工程数学 课件 第1章 行列式

第1章

行列式

第1节

行列式的定义第2节

行列式的性质第3节

克莱姆法则

第1节

行列式的定义

一、

二阶行列式

在初等代数中我们解过二元一次方程组

当a11a22-a12a21≠0时，方程组有唯一解：

对于线性方程组（1。1），分别记

于是方程组（1。1）的解可表示为

定义1.1我们把式子

叫作二阶行列式，其

中的数aij（i=1,2；j=1,2）称为该行列式的元素，每个横排称为行列式的行，每个竖排称为行列式的列。aij（i=1,2；j=1,2）就是从上到下第i行，从左到右第j列的元素。

在二阶行列式中，用实线将a11、a22连接，用虚线将a21、a12连接（如图1.1所示），实连接线称为主对角线，虚连接线称为次对角线（或副对角线），则二阶行列式等于主对角线上两元素的乘积减去次对角线上两元素的乘积（这样的记忆方式称为对角线法则），即

图1.1

例1.1

计算下列二阶行列式。

二、

三阶行列式

类似地，对于三元一次方程组

对于线性方程组（1.2），分别记

则在D≠0的情形下，线性方程组（1.2）的解可表示为

定义1.2我们把式子

叫作三阶行列

式，其中的数aij=（i=1,2，3；j=1,2，3）称为该行列式的元素。

等号右端称为三阶行列式的展开式。展开式一共有6项，3项为正，3项为负，每项均由位于不同行不同列的三个元素相乘得到。展开式可通过对角线法则记忆，如图1.2所示，其中三条实线（主对角线）所连三个元素的乘积为正项，三条虚线（次对角线或副对角线）所连三个元素的乘积为负项。三阶行列式的展开式，也可以按如图1.3所示的方法记忆，图1.3所示的对角线法则又称为沙路法则。

图1.2

图1.3

例1.2求三阶行列式

解

例1.3求解方程：

解

因为

所以

因此方程的解为

三、n

阶行列式

根据二阶和三阶行列式的定义，我们给出n

阶行列式的定义。

定义1.3将n2个数排成n行n列数表，并在左、右两边各加一竖线，记为Dn或D，即

称为n阶行列式。

四、余子式与代数余子式

定义1.4将n阶行列式元素aij所在的第i行和第j列的元素去掉，余下的（n-1）2个元素组成的行列式叫作元素aij的余子式，记作Mij。将Aij=（-1）i+jMij称为元素aij的代数余子式。

定理1.1

n阶行列式Dn等于它的任一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

可以按第i行展开为

也可以按第j列展开为

五、几种特殊行列式

1.三角形行列式

定义1.5主对角线下方的元素全为0的行列式

称为上三角形行列式；反之，主对角线上方的元素全为0的行列式

称为下三角形行列式。上、下三角形行列式统称为三角形行列式。

2.转置行列式

定义1.6设n阶行列式

把行列式D的行与相应的列互换后得到行列式

称其为行列式D的转置行列式，记作DT。

3.对称行列式与反对称行列式

定义1.7如果n阶行列式中第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素，即aij=aji，则称这样的行列式为对称行列式。如果它的第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素的相反数，即aij=-aji，则称这样的行列式为反对称行列式。

第2节行列式的性质

性质1.1任一行列式和它的转置行列式相等，即

推论1.1上（下）三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积，即

性质1.2互换行列式的两行(列)，行列式改变符号。

第i行(列)和第j行(列)互换，记作ri↔rj（ci↔cj）

推论1.2如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零。

性质1.3行列式中某一行(列)的所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式。

第i行(列)乘k，记作ri×k(ci×k)。

例如，

推论1.3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

第i行(列)提出公因子k，记作ri÷k（ci÷k）。

推论1.4如果行列式中有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质1.4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则其等于两个行列式之和，这两个行列式的这一行(列)的元素分别为相应的两数中的一个，其余元素与原来行列式的对应元素相同。

例如，

性质1.5把行列式的某一行(列)的各元素乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。

数k乘第j行(列)加到第i行(列)，记作ri+krj（ci+kcj）

例如，

例1.6计算四阶行列式

解方法一：利用行列式的性质，将D化为上三角形行列式

方法二：利用D中a13=1，把第3列其余元素化为0之后，再按第3列展开，将D降为三阶行列式。

第3节克莱姆法则对于包含n个未知数x1，x2，…，xn的n个方程所组成的方程组如果方程组的常数项全为0，则此方程组称为齐次线性方程组；如果方程组的常数项不全为0，则此方程组称为非齐次线性方程组。克莱姆给出了上述方程组的求解方法，即克莱姆法则。

定理1.2（克莱姆法则）如果方程组（1.3）的系数行列式不等于零，即

那么方程组（1.3）有唯一解：

定理1.3若方程组（1.3）无解或有两个以上的不同解，则它的系数行列式D=0。

定理1.4若方程组（1.3）的系数行列式D≠0，则对应的齐次线性方程组有唯一的零解；反之，若齐次线性方程组有非零解，则D=