数学素材：教材梳理二维形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1（二维形式的柯西不等式)已知a1，a2,b1，b2∈R，则(a1b1+a2b2)2≤（a12+a22)2(b12+b22)2,当且仅当a1b2-a2b1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a1，a2，b1，b2，以下不等式成立：≥|a1b1+a2b2｜；≥|a1b1|+|a2b2|.联想发散不等式中等号成立a1b2-a2b1=0.这时我们称（a1,a2),(b1，b2)成比例,如果b1≠0,b2≠0，那么a1b2—a2b1=0。若b1·b2=0，我们分情况说明：①b1=b2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b1=0,b2≠0，原不等式化为(a12+a22）b22≥a22b22,也是自然成立的;③b1≠0，b2=0，原不等式和②的道理一样，自然成立。正是因为b1·b2=0时，不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时，总是假定b1b2≠0,等号成立的条件可以写成,这种写法在表示一般形式（n维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2（柯西不等式的向量形式）设α，β是两个向量，则｜α·β｜≤|α｜｜β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时,等号成立.学法一得定理2中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为(bi为零时，ai为零，i=1，2）.定理3（二维形式的三角不等式）设x1，x2,y1，y2∈R，那么.二维形式的三角不等式的变式:用x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1,用x2-x3代替x2，用y2-y3代替y2，代入定理3，得二、一般形式的柯西不等式定理设ai，bi∈R（i=1，2，…，n)，则(.当数组a1，a2，…，an，b1,b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当bi=λai(1≤i≤n).即（a1b1+a2b2+…+anbn)2≤（a12+a22+…+an2)2（b12+b22+…+bn2)2（ai,bi∈R,i=1,2，…，n）中等号成立的条件是=…=。记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广.一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1设ai∈R，bc〉0(i=1,2,…,n),则，等号成立当且仅当bi=λai（1≤i≤n)。变式2设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则,等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.深化升华要求ai,bi均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要,只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的,这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例(下面出现的a1，…，an;b1,…，bn都表示实数）是：（1）a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,则｜a1b1+a2b2+…+anbn|≤1；(2）a1a2+a2a3+a3a1≤a12+a22+a(3）（a1+a2+…+an）2≤n(a12+a22+…+an2）;（4)(a+b）（+)≥4=（1+1)2,其中a、b∈R+；（5)(a+b+c）(++）≥9=(1+1+1）2，其中a、b、c∈R+。柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广,与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.典题·热题知识点一：用柯西不等式证明不等式例1设a1>a2〉…>an〉an+1,求证：>0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构就可以使用了,我们不妨改为证：（a1—an+1）·［]>1。证明：为了运用柯西不等式，我们将a1—an+1写成a1—an+1=(a1-a2)+（a2-a3）+…+（an—an+1），于是［(a1-a2)+（a2-a3）+…+（an—an+1）］·（）≥n2〉1.即(a1-an+1）·()>1，∴,故>0。方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时,只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。知识点二：用柯西不等式证明条件不等式例2(经典回放）设x1,x2，…，xn∈R+,求证:≥x1+x2+…+xn.思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+…+xn+x1),也即嵌以因式（x1+x2+…+xn），由柯西不等式即可得证。证明：()·（x2+x3+…+xn+x1）=[(）2+（)2+…+（)2+()2］［(）2+()2+…+()2+（）2］≥(·+·+…+·+·）=（x1+x2+…+xn）2,于是≥x1+x2+…+xn。巧解提示柯西不等式中有三个因式，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三：用柯西不等式求函数的极值例3已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的最值。思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解.解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2）（）≥(b+c+d)2，即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d)2.由条件可得，5—a2≥（3—a）2。解得，1≤a≤2，当且仅当时等号成立。代入b=1,c=,d=时，amax=2；b=1,c=，d=时,amin=1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定,也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。如:已知a，b为正常数，且0〈x<，求y=的最小值.解：利用柯西不等式，得（sin2x+cos2x)≥（sinx+cosx）2。当且仅当时等号成立.于是sinx+cosx.再由柯西不等式,得（)≥(sinx+cosx）（）≥(）2=（a+b）2.当且仅当时等号成立。从而y=≥（a+b).于是y=的最小值是（a+b)。问题·探究思想方法探究问题试探究用柯西不等式导出重要公式。如n个实数平方平均数不小于这n个数的算术平均数，即若a1,a2,…,an∈R，则。探究过程：由柯西不等式可知（a1+a2+…+an)2≤(a1·1+a2·1+…+an·1)2≤(a12+a22+…+an2）·（12+12+…+12）=（a12+a22+…+an2）·n,所以≤a12+a22+…+an2，故。不等式,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”,“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即≤,这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论：柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用,利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题.交流讨论探究问题柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧，试举例归纳。探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a、b、c为正数且各不相等.求证。我们可以如此分析:∵a、b、c均为正,∴为证结论正确只需证2（a+b+c)[］〉9。而2(a+b+d）=(a+b）+（b+c)+（c+a)，又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a、b为非负数，a+b=1,x1,x2∈R+,求证（ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2。我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a，b∈—，x1,x2∈R+，直接用柯西不等式做得不到预想结论,当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式,如：若a>b〉c，求证≥.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式了