厦门市高一期末模拟试题数学

厦门市高一期末模拟试题数学

一.选择题（共8小题）

1.己知(1-i)2Z=3+2/,贝ljz=()

33•

A.-1一方B.7+才C.*Dn--2-l

2.在△4BC中，已知B=120°,AC=V19,AB=2,贝ljBC=()

A.1B.V2C.V5D.3

3.己知4,B,C是半径为1的球0的球面上的三个点，且AC_L8C,AC=BC=\,则三棱

锥0-45C的体积为（）

V2V3V2V3

A.—B.—C.-D.——

121244

4.在△ABC中，。为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△4BC,使得6•CE=0；

②存在三角形△ABC,使得&〃CCB+CA）；它们的成立情况是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

5.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的

调查数据整理得到如下频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

6.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数

字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

7.如图，已知平面四边形48CDABA.BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与8。交于点

b=OB・OC,h=OC*OD,贝I]()

B./!</3<；2C./3<71</2D./2</l</3

8.已知平面a与B所成的二面角为80°,尸为a、0外一定点，过点尸的一条直线与a、p

所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

二.多选题(共4小题)

9.有一组样本数据XI,X2,…，由这组数据得到新样本数据yi,”，…，其中yi

=xi+c(Z=l,2,…，〃)，c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.设Zl，Z2,Z3为复数，ziWO.下列命题中正确的是()

A.若|切=忆3|,则Z2=±Z3B.若Z]Z2=ZIZ3，则Z2=Z3

C.若药=Z3,则|Z1Z2|=|Z|Z3|D.若Z1Z2=|Z|『，则Z|=Z2

11.己知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),Pi(cosp,-sinp),P3(cos(a+P),sin(a+p)),

4(1,0),则()

A.I欣|=|尾IB.1^1=1Al

9

C.0A*0P3=OP^OP2D.OA*OPi=0P20P3

12.在正三棱柱ABC-A向Ci中，AB=AA\=\f点P满足BP=入8。+西当，其中入RO,

1],蚱[0,1],贝lj()

A.当人=1时，△A8iP的周长为定值

B.当n=l时，三棱锥P-4BC的体积为定值

C.当人另时，有且仅有一个点P,使得4P_LB尸

D.当"=a时，有且仅有一个点P,使得48_L平面ABi尸

三.填空题(共4小题)

13.若向量工，满足面=3,\a-b\=5,a^b=1,则向=.

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30e则该圆锥的侧面积为.

15.记△ABC的内角A,B.C的对边分别为a,h,c,面积为V5,B=60°,^2+c2=3«c,

则b=.

16.甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.开始

甲持球，传球两次后，球回到甲手里的概率尸2=：传球〃次后，球

回到甲手里的概率Pn=.

四.解答题(共6小题)

17.在△ABC中，已知a=3,b=2c.

(1)若A=冬，求S^ABC.

(2)若2sinB-sinC=1,求C^ABC.

18.如图，已知点G是边长为1的正三角形48c的中心，线段OE经过点G,并绕点G转

动，分别交边AB、AC于点。、E；设五而，AE=nAC,其中OVmWl,OV〃W1.

(1)求表达式工+工的值，并说明理由；

mn

(2)求△AOE面积的最大和最小值，并指出相应的小、〃的值.

x>2则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认

为有显著提高）.

22.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩

余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为今

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率;

（3）求丙最终获胜的概率.

厦门市高一期末模拟试题6

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

I.已知（1-i）2Z=3+2/,则2=（）

3333.

A.・1一号B.・1+充C.一/iDn.一二i

【分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可.

【解答】解：因为（1-Z）2Z=3+2Z,

3+2i_3+2i_(3+2i)i_—2+3i一3・

所以z=―

(1-i)2--2i—(-2z)i-21+2•

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则

的运用，考查了运算能力，属于基础题.

