2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高二上学期期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高二上学期期中数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.复数，则z的虚部为（）A. B. C. D.3.已知空间向量，，且与垂直，则等于（）A. B. C. D.4.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若实数m满足，则曲线与曲线的（）A.离心率相等 B.焦距相等 C.实轴长相等 D.虚轴长相等6.已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.7.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（）A B.4 C.6 D.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，，点Px1,y1是A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为10.已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点F的坐标为C.直线AQ与抛物线相切 D.11.已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（）A.无论M，N在何位置，为异面直线 B.若M是棱中点，则点P轨迹长度为C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP与平面所成角的正弦最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.13.若圆与圆相内切，则______.14.已知双曲线焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为____________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程.16.记的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.19.已知双曲线左右顶点分别为，过点直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高二上学期期中数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】首先求，再求交集.【详解】，，所以.故选：B2.复数，则z的虚部为（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部.【详解】，故的虚部为，故选：B3.已知空间向量，，且与垂直，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为空间向量，，且与垂直，则，解得.故选：A.4.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线与直线垂直，则，解得，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.5.若实数m满足，则曲线与曲线的（）A.离心率相等 B.焦距相等 C.实轴长相等 D.虚轴长相等【正确答案】B【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为，所以，所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线，，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为，所以离心率不相等，故A错误；因为，所以实轴长不相等，故C错误；因为，所以虚轴长不相等，故D错误.故选：B.6.已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】首先得，进一步得焦距，由椭圆定义结合得，由此即可进一步求解.【详解】由题意，所以，因为，所以，而，所以，所以的面积为.故选：C.7.已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（）A. B.4 C.6 D.【正确答案】D【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标.【详解】由题意并结合双曲线的定义可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为32,所以当且仅当点的坐标为32,12时，的最小值为故选：D.8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为，，点Px1,y1是A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由点Px1,y1在上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出即，再利用内切圆的性质得到，即可求出的离心率.【详解】设，则F1−c,0，；由点Px1,y1在上，则有所以；又，所以，，则；如图1，由焦点的内切圆可得：，，，所以；又，所以，即，故选：A．关键点点睛：本题的关键点是推理出二级结论：点Px1,y1在椭圆上，则，，再结合内切圆的性质，建立关于的等量关系二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.若，则直线的倾斜角为C.若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点D.直线的纵截距为【正确答案】BCD【分析】根据每一个选项具体直线，以及直线的性质判断每一个选项即可.【详解】倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错；由于的横坐标相等，即直线与轴垂直，故倾斜角为，故B对；由题设，直线方程为，显然在直线上，故C对；直线在轴上的截距为，故D对.故选：BCD10.已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点F坐标为C.直线AQ与抛物线相切 D.【正确答案】AC【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解.【详解】将代入中可得，故，F1,0,A正确，B错误，,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC11.已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（）A.无论M，N在何位置，为异面直线 B.若M是棱中点，则点P的轨迹长度为C.M，N存在唯一的位置，使平面 D.AP与平面所成角的正弦最大值为【正确答案】ABD【分析】根据相交，而即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为的圆的，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解.【详解】由于相交，而，因此为异面直线，A正确，当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,故，且，由于，故，化简得，由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确，设,则，且，，,设平面的法向量为，则，令，则,，故，由于，故，化简得，联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误，由于平面，平面，故,又四边形为正方形，所以,平面，所以平面，故平面的法向量为，设AP与平面所成角为，则，则，当且仅当时取等号，，x∈0,2时，令，则，故，由于，当且仅当，即时等号成立，此时，由且可得因此，由于，，故的最大值为，故D正确，、故选：ABD方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与之间的距离是__________.【正确答案】12##【分析】借助两平行线间的距离公式计算即可得.【详解】平行直线与之间的距离为.故答案为.13.若圆与圆相内切，则______.【正确答案】-23【分析】求出两圆的圆心，确定在圆外部，所以圆内切于圆，由圆心距得到方程，计算即可.【详解】由，显然，圆相内切，将点坐标代入圆方程知，即在圆外部，所以圆内切于圆，则有，解之得.故14.已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为____________.【正确答案】【分析】设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，进而计算可得答案.【详解】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设，又，所以，所以，因为为的中点，所以，即，所以两边平方得，所以，即，即，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.分别求出适合下列条件的方程：（1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程；（2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据点在抛物线上，根据抛物线定义，确定值，即可求解.（2）由已知,设出圆C方程x2+(y−b)2=r2r>0，代入原点和，可得【小问1详解】因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为，故，则，故抛物线标准方程为.【小问2详解】因为圆C的圆心在轴上，则设圆C方程为x2由已知，圆C过原点和，由已知，解得，所以圆C方程为.16.记的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以.【小问2详解】在中，由已知，因为由余弦定理可得，即7，即，又,所以.所以的周长周长为.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由线面垂直得到，再由线面垂直的判定定理得到结果即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可；【小问1详解】是等边三角形，是的中点，，又平面平面，又平面平面平面.【小问2详解】由（1）得平面，连接，建立以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示，底面是边长为4的正方形，则，，则，设平面的法向量为n=x,y,z，则取，则平面的法向量为，又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由题意可得，结合三角形面积公式计算可得，即可得；（2）联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合面积公式与所给等式计算即可得解.【小问1详解】根据题意，，在椭圆上顶点，此时.所以，则求椭圆的方程；【小问2详解】如图所示，设，联立直线与椭圆方程得，.，又，因为点到直线的距离，且，所以，综上，的面积为定值.19.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一