直线与圆锥曲线的综合问题 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册_第1页
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2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.例1:已知直线l过椭圆C:的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围.解：(1)当直线l的斜率不存在时(如图1)，直线l:x=0，代入椭圆方程解得A(0，)，B(0，)，∴|AB|=(2)当直线l的斜率存在时(如图2)，设直线l的方程为y=kx.将椭圆方程化简、整理，得x2+2y2=4.将直线和椭圆方程联立，得①②图1图2例1:已知直线l过椭圆C:的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围.将②代入①，化简整理得(2k2+1)x2=4.③显然，无论k取何值，方程③都有实数解，由两点间的距离公式，可得④图2例1:已知直线l过椭圆C:的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围.为了便于求|AB|的取值范围，将④进行变形整理，得∵4k2+2≥2，由不等式的性质可得综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[2

，4].图2当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：注意：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积.(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.归纳总结思考交流：某同学给出了例1的如下解决方法：解：考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的，∴|AB|=2|OA|=∵点A在椭圆C上，∴xA2+2yA2=4，整理，得xA=4-2yA2.将其代入上式，消去xA可得|AB|=

由上述函数关系可以求出0≤|AB|≤4.请对该同学的上述解法进行评价.此法综合运用的椭圆的中心对称性质，设而不求，优化了整体运算.但是却没有根据图象，考虑yA的实际范围，故而导致最终取值错误.反思上述“思考交流”求解解析几何问题的过程，一方面可以再次感受到数形结合思维方式的作用，另一方面也可以感受到，还应该在分析图形的基础上对题目中的几何要素进行合理代数化表达.归纳总结

归纳总结方法一联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．方法二点差法设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．解决椭圆中点弦问题的方法

C43.已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为(

)A．2x－y－3＝0B．2x－y－5＝0C．x－2y＝0D．x－y－1＝0A

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