2.在△A8C中，已知8=120°,AC=g,A8=2,则BC=（）

A.IB.\f2C.V5D.3

【分析】设角4,B,。所对的边分别为小b,c,利用余弦定理得到关于。的方程，解

方程即可求得。的值，从而得到BC的长度.

【解答】解：设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

结合余弦定理，可得19=a2+4^2XaX2Xcosl20°,

即/+2aT5=0,解得〃=3（。=・5舍去），

所以BC=3.

故选:D.

【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题.

3.已知4,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=BC=\f则三棱

锥0-A8C的体积为（）

V2V3V2V3

A.—B.—C.-D.一

121244

【分析】先确定AABC所在的截面圆的圆心0\为斜边AB的中点，然后在RtAABC和

□△AOO1中，利用勾股定理求出0。，再利用锥体的体积公式求解即可.

【解答】解：因为AULBC,AC=BC=\,

所以底面ABC为等腰直角三角形，

所以△A8C所在的截面圆的圆心0\为斜边A8的中点，

所以00」平面4AC,

在RtAABC中，AB=>JAC24-BC2=V2,则力。1=?，

在RtZXAOOi中，00i=JoA2-AOj=等

故三棱锥0-ABC的体积为V=1.S"•。。1=4x：x1x1x3=夸.

故选：A.

【点评】本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定△ABC所在圆的圆

心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题.

4.在△4BC中，。为8c中点，七为AO中点，则以下结论：①存在△ABC,使得n•CE=0：

②存在三角形△ABC,使得占1〃(CB+CA)；它们的成立情况是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【分析】设A(2x,2y),B(-1,0),C(I,0),D(0,0),E(x,y),由向量数量的

坐标运算即可判断①；〃为A3中点，可得(E+&)=2CF,由。为5C中点，可得

C尸与4。的交点即为重心G,从而可判断②

【解答】解：不妨设4(2r,2y),B(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(x,y),

①AB=(-I-2x»-2y)»CE=(x-1>y),

2

^AB-CE=0,则-(l+2x)(x-1)-2)2=0,即-(l+2x)(x-1)=2yf

满足条件的(x,y)存在，例如(0,y),满足上式，所以①成立；

②尸为48中点，(C3+C4)=2C凡C尸与AO的交点即为重心G,

因为G为A。的三等分点，E为4。中点,

所以0与a不共线，即②不成立.

故选：B.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题.

5.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的

调杳数据整理得到如下频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于J5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A,B,D,

利用平均值的计算方法，即可判断选项C

【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)XI

=0.06=6%,故选项A正确；

对于£该地农户家庭年收入天低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02X3）Xl=0.1=

10%,故选项3正确；

对于。，估计该地农户家庭年收入的平均值为3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8

X0.2+9X0.1+10X0.1+llX0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5万元，故选项C

错误；

对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）XI=0.64

>0.5,

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项。正

确.

故选：C.

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率

的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题.

6.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2"，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数

字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【分析】分别列出甲、乙、丙'丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.

【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,

3）,（6,2）,

两点数和为7的所有可能为（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

P（甲）P（乙）二,一（丙）=岛=［尸（丁"岛=4，

OOoXoOOoXoo

A：P（甲丙）=0WP（甲）P（丙），

B：P（甲丁）=芸=?（甲）P（丁），

C：P（乙丙）=白装尸（乙）P（丙），

D：P（丙丁）=0WP（丙）P（丁），

故选：B.

【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,

属于中档题.

7.如图，已知平面四边形ABCDABLBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与8。交于点

0,记/[=OA-OB,h=0B・0C,h=0C・0D,则()

A./i</2</3B./i</3</2C./3<Zi</2D.h<h<h

【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可.

【解答】解：*：AB±BCtAB=BC=AD=2,CD=3,

ZMC=2V2,

・・・N4O8=NCOO>90°,

由图象知0AV0C,OB<OD,

：.0>OA^OB>OC'OD,OB*OCX),

即/3</l</2,

故选：C.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是

解决本题的关键.

