα,cosα=。【例1】若sinθ+cosθ=-1(θ≠,k∈Z),则θ所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C。第三象限D.第四象限解析：记f(θ）=sinθ+cosθ。(1)当θ在第一象限时，sinθ〉0，cosθ>0.∴f(θ）=1；（2）当θ在第二象限时，sinθ〉0,cosθ<0。∴f（θ)=sin2θ—cos2θ;(3)当θ在第三象限时,sinθ<0,cosθ〈0。∴f(θ)=—1；(4)当θ在第四象限时，sinθ<0，cosθ〉0.∴f（θ）=—sin2θ+cos2θ.答案:C各个击破类题演练1若β∈［0,2π),且=sinβ-cosβ，则β的取值范围是（）A.［0，］B.［，π］C。［π，］D。［,2π]解析:由已知得|sinβ|+｜cosβ|=sinβ—cosβ,则又β∈［0,2π），∴β∈［,π].答案:B变式提升1设函数y=(tanx+sinx）·（cotx+cosx），且x≠（k∈Z），则关于y的取值范围的判定正确的是（)A.y的值恒大于零B。y的值恒小于零C。有时大于零，有时等于零，但不小于零D.有时小于零，有时等于零，但不大于零解析:y=（tanx+sinx）·(cotx+cosx)=（+sinx）·(+cosx）==（1+cosx）(1+sinx),又∵x≠(k∈Z），∴—1〈cosx<1，-1<sinx〈1.∴(1+cosx)(1+sinx）>0，即y〉0.答案：A二、求一个角的三角函数值的问题已知角α的一个三角函数值，求α的其余三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号.一般有以下三种情况:(1)已知三角函数值且角在某一确定象限，这时只有一组解。如sinα=,α在第二象限，求cosα，tanα;(2）已知三角函数值，但没有给出角所在象限,这时一般有两组解,需对角所在象限分两种情况讨论.如sinα=，求cosα，tanα;(3）所给三角函数值为字母,这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论。如sinα=m,求cosα，tanα。当已知一个三角函数式的值,求另外一个三角函数式的值时,要对已知和结论进行化简,使两者联系起来。【例2】已知tanα=2，求下列各式的值:（1)sin2α-3sinαcosα+1;（2)；(3)。解析:（1）原式==.(2)原式==—1。(3）原式=。温馨提示(1）已知tanα的值,求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可将1=sin2α+cos2α代入,转化为关于tanα的函数后，再求值.（2）已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值，需注意以下两点:①被求式必须是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式;②由cosα≠0,可用cosnα（n∈N＊)除之.这样可以将被求式化为关于tanα的式子，整体代入tanα=m，就能求出被求式的值。类题演练2已知cosα=，且α为第二象限角,求tanα的值。思路分析：由于α为第二象限角,故tanα的值一定为负值.解：∵α为第二象限角，∴sinα=。∴tanα==.温馨提示已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值，且角所在象限已经确定，求另外两个三角函数值,只有一组结果。变式提升2已知sinα=,求tanα的值.思路分析：由于α可以有两种情况，故应分两种情况讨论。解:∵sinα=>0，∴α是第一象限或第二象限的角.若α是第一象限角，则cosα>0,tanα>0。∴cosα=，tanα==.若α是第二象限角，则cosα<0,tanα<0∴cosα=，tanα==。温馨提示（1）要注意根据问题需要运用sin2α+cos2α=1的变形sin2α=1—cos2α或cos2α=1—sin2α；（2）已知一个角的某一个三角函数值，但不知其终边位置，要先根据已知的三角函数值确定终边位置，然后分不同情况求解。三、三角函数式的化简与证明【例3】化简下列各式：（1）;(2).思路分析:对(1)应用公式想方设法将无理式化为有理式，将结果化为最简形式.对(2)遇到高次,要通过基本关系式降次，将1代换为sin2θ+cos2θ，再因式分解。解：(1)原式=（2)原式==。温馨提示（1)去掉绝对值符号时,一般需要进行分类讨论。(2）注意公式sin2α+cos2α=1具有“降幂"的作用.类题演练3化简：sin2αtanα+cos2α·+2sinαcosα.解法一：原式=sin2α·+cos2α·+2sinαcosα=解法二：原式=（sin2αtanα+sinαcosα)+（+sinαcosα）=tanα(sin2α+cos2α)+(cos2α+sin2α）=tanα+=+.温馨提示化简三角函数的目的是为了简化运算.本题两种解题思路不同，但都用到了公式tanα=。法一是顺用公式。法二是逆用，即sinα=tanα·cosα，cosα=。解题时要注意灵活运用公式。变式提升3如果=tanα-，那么角α的范围是（）A。｛α｜2kπ+<α〈2kπ+，k∈Z｝B。｛α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}C。{α|2kπ<α〈(2k+1)π，k∈Z}D。{α｜2kπ—〈α〈2kπ+，k∈Z｝解析：。tanα—=。由已知=tanα-,得｜cosα｜=—cosα。又cosx≠0(否则tanα无意义），∴cosα〈0。∴2kπ+<α〈2kπ+,k∈Z.故选A.答案:A【例4】求证:。思路分析：本题可以从5种不同的角度分析.证法一：左边==右边.证法二:∵=-secα—tanα===0。∴.证法三:左边==tanα+secα==右边。证法四:∵==1∴。证法五：∵tan2α-sec2α=-1，即(tanα+secα)(tanα-secα)=-1。∴.由等比定理可得。∴.类题演练4证明下列三角恒等式。（1）.(2).分析：(1)切化弦；(2)左边入手,利用平方差公式.证明：（1)左边==右边。所以原命题成立.（2)左边=.所以原命题成立.变式提升4求证：证法一：左边==右边.证法二：右边==左边。所以等式成立.温馨提示三角恒等式的证明有以下方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左