统考版2025届高考数学一轮复习课后限时集训69离散型随机变量的均值与方差正态分布理含解析北师大版

PAGE课后限时集训(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时：40分钟一、选择题1．同时抛掷2枚质地匀称的硬币4次，设2枚硬币均正面对上的次数为X，则X的数学期望是()A．1 B．2C．eq\f(3,2) D．eq\f(5,2)A[∵一次同时抛掷2枚质地匀称的硬币，恰好出现2枚正面对上的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,4)))，∴EX＝4×eq\f(1,4)＝1.故选A.]2．在某项测试中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝()A．0.4 B．0.8C．0.6 D．0.2B[由正态分布的图像和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]3．已知随机变量ξ的分布列为ξ－1012Pxeq\f(1,3)eq\f(1,6)y若Eξ＝eq\f(1,3)，则Dξ＝()A．1 B．eq\f(11,9)C．eq\f(2,3) D．2B[∵Eξ＝eq\f(1,3)，∴由随机变量ξ的分布列知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)＋\f(1,6)＋y＝1，,－x＋\f(1,6)＋2y＝\f(1,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,18)，,y＝\f(2,9)，))则Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(5,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))2×eq\f(2,9)＝eq\f(11,9).]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定全部次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝()A．3 B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5) D．4B[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，则Eξ＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故选B.]5．(2024·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1EX1＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，DX1＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以eq\r(DX1)＝eq\r(0.65).对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4EX2＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，DX2＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以eq\r(DX2)＝eq\r(1.85).对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2EX3＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，DX3＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以eq\r(DX3)＝eq\r(1.05).对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3EX4＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，DX4＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以eq\r(DX4)＝eq\r(1.45).所以B中的标准差最大．]二、填空题6．设X为随机变量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若随机变量X的均值EX＝2，则P(X＝2)等于________．eq\f(80,243)[由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，EX＝2，得np＝eq\f(1,3)n＝2，∴n＝6，则P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(80,243).]7．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)听从正态分布N(25,0.22)，随意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.6827，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9973)0.8186[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.]8．2024年高考前其次次适应性训练结束后，某校对全市的英语成果进行统计，发觉英语成果的频率分布直方图形态与正态分布N(95,82)的密度曲线特别拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成果超过95分的概率是________．eq\f(3,8)[由题意可知每名学生的英语成果ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8).]三、解答题9．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育探讨．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块养分均衡的可种植4株的试验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为eq\f(1,2)(假设种子之间及外部条件一样，发芽相互没有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望Eη.[解](1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).所以4株中恰好有3株成活的概率P＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))1＝eq\f(343,1024).(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,8)))，所以ξ的分布列如下表：ξ01234PCeq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－,\f(7,8)))4Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))3Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))2Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))1Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))4∴Eξ＝4×eq\f(7,8)＝3.5，Eη＝E(2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.7175(kg)．10．(2024·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的志向之地．为了将来更好地推动“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．[解](1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为eq\f(2,5)，选择“自然风光游”的概率为eq\f(1,5)，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(18,125).(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125)，∴X的分布列为X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴EX＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).1．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,6)B[由题意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).]2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球胜利，则停止发球，否则始终发到3次为止．设某学生每次发球胜利的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2).由p∈(0,1)，可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).]3．在一次随机试验中，事务A发生的概率为p，事务A发生的次数为ξ，则数学期望Eξ＝________，方差Dξ的最大值为________．peq\f(1,4)[记事务A发生的次数ξ可能的值为0,1.ξ01P1－pp数学期望Eξ＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差Dξ＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤eq\f(1,4).故数学期望Eξ＝p，方差Dξ的最大值为eq\f(1,4).]4．(2024·广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王安排在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率．(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；(ⅱ)请利用你所学的学问为小王作出选择，并说明理由．[解](1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0.当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.故当X∈(300,400]时，f(X)＞g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)则Ex＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16.乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)则Ey＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.(ⅱ)EX＝30Ex＝480∈(300,600]，EY＝30Ey＝420∈(400，＋∞)．估计A公司外卖配送员月薪平均为1800＋4EX＝3720(元)．估计B公司外卖配送员月薪平均为2100＋4EY＝3780(元)．因为3780＞3720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中闻名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等．(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布状况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42,52]内的游客中，采纳分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)．(2)为了给游客供应更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心安排在2024年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光．由2010年到2024年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多运用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：劳动节当日客流量X1＜