8.已知平面a与0所成的二面角为80°,P为a、0外一定点，过点P的一条直线与a、p

所成的角都是3U°,则这样的直线有且仅有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【分析】过P作平面4垂直于a、0的交线/，并且交/于点0,连接P。，则尸。垂直于

/,过点P在A内做OP的垂线ZA以PO为轴在垂直于PO的平面内转动力，根据三垂

线定理可得有两条直线满足题意.以P点为轴在平面A内前后转动ZA根据三垂线定理

可得也有两条直线满足题意.

【解答】解：首先给出下面两个结论

①两条平行线与同一个平面所成的角相等.

②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上.

(1)如图1,过二面角a-内任一点作棱/的垂面A08,交棱于点。与两半平面

于。4,OB,则N40B为二面角a-/-0的平面角，乙408=80°

设OP1为N4O△的平分线，则NPiQ4=NPiO2=40°,与平面a,R所成的角都是30°,

此时过P且与OPi平行的直线符合要求，当OP以O为轴心，在二面角a-/-B的平分

面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形.

(2)如图2,设OP2为NAOB的补角NAOB'的平分线，则/尸2。4=/尸2。8=50°,

与平面a,0所成的角都是50,.当OP2以。为轴心，在二面角a-/-0'的平分面上

转动时，

OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条.此时过P且

与OP2平行的直线符合要求，有两条.

综上所述，直线的条数共有4条.

【点评】本题主要考查线面角.以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象

能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题.

二.多选题(共4小题)

9.有一组样本数据xi,霹，…，切，由这组数据得到新样本数据yi,"，…，其中y

=xi+c(r=l>2,…，〃)，c为非零常数，贝ij()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样木中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可.

【解答】解：对于4,两组数据的平均数的差为c,故4错误；

对于8,两组样本数据的样本中位数的差是c,故B错误；

对于于:标准差。()7)=D(Xf+c)=D(Xf),

・•・两组样本数据的样本标准差用同，故C正确；

对于。，'：yi=xi+c(/=1,2,…，〃)，c为非零常数，

X的极差为Xniax~Xmimy的极差为(Xtnax^C)-(X/wm+c)=Xmax~Xminr

・•・两组样本数据的样本极差相同，故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础

知识，是基础题.

10.设Zl,Z2,Z3为复数，Zl#0.下列命题中正确的是()

A.若|切=忆3|，则Z2=±Z3B.若Z1Z2=Z1Z3，则Z2=Z3

C.若瓦=Z3，则|Z]Z2|=|Z1Z3|D.若Z1Z2=|Z1F，则ZI=Z2

【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共牝复数的概念对各个选项逐一分析判

断即可.

【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；

当Z1Z2=ZIZ3时，有ZIZ2-Z1Z3=Z|(Z2-Z3)=0,

又ziWO,

所以Z2=Z3，故选项B正确；

当无=Z3时，则Z2=石，

ZZZZ

所以忆/2|2—忆"3/=(z1z2)(z^一(2/3)苗%)=12^2-13^3=。，故选项C

正确；

当Z1Z2=|Z1|2时，则Z/2=㈤2=Z]石,

可得Z/2-Zi五=Zi02-Z7)=0,

所以五=z?,故选项O错误.

故选：BC.

【点评】木题考查了复数的模.涉及了复数模的性质以及模的运算，解题的关键是熟练

掌握模的运算性质并能够进行灵活的运用.

11.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),Pl(cos。,-sin。)，P3(cos(a+p),sin(a+p)),

A(1,0),则()

A.|0、1|=|。4|B.1Mll=|力4|

C.0A*0P3=O.joAD.OA*OPI=诵•强

【分析】由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案.

