大学物理授课教案 第七章 真空中的静电场

大学物理授课教案_第七章_真空中的静电场

第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）

第三篇电磁学

第七章真空中的静电场

本章只讨论真空中的电场，下一章再讨论介质中静电场。

静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。

§7-1电荷库仑定律

一、电荷

种类正电荷1、电荷负电荷作用同性相斥异性相吸

（一般地说：使物体带电就是使它获得多余的电子或从它取出一些电子）

2、电荷守恒定律

电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律。它是物理学的基本定律之一。

3、电荷量子化

在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷e的整数倍。这也是自然界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的实验来否定这个规律。

二、库仑定律

点电荷：带电体本身线度比它到其他带电体间的距离小得多时，带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。（如同质点一样，是假想模型）

库仑定律：真空中两点电荷之间的相互作用力大小与他们电量乘积成正比，与他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性相吸。这叫做库仑定律。它构成全部

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静电学的基础。

数学表达式：q2受q1的作用力：

qqF12k1

220斥力（同号）r120吸引（异号）采用国际单位制，其中的比例常数k9109Nm2/c2。

写成矢量形式：q1q2r12q1q2F12k2kr123r12r12r12

令k1

40，08.851012c2/Nm2

1q1q2r12（7-1）340r12说明：①F12是q1对q2是作用力，r12是由q1指到q2的矢量。F12

②q2对q1的作用力为：

1q1q2q1q2F21r21r12F12340r2140r12

③库仑定律的形式与万有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，这是区别。

§7-2电场电场强度

一、电场

1、电荷间作用

电荷间作用原有不同看法，在很长的时间内，人们认为带电体之间是超距作用，即二者直接作用，发生作用也不用时间传递。即

直接作用两种看法①超距作用：电荷电荷不看传递时间

近代物理学证明后者是正确的。

2、静电场的主要表现到了上世纪，法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存在着电场，其他带电体受到的电力是电场给予的，即②场观点：电荷场电荷

表现电场力：放到电场中的电荷要受到电场力。电场力作功：电荷在电场中移动时，电场力要作功。

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二、电场强度

从静电场的力的表现出发，利用试验电荷来引出电场强度概念来描述电场的性质。试验电荷q0（点电荷且q0很小），放入A点，它受的电场力为F，试验发现，将q0加倍。则受的电场力也增加为相同的倍数，即

实验电荷：q02q03q0…nq0受力：F2F3F…nF力F2F3FnF实验电荷q02q03q0nq0F可见，这些比值都为，该比值与试验电荷无关，仅与A点电场性质有关，因此，可q0F以用来描述电场的性质，q0定义：

（7-2）为电荷q的电场在AE单位正电荷受的作用力F0

三、场强叠加原理

试验电荷放在点电荷系q1、q2、q3qn所产生电场中的A点，实验表明q0在A处受的电场力F是各个点电荷各自对q0作用力F1、F2、F3Fn的矢量和，即：FF1F2F3FnFF1F2F3FnE1

E2E3En按场强定义：Eq0q0q0q0q

（7-3）

上式表明，生的场强矢量和，这称为场强叠加原理。

四、场强计算

1、点电荷电场的电场强度

在A处产生的场强为：假设A处有试验电荷，qq受力为F，有F1qq0Erq0q040r3

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即

(7-4)r由q指向A，q>0E与r同向（由qA）<0E与r反向（由Aq）*点电荷电场球对称。

2、点电荷系电场的电场强度

E

i1nq140r13qirir1q240r23r2qn40rn3rn40ri3

即

(7-5)

3、连续带电体电场的电场强度

把连续带电体分成无限多个电荷元，看成点电荷，可有：

dq产生场强为dErdq34r0

dqr总场强EdE340rq

4、电偶极子

等量异号点电荷相距为l，如图所示，这样一对点电荷称为电偶极子。由-qq的矢量l叫做电偶极子的轴，pql叫做电偶极子的电矩。

*在一正常分子中有相等的正负电荷，当正、负电荷的中心不重合时，这个分子构成了一个电偶极子。

例7-1：已知电偶极子电矩为p，求

⑴电偶极子在它轴线的延长线上一点A的E

A

；

⑵电偶极子在它轴线的中垂线上一点B的EB。

解：⑴如图所取坐标，EAEE

Eql40r22

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l40r2

22llrrq011q220EAEE2222404llll0rrrr2222

q2lr2ql2prl223340440r40rllr112r2r2p（与同向）EAEpA340rEq2

⑵如图所取坐标EBEE

qE2l240r22

EEEEcosEcos2EcosBx

l

qgl23222l2l22l22r40r404r44

glprl3340r40r

EBy0pEBEBx340r

*分立电荷产生场强的叠加问题。

例7-2：设电荷q均匀分布在半径为R的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距x的p

点的场强。

解：如图所取坐标，x轴在圆环轴线上，把圆环分成一系列点电荷，dl部分在p点产生的电场为：

dldl22240r40xRq电荷线密度2RdE

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dE//dEcos

E//2Rxdl40x2R322xdl

40x2R40x2R40x2R

根据对称性可知，E0

qx∴EE//3

40x2R22>0：E沿x轴正向q<0：E沿x轴负向（x轴上E关于原点对称）结论：E与圆环平面垂直，环中心处E=0，也可用对称性判断。

q*xR，E240x03222Rx322qx322例7-3：半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为，计算轴线上与盘心相距x的p点

