全国统考2024高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程学案理含解析北师大版

9.3圆的方程必备学问预案自诊学问梳理1.圆的定义及方程定义平面上到的距离等于的点的集合(轨迹)叫作圆

标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心:

半径:

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心:-D2,-E2半径:

留意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<0时,方程x22.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆上;

(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆外;

(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆内.

以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推导:设圆上任一点P(x,y),则有kPA·kPB=-1,由斜率公式代入整理即可).考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12-3a2-4(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>2.已知圆C经过点A(1,5),且圆心为C(-2,1),则圆C的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=5 B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2024山东聊城模拟)圆x2+y2-6x-2y+3=0的圆心到直线x+ay-1=0的距离为1,则a=()A.-43 B.-34 C.3 D4.(2024山东青岛试验中学测试)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a<-2 B.-23<a<C.-2<a<0 D.-2<a<25.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△ABO外接圆的方程是.

关键实力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)(2024山东青岛试验中学测试)圆心为(2,-1)的圆,在直线x-y-1=0上截得的弦长为22,那么这个圆的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=2(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为6,则圆C的方程为.

思索求圆的方程有哪些常见方法?解题心得求圆的方程时,应依据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过探讨圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三特性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,过A(4,4),B(4,0),C(0,4)三点的圆被x轴截得的弦长为()A.4 B.42 C.2 D.22(2)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为27,则该圆的方程为.

考点与圆有关的轨迹问题【例2】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1思索求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,依据题设条件的不同,常采纳以下方法:(1)干脆法,干脆依据题目供应的条件列出方程;(2)定义法,依据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满意的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必需依据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.对点训练2古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A,B的距离为3,动点M满意|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.π B.2π C.3π D.4π考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上随意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常依据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)形如u=y-b(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.对点训练3已知实数x,y满意(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为和考向2借助圆的几何性质求最值【例4】已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是.

思索如何求解折线段和长的最值问题?解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)削减动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同始终线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2024山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为.

考向3建立函数关系求最值【例5】(2024江苏,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P32,0,A,B是圆C:x2+y-122=36上的两个动点,满意PA=PB解题心得利用函数关系求最值时,先依据已知条件列出相关的函数关系式,再依据函数学问或基本不等式求最值.对点训练5(2024宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满意勾股定理的关系求得.1.求圆的方程须要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,留意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,肯定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.9.3圆的方程必备学问·预案自诊学问梳理1.定点定长(a,b)rD2.(1)=(2)>(3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.D因为圆C经过A(1,5),且圆心为C(-2,1),所以圆C的半径为r=(-2-1)2+(1-5)2=5,则圆C的方程为(x+3.B由题意,圆x2+y2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圆心(3,1)到直线x+ay-1=0的距离d=|2+a|1+a4.D方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,所以a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,所以3a2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<235.(x-1)2+(y-2)2=5方法1由题知OA⊥OB,故△ABO外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=5,所以△ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5方法2设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为过A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以4+2D+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,则△ABO外接圆的方程是x2+y2-2x-4y=0,即关键实力·学案突破例1(1)A(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因为圆心(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1|2=2,弦长为22,所以圆的半径r=(2)2+22(2)由圆C的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a,-a),又圆C与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=2a-32,圆C被直线x-y-3=0截得的弦长为6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2对点训练1(1)A(2)x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0(1)依据题意,设过A,B,C三点的圆为圆M,其方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又由A(4,4),B(4,0),C(0,4),则有32+4D+4E+F=0,16+4D+F=0,16+4E+F=0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圆M的方程为x2+y2-4x-4y=0,令y=0可得x(2)方法1∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,∴设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x上截得的弦长为27,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=|2a|2,∴d2+(7)2=r2,即2a2+7=9a2,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法2设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离为|a-b|2,∴r2=(a-b)22+7,即2r∵所求圆与y轴相切,∴r2=a2,②∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,∴a-3b=0,③联立①②③,解得a故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法3设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D2,-E2,半径r=12在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.由于所求圆与y轴相切,∴Δ=0,则E2=4F.①圆心-D2,-E2到直线y=x的距离d=|-由已知得d2+(7)2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).②又圆心-D2,-E2在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③联立①②③,解得D故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.例2A设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ中点为M(x,y),依据中点坐标公式,得x0=2x-4,y0=2y+2,因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2对点训练2D以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则B(3,0).设M(x,y),依题意有x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得x2+y2-8例3解(1)(方法1)依题意,圆心C(2,7),半径r=22.设m+2n=t,则点M(m,n)为直线x+2y=t与圆C的公共点,所以圆心C到该直线的距离d=|2+2×7-t解得16-210≤t≤16+210.所以m+2n的最大值为16+210.(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因为点M(m,n)为圆C上随意一点,所以可设m-2=22即m=2+22cos所以m+2n=2+22cosθ+2(7+22sinθ)=16+22cosθ+42sinθ=16+210sin(θ+φ),其中tanφ=12因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n的最大值为16+210.(2)设点Q(-2,3).则直线MQ的斜率k=n-设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ与圆C有公共点,得|2k-解得2-3≤k≤2+3,即2-3≤n-3m+2≤2+3.所以n-对点训练34+734-73由题意,得y+1x表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2k-2|k2例425依题意,圆心C(2,1),半径r=5.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,n),则m+02故A'(-4,-2).连接A'C交直线x+y+2=0于点P,交圆C于点Q(图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.对点训练4112依题意,圆心C(0,1),半径r=1.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,