数学学案：第一章分类加法计数原理与分步乘法计数原理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标重点、难点1.会分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能知道两个原理的区别与联系．2．能解决用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的一些实际问题。重点：1.理解两个计数原理的内容及它们的区别．2．两个计数原理的应用．难点：1。两个计数原理的应用．2．分类与分步问题的选择。1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有________种不同的方法．预习交流1（1)分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同的方案:在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？（2)分类加法计数原理的特点有哪些?（3)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法?2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有________种不同的方法．预习交流2(1)分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝__________种不同的方法．(2)分步乘法计数原理的特点有哪些？(3)若x∈{1,2，3},y∈{5，6，7}，则x·y的不同值有（)．A．6个B．7个C．8个D．9个3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步本质每类方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了,才能完成这件事．各类（步)的关系各类办法之间是互斥的、并列的、独立的，即“分类互斥”.各步之间是关联的、独立的，“关联”确保连续性，“独立”确保不重复，即“分步互依”.4.用两个计数原理解决问题的步骤用两个计数原理解决计数的问题时,最重要的是开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是分步．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理____，得到总数．分步要做到“步骤完整”-—完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数____，得到总数．答案：1．N＝m＋n预习交流1：（1)提示：m1＋m2＋…＋mn(2)提示：①完成一件事有若干个不同的方法，这些方法可以分成n类;②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．（3)提示：15种2．N＝m×n预习交流2：（1）提示:m1×m2×…×mn（2)提示：①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．(3)提示：D4．求和相乘在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、分类加法计数原理的应用某校高三共有三个班,各班人数如下表.男生人数女生人数总人数高三(1）班302050高三（2)班303060高三（3)班352055（1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法;(2)从高三（1）班、（2）班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？思路分析：(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理．1．某班有28名男生，20名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有（)种．A．28 B．20 C．48 D．2．家住济南的小明同学向往北京的故宫、长城,准备暑假去参观旅游，从泉城济南到北京一天中有飞机早、中、晚3个航班,动车组有4个班次，汽车有8个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去北京有__________种不同的方法．分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．二、分步乘法计数原理的应用（1）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是（）．A．56 B．65 C。eq\f(5×6×5×4×3×2，2） D．6×5×4×3×2(2）已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6,7}，r∈｛8,9}，则方程(x－a）2＋(y－b）2＝r2可表示（）个不同的圆．A．9 B．12 C．8 D．思路分析：确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径,可以用分步乘法计数原理解决．1．小明同学要从4个不同的人文课外活动小组和5个不同的自然课外活动小组中各选择一个小组参加，则他有__________种不同的选择方法．2．图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学,每人1本，有__________种不同的分法．利用分步乘法计数原理计数的一般思路是首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成,然后找出每一步中有多少种不同的方法,最后求其积,但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后，才能完成整件事．三、两个计数原理的综合应用王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．（1）若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？（2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？思路分析:解决两个原理的应用问题,首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法事情是否完成,从而区分加法原理和乘法原理．1．用1,2,3组成没有重复数字的整数，可以组成__________个．2．集合A＝｛1,2，－3}，B＝｛－1，－2，3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x,y）的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个?（1）解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．首先要有意识地去区分该问题是“分类”还是“分步”,如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．(2)注意运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类，后分步”．答案：活动与探究1：解:（1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三（1）班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类,从高三（2)班中选出1名学生，有60种不同的选法;第3类,从高三(3）班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知,从三个班中选1名学生任学生会主席,共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三（1）班、（2)班男生或高三(3）班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案:第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法；第2类，从高三（2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类,从高三(3）班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三（1)班、(2）班男生或高三（3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．迁移与应用：1。C解析:选一名数学课代表有2类不同的方案．第1类：从该班的男生中选1名同学，有28种不同的选法．第2类：从该班的女生中选1名同学，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，选1名同学有28＋20＝48种不同的选法．2．15解析：小明去北京共有3类办法，任选一类都可以独立完成“去北京"这件事．乘坐飞机有3种方法，动车组有4种方法，汽车有8种方法，∴共有3＋4＋8＝15种方法．活动与探究2：(1)A解析：要完成选择听讲座这件事，需要分六步完成，即6名同学逐个选择要听的讲座,因为每名同学均有5种讲座可选择,由分步乘法计数原理，6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种不同的选法．(2)D解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步,确定a有3种不同的选取方法;第二步，确定b有4种不同的选取方法；第三步，确定r有2种不同的方法．由分步乘法计数原理，方程（x－a)2＋（y－b）2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个）．迁移与应用：1。20解析：分两步进行：第一步，从人文课外活动小组中选择一个有4种方法;第二步，从自然课外活动小组中选择一个有5种方法．∴共有5×4＝20种方法．2．336解析:分三步进行：第一步，先分给第一个同学,从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的7本中任选1本,共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任选1本，共有6种方法．∴不同分法有8×7×6＝336种．活动与探究3：解：（1)完成的事情是带一本书,无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成,从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种）．(2）完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种）．（3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本,有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法;即有三类情况，应用分类加法计数原理,结果为20＋15＋12＝47(种）．迁移与应用：1.15解析：第一类，组成的整数是一位数时有1,2，3共3个．第二类,组成的整数是两位数时，先确定十位有3种方法，再确定个位有2种方法,共3×2＝6个．第三类，组成的整数是三位数时，依次确定百位，十位，个位分别有3种方法，2种方法，1种方法,共3×2×1＝6个．所以由分类加法计数原理，共有3＋6＋6＝15个整数．2．解:(1)可分为两类，A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x，共得到3×4＋4×3＝24个不同的点．（2）第一象限内的点，即x，y均为正数,所以只能取A,B中的正数，共有2×2＋2×2＝8个不同的点．1．为了准备晚饭,小张找出了3种冷冻蔬菜，5种罐装蔬菜和4种新鲜蔬菜，如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，那么共有不同的选择种数为（)．A．3 B．5 C．12 D．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（)．A．10种 B．20种 C．25种 D．32种3．某体育馆有8个门供球迷出入，某球迷从其中一门进入，另一门走出,则不同的进出方法有(）．A．16种 B．56种 C．64种 D．72种4．已知集合A＝｛0，3，4｝，B＝｛1,2，7,8}，集合C＝{x|x∈A，或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时,C的情况有__________种．5．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有__________种不同的推选方法．答案：1．C解析:选一种蔬菜有3类，分别有3，5，4种方法，∴不同的选择有3＋5＋4＝12种方法．2．D解析：完成这件事共分5步,即每个同学均报完一个小组才结束,每人有2种选择方法，故共有2×2×2×2×2＝32种不同选择．3．B解析：分两步进行：第一步，选一门进入有8种方法；第二步,从剩下的门中选择一门走出有7种方法,共8×7＝56种方法．4．