31椭圆-2022-2023学年高二数学教材学案（人教A版2019选择性）

3.1椭圆目标导航1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．3.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.4.会用椭圆的几何意义解决相关问题．5.了解椭圆在实际生活中的应用.6.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．知识解读知识点一椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常数)且2aF1F2|.【答案】常数2a>知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标a，b，c的关系【答案】F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)b2＝a2－c2知识点三椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：对称中心：离心率e＝eq\f(c,a)∈【答案】－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a2b2ax轴、y轴原点(0,1)知识点四直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点解Δ0一个公共点解Δ0没有公共点解Δ0【答案】两>一＝无<跟踪训练一、单选题1．椭圆的长半轴长（

）A．11 B．7 C．5 D．2【答案】C【分析】直接由椭圆标准方程求解即可.【详解】由椭圆标准方程知，长半轴长.故选：C.2．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】由三角形面积公式可知△的底为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.【详解】由三角形面积公式可知，当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，其中，则△面积的最大值是，故选：.3．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.4．已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆定义以及离心率公式，结合，进行基本量的计算即可得解.【详解】根据椭圆定义可得，所以，由离心率，所以，由，所以椭圆C的标准方程为.故选：B5．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的离心率.故选：C6．线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．【答案】B【分析】由题设知轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，根据椭圆的性质判断|PM|的最小值.【详解】若以为原点为x轴建立平面直角坐标系，由，则，若，故轨迹是以为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为，所以|PM|的最小值是.故选：B7．已知椭圆，其中、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点．过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义、三角形的中位线、线段的中垂线对转化，用点的坐标表示，通过点在第一象限的范围即可求得.【详解】如图所示，因为点在轴右边，因为是的垂直平分线，所以,由中位线定理可得,设点,由两点间的距离公式得，，同理可得，又是的垂直平分线，所以,即,且中是中位线，所以，在椭圆中，所以.故选：A8．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．【详解】解：由题意，如图，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，即，因为，解得：．，即，而，，即．故选：D．二、多选题9．设椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的动点，则（

）A． B．C的离心率为C．面积的最大值为 D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形【答案】ACD【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，根据椭圆的定义，可得，所以A正确；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确；由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C正确；因为以为直径的圆的方程为，联立方程组，整理得，即方程组无解，所以以点为直角顶点的不存在；过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和；过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和，综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确.故选：ACD.10．已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（

）A．椭圆的离心率为B．椭圆的短轴长为C．直线与椭圆相交D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为【答案】BCD【分析】根据待定系数法求出椭圆方程，再根据椭圆的几何性质可判断A，B是否正确；根据直线，过定点，点在椭圆的内部，即可判断C是否正确；根据点差法即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程，即可判断D是否正确.【详解】设椭圆的方程为：，将点，代入椭圆的方程，得，解得，所以椭圆的方程为：，所以椭圆的离心率为，故A错误；椭圆的短轴长为，故B正确；由于直线，过定点，点在椭圆的内部，所以直线与椭圆相交，故C正确；设，所以，所以，即，又中点坐标为，所以，即，所以直线的方程为，即，故D正确.故选：BCD.11．已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为B．为定值C．椭圆上不存在点M，使得D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为【答案】BD【分析】A.由|PQ|的最大值为长轴长判断；B.由椭圆的定义判断；C.由判断；D.分别求得P，Q到直线AB的距离最大值判断.【详解】如图所示：A.|PQ|的最大值为长轴长2，故错误；B.易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.故选：BD12．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为8 B．椭圆的长轴长为2C．的最大值为5 D．面积最大值为3【答案】ACD【分析】根据椭圆的几何性质，逐项判断正误即可.【详解】解：由题可知，在椭圆中，，的周长为,故A项正确；椭圆的长轴长为，故B项错误；因为，当且仅当时，最小，代入，解得，故，所以的最大值为5，故C项正确；根据椭圆的性质可得，当且仅当时，面积最大，故,故D项正确.故选：ACD.三、填空题13．设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，，，则椭圆的离心率_________.【答案】或【分析】根据余弦定理可得，进而结合焦点三角形与离心率公式求解即可【详解】因为，且，故为锐角，所以，由余弦定理，即，所以，故或，故或故答案为：或14．已知D是椭圆C：的上顶点，F是C的一个焦点，直线DF与椭圆C的另一个交点为点E，且，则C的离心率为______【答案】【分析】根据条件，利用向量建立关系，求出点的坐标，代入椭圆方程求解即可得出离心率．【详解】解：由题意，，不妨设F是C的右焦点,所以，设，，则，因为，所以，，，解得，代入椭圆方程可得，即，所以.故答案为:.15．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且若以点为圆心，为半径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为________.【答案】【分析】根据椭圆定义可知，根据圆与相切得，进而根据两个三角形中余弦值相等，即可列出关系式求解关系.【详解】如图，过点P作PQ垂直直线x＝－c，垂足为Q，连接.由得，所以，则，所以.在中，由余弦定理知，.因为，所以，则，所以.故答案为:16．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.【答案】【分析】运用“点差法”即可求得答案.【详解】由题意，设，因为的中点为，所以.又.于是，即所求直线的斜率为.故答案为：.四、解答题17．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．(1)求椭圆C的焦距；(2)若，求椭圆C的方程．【答案】(1)2；(2)【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.【详解】(1)由题意知直线l的方程为．因为到直线l的距离为，所以，解得：，所以椭圆C的焦距为2．(2)由（1）知直线l的方程为，设，，联立方程组消去x得，所以，．因为，所以，所以，，消去得，解得：，从而，所以椭圆C的方程为．18．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由题可得，然后利用离心率即可求解；（2）设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线的方程为，即可得证.【详解】(1)依题意，，又椭圆的标准方程为.(2)由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，由得，，直线OP的斜率，直线的斜率，令得点坐标为，直线的方程为，即，直线恒过定点.19．已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．【答案】(1)(2)为定值，定值为2【分析】（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得的值，即可得答案.（2）当直线l斜率存在时，设直线l：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，根据斜率公式，求得的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：，所以，化简计算，可得为定值，即可得答案.【详解】(1)由题意得又，所以所以，所以椭圆C：．(2)当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，，联立，消y可得，则，解得或，，所以（定值）当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以，所以，综上可得（定值）20．已知椭圆C：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且的周长为.P是椭圆上一动点，M是直线上一点，且直线轴.(1