解密11不等式（讲义）-2021年高考数学二轮复习讲义分层训练

解密11不等式考点热度★★★★☆内容索引核心考点1不等式与不等关系核心考点2解不等式核心考点3线性规划核心考点4基本不等式微专题不等式综合应用考点由高考知核心知识点预测不等式热点预测与趋势分析不等式应用很广。今后高考的命题趋势：选择、填空。变化很多。核心考点一不等式与不等关系不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(同向可加)(4)乘法法则：；(同向同正可乘)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式考法不等式与不等关系1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】，但，，A、C错，，所以.B正确.，但，D错.故选:B.2．（2018·全国·高考真题（理））设，，则A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．1．（2021·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式及不等式的性质逐项判断即可.【详解】解：对A，由，令，，则，，，故A错误；对B，当时，，故B错误；对C，当时，，故C错误；对D，，因为，所以，所以即所以，故D正确.故选：D.2．（2022·河南省直辖县级单位·一模（理））已知，且，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设可得，根据对数的性质判断A；应用基本不等式判断B；根据指数函数、幂函数的单调性判断C；由基本不等式“1”的代换判断D.【详解】由题设，，即，则，A错误；由，又，可得，B错误；由知：，C错误；，又，∴，D正确.故选：D.3．（2021·上海奉贤·一模）对于下列命题：①若则；②若，则.关于上述命题描述正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】C【分析】根据不等式的性质可以判断①，再根据指数式的运算可以判断②，最后得到答案.【详解】对①，由，得，则，又因为所以，于是.①为真命题；对②，令，则，即.②为假命题.故选：C.核心考点二解不等式解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上考法解不等式1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题可根据图像得出结果.【详解】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.2．（2020年浙江卷）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.3．（2019·浙江·高考真题）设，数列中，，,则A．当 B．当C．当 D．当【答案】A【分析】若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【详解】若数列为常数列，则，由，可设方程选项A：时，，，，故此时不为常数列，，且，，则，故选项A正确；选项B：时，，，则该方程的解为，即当时，数列为常数列，，则，故选项B错误；选项C：时，，该方程的解为或，即当或时，数列为常数列，或，同样不满足，则选项C也错误；选项D：时，，该方程的解为，同理可知，此时的常数列也不能使，则选项D错误.故选：A.【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.1．（2022·河南省直辖县级单位·一模（理））若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式、分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.【详解】由，可得：；由，则，可得；∵成立的一个充分不必要条件是，∴，可得.故选：D.2．（2019·河北廊坊·一模（文））在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A．－1<a<1 B．0<a<2C．－<a< D．－<a<【答案】C【分析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论．【详解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得，故选:C.3．（2021·全国·模拟预测）已知函数，若在区间上恒成立，则的最大值为（）A． B．6 C． D．4【答案】C【分析】化简得，进一步化简得到的范围，从而求出答案.【详解】∵化简得∴∵在区间上恒成立∴的最大值为.故选：C.核心考点三线性规划线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解考法线性规划1．（2021年浙江省高考数学试题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.2．（2020·山东·高考真题）已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最大值和最小值，从而得范围．【详解】如图，作出直线，向上平移直线，最先过可行域中的点，此时，最后过可行域中的点，此时，所以的取值范围是．故选：C．1．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足约束条件，且所有符合条件的点（x，y）构成一个平面区域，则原点O距离该区域边界的最小值是（）A．4 B．16 C． D．2.4【答案】D【分析】画出图形，找出符合条件的平面区域，再将问题转化为点O到两直线的距离和圆半径三者之间的最小值，算出距离比较即可.【详解】由实数x，y满足约束条件，所有符合条件的点（x，y）如图阴影区域，由图可知，原点O距离该区域边界的最小值是点O到两直线的距离和圆半径三者之间的最小值.点O到直线的距离，点O到直线的距离，圆的半径.∵，，∴∴原点O距离该区域边界的最小值是，即2.4故选：D.2．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知实数满足条件：，则的最大值为（）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，表示可行域内的点与定点的连线的斜率.解方程组的,的最大值为故选C.3．（2021·浙江·模拟预测）若不等式组表示的是锐角三角形区域，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出直线，直线，直线直线过定点，因此不等式组表示的平面区域是锐角三角形，只要过作直线和的垂线，如图，夹在间即满足题意．由直线斜率可得．【详解】如图，作出直线，直线过定点，过作轴垂线交直线于点，作直线与直线垂直，垂足为，由题意夹在直线与之间，易得，直线的斜率为，所以，即．故选：A．核心考点四基本不等式基本不等式1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么变形：有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。考法基本不等式1．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.2．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是（）A．4 B． C．5 D．9【答案】B【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解.【详解】解：因为，是正实数，所以故有，当且仅当，即，时取到等号.故选：B.2．（2021·天津卷）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.3．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.微专题不等式综合应用1．（2014·山东·高考真题（文））已知实数满足，则下列关系式恒成立的是A．B．C．D．【答案】A【详解】由知，所以，，选A.考点：指数函数的性质，不等式的性质.2（2016·浙江·高考真题（文））已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则A．B．C．D．【答案】D【详解】试题分析：，当时，，，当时，，观察各选项可知选D.【考点】对数函数的性质.【易错点睛】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．3．（2015·浙江·高考真题（文））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，所以，故；同理，，故.因为，故.故最低费用为.故选B.4．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））正项等比数列，若，则“公比”是“的最小值为2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】结合等比数列的通项公式及基本不等式，然后结合充分必要性即可判断．【详解】因为正项等比数列，，

则公比时，，

若，当且仅当且q＞0，即q＝1时取等号，

故，则“公比”是“的最小值为2”的充要条件．

故选：C．5．（2021·新疆昌吉·模拟预测（理））已知函数是定义在R上的减函数，若对恒成立，则实数a的取值范围为__________．【答案】【分析】由恒成立结合函数的单调性可得恒成立，再根据三个二次的关系可得，由此可得实数a的取值范围.【详解】由题意易知恒成立，即恒成立，所以，得．故答案为：.6．（2022·新疆·一模（理））甲、乙两人购买同一种物品，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则______的购物方式比较经济（填