专题05导数与函数的单调性（重难点突破）原卷版

专题05导数与函数的单调性【重难点知识点网络】：1．函数的单调性与其导数的关系在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减．注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．2．函数图象与之间的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．【重难点题型突破】：一、利用导数判断函数的单调性（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论．（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接．例1．（2021·湖北高二开学考试）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．

【变式训练11】．（2021·全国高二单元测试）在内的单调性是（）A．增加的B．减少的C．在内是减少的，在内是增加的D．在内是增加的，在内是减少的【变式训练12】．（2021·浙江高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．例2．（2021·全国高二课时练习）已知函数.讨论函数的单调性.

【变式训练12】．（2021·江苏泰州市·泰州中学高二月考）设函数，其中．若，讨论的单调性；【变式训练13】．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，（）分别为点，的横坐标，求证：．

【变式训练14】．（2021·全国高二单元测试）求下列各函数的单调区间：（1）f(x)=2x33x2；（2）．【变式训练15】．（2021·全国高三月考（文））已知函数.（1）判断的单调性；（2）若方程有唯一实根，求证：.

二、函数与导函数图象之间的关系判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．例2．（2021·西安市第八十三中学高二期末（理））函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【变式训练21】．（2021·全国高二课时练习）导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（）A．B．

C．D．【变式训练22】．（2021·四川遂宁市·高三二模（文））函数的大致图象为（）A． B．C． D．

三、导数在解决单调性问题中的应用（1）已知函数的单调性求参数的值或取值范围问题，是一类非常重要的题型，其基本解法是利用分离参数法，将或的参数分离，转化为求函数的最值问题．（2）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．例3．（2021·全国高二月考（理））已知在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【变式训练31】．（2021·山西高三一模（文））已知函数，对于任意实数，，且，都有，则的取值范围为（）A． B． C． D．【变式训练32】．（2020·江苏星海实验中学高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是__________．

【变式训练33】．（2021·全国高三专题练习）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；【变式训练34】．（2021·全国高三专题练习）已知函数．讨论的单调性；

【变式训练35】．．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））已知函数.（