专题09异面直线所成角度问题线面角二面角中档大题过关30题（原卷版）-2022-2023学年高中数学下学期重难点题型分类高分必刷题（人教A版2019）

专题09异面直线所成的角、线面角、二面角中档大题过关30题（原卷版）专题简介：本份资料包含立体几何中的角度问题这一专题中的三大类题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：异面直线所成的角度问题、直线与平面所成的角度问题、二面角问题。适合于培训机构的老师给学生作专题复习时使用或者学生考前刷题时使用。题型一：异面直线所成的角度问题1.异面直线的概念:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交，也不平行．另外特别注意异面直线所成角的范围是.2.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3.求异面直线所成的角还有向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.1．（明德）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：(1)平面AB1D1//平面C1BD；(2)求直线D1A与BA1所成角．

2.（雅礼）如图所示，在长方体中，，，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求异面直线与所成的角.3．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.4．（金山中学）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为线段、的中点.（1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积.5.（雅礼）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长度为，且，求：(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.题型二：直线与平面所成的角度问题1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]；2.垂线法求线面角：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面ɑ做垂线，确定垂足0；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面ɑ上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影B0与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3.向量法求线面角：设直线的方向向量和平面ɑ的法向量分别为,则直线与平面ɑ所成角θ满足sinθ=|cos<>|；6.（雅礼）如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为的中点.求证：(1)平面；(2)求与平面所成的角.7.（麓山国际）6．如图，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上一点，，过点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.(1)求证：DE平面VBC；(2)若三棱锥V—ABC的体积为，求VA与平面VBC所成角的大小.8.(南雅)如图，在三棱柱中，平面，.(1)求证：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值.

9.（长郡）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，(1)设，分别为，的中点，求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值.10.（师大）已知正三棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积.

11.（周南）如图，平面平面，四边形是边长为的正方形，，是的中点.(1)在图中作出并指明平面和平面的交线；(2)求证：；(3)当时，求与平面所成角的正切值.12.（雅礼）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.(1)求证：平面；(2)若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.

13.(师大)如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点.(1)当为的中点时，求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求与平面所成角的正切值的最大值.14.（雅礼）如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．(1)设为中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．

15.（一中）如图，在直三棱柱中，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，，，.(1)求点到平面的距离；(2)试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大.题型三：二面角问题1.二面角的有关概念：（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（3）二面角的大小范围：[0°，180°]2.求二面角大小的步骤是：（1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．3.确定二面角的平面角的方法：①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角②三垂线法（面上一点双垂线法）最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。③垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。=4\*GB3④向量法如图①，AB，CD是二面角αβ的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小θ=<,>如图②，分别是二面角αβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=cos<>或cos<>

16.（雅礼）如图，四棱锥的底面是矩形，且，，四棱锥的高，其中是矩形对角线交点.(1)求二面角的大小；(2)求该几何体的侧面积.17.（雅礼）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，底面，与底面成角，点是的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.

18．如图，在三棱锥PABC中，，，，，平面平面ABC．（1）求证：平面PBC；（2）求二面角PACB的余弦值；（3）求直线BC与平面PAC所成角的正弦值．19.(南雅)如图，三棱锥中，平面，平面平面.(1)求证：；(2)若，求二面角的平面角的余弦值.

20.（A佳联考）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，所有棱长都是2，E、F、G分别是棱PB、PD、BC的中点．(1)求二面角B−PC−D的余弦值；(2)求PB与平面EFG所成角的大小．21.(师大附中)在三棱锥中，，平面，平面平面.(1)证明：平面；(2)若为的中点，且，求平面与平面所成二面角的余弦值.

22．（一中）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，．(1)证明：PC=PD；(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P−AB−C的大小．23.（一中）在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

24.（师大）如图，是半球的直径，为球心，，、依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且.(1)证明：平面平面；(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值.25.（雅礼）如图，在四棱锥中，平面平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值.

26．如图所示，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是棱的中点（1）求证:平面；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.27．（一中）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，且E为DC的中点．(1)证明：平面．(2)若点G在线段BC上移动，是否存在点G使得二面角为直二面角．若存在，请指出G在BC上的位置；若不存在，请说明理由．

28．如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点．（1）证明：，，三线共点；（2）线段CD