的场强。

解：如图所示，x轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为r、宽度为dr的圆环在p点产生的场强为：

xdq（均匀带电圆环结果）dE//3

40x2r22

x2rdrxrdr332040x2r22x2r22∵各环在p点产生场强方向均相同，

∴整个圆盘在p点产生场强为：

RxrdrE//dE//302220xr2

xRrdr3020x2r22

x1Rd(x2r2)30202222xrR

x11111202x2r2220

x1120x2R2x

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22xR

>0：背离圆盘

<0：指向圆盘即E与盘面垂直（E关于盘面对称）xx120

讨论：R时，变成无限大带电薄平板，E//，方向与带电平板垂直。20例7-4：有一均匀带电直线，长为l，电量为q，求距它为r处p点场强。解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，dy段在p处产生场强为：

dqdyqdE()①22240r40(yr)l

由图知：yrtgrtgrtgrctg22dyrcsc2ddy代⑴中有：dE'240r

dExdEcosdEcos()2dydEcos()dEsinsin'2240r

yrtgrtgrtgrctg22

rrdyrcsc2d，r'cossin

rcsc2ddEx240rsin2

2sind(cos1cos2)ExdEx4r4r001

dEydEsindEcos

2

EydEycosd(sin2sin1)4r4r001

讨论：无限长均匀带电直线10,2,Ex,Ey0.20r即无限均匀带电直线，电场垂直直线，0，E背向直线；0，E指向

直线。

例7-5：有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求在平面附近任一点场强。

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解：如图所取坐标，x轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行于z轴的无限长窄条，阴影部分在p点产生场强为（无限长均匀带电直线结果）

dy1dE20r20r

dyxxdydExdEcos1222220xyxy20x2y22

xdyxdyExdEx222220xy20xyx11yAg20xx202220

EydEy0（由对称性可知）

结论：无限大均匀带电平面产生均匀场，大小为

20

>0背离平面<0指向平面

§7-3电力线电通量

一、电力线

电力线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。

1、E用电力线描述

规定：E

方向：电力线切线方向

dN大小：E的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=ds

dN即Eds（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。）

2、静电场中电力线性质

⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。

⑵任意两条电力线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。

二、电通量

定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e表示。

第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）下面分几种情况讨论。

1、匀强电场⑴平面S与E垂直。如图所示，由E的

eES大小描述可知：

⑵平面S与E夹角为，如图所示，由E的大小描述知：eESEScosES(SSn)

式中n为S的单位法线向量。

2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量

如图所示，在S上取面元dS，dS可看成平面，dS上E可视为均匀，设n为dS单位法向向量，dS与该处E夹角E为，则通过dS电场强度通量为：deEdS

通过曲面S的电场强度通量为：

edeEdS

（7-6）

在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量（7-7）

注意：通常取面元外法向为正。

§7-4高斯定理

一、高斯定理

高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。

1、如图所示，q为正点电荷，S为以q为中心以任意r为半径的球面，S上任一点p处E为：

qEr40r3

2、通过闭合曲面S的电场强度通量为：

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s40rs40r（r、dS同向）

qqqdSdS224r4r000ssseEdSqr3dSnq3rdS

结论：e与r无关，仅与q有关(0const)

2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量

⑴q在S内情形

如图所示，在S内做一个以q为中心，

任意半径r的闭合球面S1，由1知，通过S1q的电场强度通量为。∵通过S1的电力线0必通过S，即此时eses，∴通过S的电1q0场强度通量为eEdS0s⑵q在S外情形。

此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即

穿入与穿出S面的电力线数相等，∴eEdS0

s

结论：S外电荷对e无贡献

qeq在S内00q在S外

3、点电荷情况

在点电荷q1,q2,q3,qn电场中，任一点场强为EE1E2E3En

通过某一闭合曲面电场强度通量为：eEdSE1E2E3EndS

ss

1E1d

S

E2dSE3dSEn

dS

ss0qS内

即（7-8）上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以0。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。

说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解

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而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明

⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。

后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，

高斯定理是电磁理论的基本方程之一。

⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有

关，而与闭合曲面外的电荷无关。

1当eEdS

s0S内>0时，不能说S内只有正电荷q<0时，不能说S内只有负电荷

=0时，不能说S内无电荷

注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。1⑷高斯定理说明eEdSq与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不0S内s是说E只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，E是由S内、外所有电荷

产生的结果。

⑸高斯面可由我们任选。

二、高斯定理应用举例

下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。

例7-6：一均匀带电球面，半径为R，电荷为q，求：球面内外任一点场强。

解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O为球心任意球面上的各点E值相等。

⑴球面内任一点P1的场强

以O为圆心，通过P1点做半径为r1的球面S1为高斯面，高斯定理为：1EdSq0S1内s1∵E与dS同向，且S1上E值不变∴EdSEdSEdSE4r12

s1s1s1

1

0q0S1内

E4r120

∴E0

即均匀带电球面内任一点P1场强为零。

注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在

球面内产生场强的矢量和=0。

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2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个别点有

可能为零）

⑵球面外任一点的场强

以O为圆心，通过P2点以半径r2做一球面S2作为高斯面，由高斯定理有：

1E4r22q0

qE240r

方向：沿OP2方向（若q0，则沿方向）

结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点

产生的场强一样。

E0(rR)

q(rR)图7-20240r

例7-7：有均匀带电的球体，半径为R，电量为q，求球内外场强（8-13）。

解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的E相同。（1）球内任一点P1的E?