【解答】解：VP\(cosa,sina)»Pi(cosp,-sinp),P3(cos(a+p)>sin(a+p))>A

(1,0),

TT

：・0P1=(cosa,sina),0P2=(cosp,-sinR),

OP3=(cos(a+p),sin(a+p)),OA=(1,0),

TT

力Pi=(cosa-1,sina),AP2=(cos/?-L—sin/?),

22

则|OPJ=7cos2a+sin2a=1,\0P2\=yjcosp+(-sin^)=1,则|OP/=|OP2l，故A

正确：

—>

|AP/=yj(^cosa—l)2+sin2a=y/cos2a4-sin2a—2cosa+1=x/2—2cosa,

2222

\AP2\=y](cosp—l)4-(-sin^)=y]cosp+sin/7—2cosp+1=，2-2cos0,

I扁/扁,故6错误;

OA-0P2=1Xcos(a+p)+0Xsin(a+p)=cos(a+p),

___T

0P1-0P2=cosacosp-sinasinp=cos(a+p),

：.OA*OP3=OP^OP2^故CE确；

OA•OP]=1Xcosa+0Xsina=cosa,

TT

0P2,0P3=cosfcos(a+p)-sin^sin(a+0)=cos[p+(a+0)]=cos(a+20),

・・・&・。1HOX，。"故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角

和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题.

12.在正三棱柱ABC-AiBi。中，AB=A4i=l,点P满足而=入辰+西石，其中入日0,

11，|ie[0,1],则（）

A.当入=1时，/XABiP的周长为定值

B.当"=1时，三棱锥P-48c的体积为定值

C.当入时，有且仅有一个点P,使得4P_LBP

D.当口=2时，有且仅有一个点P,使得AiB_L平面481P

【分析】判断当人=1时，点P在线段CG上，分别计算点尸为两个特殊点时的周长，

即可判断选项4当口=1时，点尸在线段以。上，利用线面平行的性质以及锥体的体

积公式，即可判断选项&当入=3时，取线段BC,B\C\的中点分别为M,Mi,连结

则点P在线段M1M上，分别取点P在Mi,M处，得到均满足4P_L8P,即可判

断选项C;当口=之时，取C。的中点。1,BBi的中点O,则点尸在线的上，证明

当点P在点Di处时，48_L平面ABiOi,利用过定点A与定直线48垂直的平面有且只

有一个，即可判断选项D

【解答】解：对于A,当人=1时，？P=靛+“B%i，即&=所以己||8%1，

故点P在线段CCi上，此时△AB1P的周长为ABi+BiP+AP,

当点尸为CC1的中点时，△A81P的周长为向+/L

当点P在点C1处时，△48尸的周长为2遮+1,

故周长不为定值，故选项A错误；

.41K-------------------T|G

对于8,当以=1时，BP=ABC+BBi，即BiP=4BC,所以aP|BC,

故点尸在线段81cl上，

因为81cl〃平面418C,

所以直线B\C\上的点到平面AiBC的距离相等，

又△AiBC的面积为定值，

所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故选项8正确;

1

对于C,当入=之时，取线段8C,BiCi的中点分别为M,M,连结Mi",

因为而=*命+即加=所以诂||B%i，

则点P在线段MM上，

当点P在Ml处时，AIA/I±BICI,A\M\YB\Bt

又51。08由=明，所以4]Mi_L平面3B1C1C,

又5MU平面5BCIe所以即AiP_LBP,

同理，当点尸在“处，AiPJ_BP,故选项C错误；

对于。，当时，取C。的中点。，的中点£),

因为丽=2应即而=A而，所以而||立，

则点P在线的上,

当点尸在点处时，取AC的中点E,连结4E,BE,

因为平面4CG4,又/Wiu平面4CC14,所以4Di_LB£

在正方形ACCiAi中，ADiXAsE,

又BEnAiE=£,BE,AiEu平面AiBE,

故ADi_L平面4BE,又48u平面48E,所以AiBJ_ADi,

在正方体形ABB1A1中，A\B±AB\t

又grM8i=A,AD\,ASiu平面ABD1,所以43_L平面A5I£）I,

因为过定点A与定直线AiI3垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点P,使得4B_L平面A81P,故选项D正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合

性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题.

