2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理5.4.1二项式定理的推导课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(三十五)二项式定理的推导(建议用时：40分钟)一、选择题1．(x＋2)8的绽开式中x6的系数是()A．28B．56C．112D．224C[该二项绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r2r＝2rCeq\o\al(r,8)x8－r，令r＝2，得T3＝22Ceq\o\al(2,8)x6＝112x6，所以x6的系数是112．]2．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b为有理数)，则a＋b等于()A．45B．55C．70D．80C[由二项式定理，得(1＋eq\r(2))5＝1＋Ceq\o\al(1,5)·eq\r(2)＋Ceq\o\al(2,5)·(eq\r(2))2＋Ceq\o\al(3,5)·(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(4,5)·(eq\r(2))4＋Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋20＋20eq\r(2)＋20＋4eq\r(2)＝41＋29eq\r(2)．所以a＝41，b＝29，a＋b＝70．故选C．]3．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的二项绽开式中，x的系数为()A．10B．－10C．40D．－40D[∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)rCeq\o\al(r,5)25－rx10－3r，令10－3r＝1即r＝3，此时x的系数为(－1)3Ceq\o\al(3,5)22＝－40．]4．设k＝1，2，3，4，5，则(x＋2)5的绽开式中xk的系数不行能是()A．10B．40C．50D．80C[x1的系数为Ceq\o\al(4,5)·24＝80，x2的系数为Ceq\o\al(3,5)·23＝80，x3的系数为Ceq\o\al(2,5)·22＝40，x4的系数为Ceq\o\al(1,5)·21＝10，x5的系数为Ceq\o\al(0,5)·20＝1，所以系数不行能为50．]5．(eq\r(x)＋eq\r(3,x))12的绽开式中，含x的正整数次幂的项共有()A．4项B．3项C．2项D．1项B[设第(r＋1)项含x的正整数次幂，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(\f(1,2))))eq\s\up12(12－r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(\f(1,3))))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,12)·xeq\s\up10(6－eq\f(1,6)r)，其中0≤r≤12．要使6－eq\f(1,6)r为正整数，必需使r为6的倍数．所以r＝0，6，12，即第1项、第7项，第13项为符合条件的项．]二、填空题6．(a＋x)4的绽开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．2[∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rxr且x3的系数等于8，∴r＝3，即Ceq\o\al(3,4)a4－3＝8，∴a＝2．]7．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的绽开式中x3的系数为________．(用数字作答)20[设第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x2(6－r)x－r＝Ceq\o\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴x3的系数为Ceq\o\al(3,6)＝20．]8．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)x－\f(1,\r(2))))eq\s\up12(20)的绽开式中，系数是有理数的项共有________项．4[Tr＋1＝Ceq\o\al(r,20)(eq\r(3,2)x)20－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(2))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(r)·(eq\r(3,2))20－r·Ceq\o\al(r,20)·x20－r．∵系数为有理数，∴(eq\r(2))r与2eq\s\up12(eq\f(20－r,3))均为有理数．∴r能被2整除，且20－r能被3整除．∴r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，∴r＝2，8，14，20．∴共有4项系数为有理数．]三、解答题9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的绽开式中x3的系数．[解]所求x3的系数为：Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝(Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4))＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝(Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5))＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝…＝Ceq\o\al(4,20)＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,21)．所以绽开式中x3的系数是Ceq\o\al(4,21)＝5985．10．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的绽开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．[解](1)第3项的二项式系数为Ceq\o\al(2,6)＝15，又因为T3＝Ceq\o\al(2,6)(2eq\r(x))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＝24·Ceq\o\al(2,6)x，所以第3项的系数为24Ceq\o\al(2,6)＝240．(2)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)x3－k，令3－k＝2，得k＝1．所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2．11．二项式(1＋eq\r(x))6的绽开式中有理项系数之和为()A．64B．32C．24D．16B[二项式(1＋eq\r(x))6的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xeq\s\up9(eq\f(r,2))，令eq\f(r,2)为整数，可得r＝0，2，4，6，故绽开式中有理项系数之和为Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝32，故选B．]12．已知(1＋ax)(1＋x)5的绽开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1D[绽开式中含x2的系数为Ceq\o\al(2,5)＋aCeq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1，故选D．]13．(多选题)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的探讨．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(modm)．若a＝Ceq\o\al(0,20)＋Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，a＝b(mod10)，则b的值可以是()A．2011B．2012C．2020D．2021AD[∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝Ceq\o\al(0,10)1010－Ceq\o\al(1,10)109＋…－Ceq\o\al(9,10)10＋1，∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，故选AD．]14．(一题两空)在二项式(eq\r(2)＋x)9的绽开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16eq\r(2)5[由二项绽开式的通项公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，当r＝0时，第1项为常数项，所以常数项为T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2)．当项的系