三.填空题（共4小题）

13.若向量；，b满足面=3,日一b|=5,a*b=1,则|b|=_3V2_.

【分析】由题意首先计算@-％）2,然后结合所给的条件，求出向量的模即可.

【解答】解：由题意，可得日-力）2=滔一2：4+京=25,

因为面=3,a^b=1,所以9-2xl+：2=25,

所以言=18,|&=拒=3应.

故答案为：3V2.

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题.

14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30m则该圆锥的侧面积为397r.

【分析】由题意，设圆锥的高为力，根据圆锥的底面半径为6,其体积为30ir求出爪再

求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可.

【解答】解：由圆锥的底面半径为6,其体积为30m

设圆锥的高为h,则]x(TTx62)xh=30江，解得九=会

所以圆锥的母线长，=J(f)2+62=竽，

所以圆锥的侧面积S=nrl=yrx6x=397r.

故答案为：39m

【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础

题.

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百，3=60°,«2+c2=3«c,

则b=_2y[2_.

【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于匕的方程，解方程可得.

【解答】解：:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为V5,8=60°,

6t2+C2=3flC,

.*.-«csinB=V5=±zcx苧=75="=4=/+(?=12,

222

2

pDa?+c2—力2_112—bp-/名俏仝、

又cosB=-猛一=>-=---0b=272,(负值舍)

故答案为：2V2.

【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题.

16.甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.开始

1

甲持球，传球两次后，球回到甲手里的概率P2=~；传球〃次后，球回到甲手里的

一2一

概率尸〃=i-i-(-i)w.

—33-2-------------

【分析】(1)经过一次传递后，落在乙丙手中的概率分别为点而落在甲手中的概率为0,

由此能求出两次传递后球落在甲手中的概率P2之值.

(2)要想红过〃次传递后球落在甲的手中，那么在〃-1次传递后球一定不在甲手中，

所以P〃=4(1zi=l,2,3,4,…，由此能求出尸〃.

【解答】解：(1)经过一次传递后，落在乙丙手中的概率分别为今

而落在甲手中的概率为0,因此Pi=0,

两次传递后球落在甲手中的概率为P2=|x|+|x|=1.

(2)要想红过〃次传递后球落在甲的手中，那么在1次传递后球一定不在甲手中，

1

所以尸(1-PM-I),n=l,2,3,4,

1111112Q

因此尸3=y(I-P2)=~X尸4=5(1-P3)=5x7=o*

Z乙乙，LZ4-o

„1,155n1,ic、11111

P5=2z-Pn4x)=2x8=l6*P6=2(1-P5)=2X16=32,

VP„=i(1-

:.Pn~i=-i(P/J-I—i),

ALO

P?Lg=(Pl—^)*(—^)n

所以尸〃=《-}(一少"I

故答案为：：，:一j(T)

2332

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公

式等基础知识，涉及数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，属于中档题.

四.解答题(共6小题)

17.在△ABC中，已知°=3,h=2c.

(1)若4=学，求S”3c.

(2)若2sinB-sinC=1,求C^ABC.

【分析】(1)由余弦定理求得从而求得△ABC面积；

(2)由正、余弦定理求得氏c值，从而求得△ABC周长.

【解答】解：(1)由余弦定理得8sA=_*=庐端;一=吟g,

解得C2=y,

SMBC=IbcsinA=孚x2c2=

(2),:b=2c,・,•由正弦定理得sin8=2sinC,XV2sinB-sinC=I,

i2

.•.sinC=i,sinB=*AsinC<sinB,：.C<B,为锐角，

・・・COSC=Jl-&）2=竽.

由余弦定理得：ci=az+bz-2abcosC,又,.,。=3,b=2c,

A?=9+4?-8V2c,得：3?-8V2c+9=0,解得：c==令

当°=4咛•后时,b=8"2吗,.\CA4BC=3+4V2+V5：

DO

当c=4。病时,b=8—,2北,/.CA4fiC=3+4V2-V5.

【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档

题.

18.如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段OE经过点G,并绕点G转

动，分别交边48、AC于点。、E；设AE=nACf其中OVmWl,OV〃W1.

（1）求表达式三十三的值，并说明理由；

mn

（2）求△AOE面积的最大和最小值，并指出相应的勿、〃的值.

【分析】（1）将向量启用向量G和元•表达，由。、G、E三点共线，即可得到m和〃

的关系.

（2）由三角形面积公式，SSDE=由（1）可知一+—=3,由消元法〃=qT1，

4mn3m-1

转化为机的函数求最值即可.

【解答】解：（1）如图延长4G交BC与F,・・・G为△48C的中心

・•・尸为8C的中点，则有京=3n+*前

'：AD=mAB,AE=nAC,AG=1AF

3TI-*1->„„■*1-1-*

AG=AD+—4E即4G=~—AD+-^—AE

22m2n37n3n

•・•£>、G、E三点共线

3m3n

“11

故—+-=3

mn

（2）:△ABC是边长为1的正三角形,

：.\AD\=rn,\AE\=H.\SMDE=

上11

由一十-=3,OVmWl,0<n<1

mn

；•〃=&丁1,1<^；<2即=<m<1.

3m—1m2

2

,e7373m

..5MDE=T/H/7=T3^

1i12

设f=/n—飙m=t+^(-<t<-)

3363

S^ADE=(，+死+,)

易知f（t）=t++在弓,，为减函数,在心,，为增函数.

172

t=即m=n=于时，f<t）取得最小值£

5

即SdOE取得最小值V，又/（£）=/（1）-

6

•VCt）取得最大值是3则S,、AQE取得最大值日，

68

此时〃1=，？1=1或771=1,n=i.

【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值，考查消元和换元等

方法.

19.已知虚数2=0+6（小bER,〃W0）满足z+^WR.

(1)求忆|;

11

--

(2)若a(z—?)ad

【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为。可得/+后=2,则回可

求；

(2)利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为1可得2"=1,再与/+y=2联立,

11

即可求得一+二的值.

ab

【解答】解：(1)*：z=a+bi(a,bER,〃W0),

・・・z+]=a+bi+儡=a+bi+(焉濯bi)=(a+"一

又b#0,•\a2+b2=2,即|z|=Va2+b2=V2；

（2）由aQ-$=以。+尻一篇）=矶a+尻-g微鳖加

=矶（"磊）+（"券）i]"

联立E〃广2，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=3,贝U。+匕=±V1

12ab=1

11a+b竽=±2百.

+=

bab

2

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查运算求解能力,

是中档题.

20.如图，四棱锥P-ABCO的底面是矩形，尸D_L底面4BC£>,M为BC的中点，且尸

AM.

(1)证明：平面以M_L平面P8Q：

(2)若PQ=OC=1,求四棱维P-ABC。的体积.

【分析】(1)通过线面垂线即可证明；即只需证明4M_L平面尸8D

(2)根据P£>_L底面可得PD即为四棱锥P-4BCD的高，利用体积公式计算即

可.

【解答】(1)证明：・・・PO_L底面ABC。，AMu平面A8CO,

：.PD±AM,

XVPfilAA/,

PDnPB=P,PB,尸Ou平面尸BD.

・・・AM_L平面PBD.

TAMu平面PAM,

，平面B4M_L平面PBD；

(2)解：由PQ_L底面ABC。，

・・・PO即为四棱锥P-A8CQ的高，△QP8是直角三角形；

「ABC。底面是矩形，PD=DC=l,M为8C的中点，且P8_LAM.

设AD=BC=2a,取。尸的中点为F.连接MF,AF,EF,AE,

可得M尸〃尸8,EF//DP,

那么且上尸=*.AE=J*+4v2,AM=y/a2+1,AF=yiEF2+AE2.

那么△AM/是直角三角形，

•••△OPB是直角三角形，

，根据勾股定理：BP=<2+4川2,则“尸二%