以O为球心，过P1点做半径为r1的高斯球面S1，高斯定理为：

1EdSq0S1内s1E∵E与dS同向，且S1上各点值相等，2∴EdSEdSEdSE4r1

s1s1s1

q4q3r13r3140S1内0R0R33

3

q3E4r12r10R3

qr1∴E40R3

（若q0，则E沿P1方向）E沿方向。结论：Er11q

注意：不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在

P1点产生的场强的叠加为0。（2）球外任一点P2的E?

以O为球心，过P2点做半径为r2的球形高斯面S2，高斯定理为：

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s21EdS0

1qS2内由此有：E4r220

qqE

E沿OP2方向4r202

结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷

全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。

qr(rR)E4R311

q4r2(rR)

Er曲线如左图。

例7-8：一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为，求直线外任一点场强。解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，E的方向垂直直线。在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P做半径为r高为h的圆柱高斯面，上底为S1、下底为S2，侧面为S3。

1高斯定理为：EdSq0S内s

在此，有：EdSEdSEdSEdS

ss1s2s3∵在S1、S2上各面元dSE，∴前二项积分=0又在S3上E与dS方向一致，且E=常数，∴EdSEdSEdSEdSE2rh

ss3s3s3

1

0qS内10h

1E2rh0h

20r即E

由带电直线指向考察点。（若，则EE由考察点指向带电直线）0

上面结果将与例4结果一致。

例7-9：无限长均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为0，求柱面内外任一点

场强。

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解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E值相等。1）带电圆柱面内任一点P1的E?

以OO’为轴，过P1点做以r1为半径高为h的圆柱高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。高斯定理为：1EdSq0S内s在此，有：EdSEdSEdSEdS

∵在S1、S2上各面元dS1E，∴上式前二项积分=0，又在S3上dS与E同向，且E=常数，∴EdSEdSEdSE2r1h

ss3s3ss1s2s3

1

0S

E2r1h0

∴E0内q0

结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=02）带电柱面外任一点场强E?

以OO'为轴，过P2点做半径为r2高为h的圆柱形高斯面，上底为S1’，下底为S2’，

侧面为S3’。由高斯定理有：

1E2r1h2Rh0

2RE20r2

∵2R2R1=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=∴E，E由轴线指向P2。0时，E沿P2指向轴线20r2

结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面

的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。

例7-10：无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求平面外任一点场强。

解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相同的任意二点处的E值相等。设P为考察点，过P点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S1，左端面为S2，侧面为S3，高斯定理为：1EqsdS0S内在此，有：

EdSEdSEdSEdSss1s2s3

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∵在S3上的各面元dSE，∴第三项积分=0又∵在S1、S2上各面元dS与E同向，且在S1、S2上E=常数，

∴有：EdSEdSEdSEdSEdSES1ES22ES1ss1s2s1s2

1

0qS内10

1S1S10

即：E（均匀电场）20。此结论与例5完全一致。E垂直平面指向考察点（若0，则E由考察点指向平面）

例7-11：有二平行无限大均匀带电平板A、B，电荷面密度分别为1）,；2）,。

求：板内、外场强。

解：1）设P1为板内任一点，有EEAEB

即：EEAEB02020

设P2为B右侧任一点（也可取在A左侧），EEAEB

即EEAEB20200

2）设P3为二板内任一点，EEAEB

即EEAEB20200

设P4为B右侧任一点（也可取在A左侧）EEAEB

0即：EEAEB2020

上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算EdS?sE2S11

01q?E4）由高斯定理dSS内s0q求出E。

S内

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§7-5静电场力的功电势

此前，从静电场力的表现引入了场强这一物理量来描述静电场。这一节，我们将从静电场力作功的表现来阐述电势这一物理量来描述静电场的性质。一、静电场力的功

力学中引进了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只与始末二位置有关，而与路径无关。前面学过的保守力有重力、弹性力、万有引力等。在保守力场中可以引进势能的概念，并且保守力的功

W=势能增量的负值(Ep)（7-9）

在此，我们研究一下静电力是否为保守力。1、点电荷情况

点电荷q置于O点，实验电荷q0由a点

运动到b点。在c处，q0在位移dr内，静电力F对q0的功为：

o

qq0dWFdrq0Edrrdr

3

40r

∵rrr2

∴drrrdr2rdr

2rdr2rdrqq0qq0

rdrdr∴dW

40r340r2

图7-28

qq0rb1qq011

ab:WdW（7-10）

40rar240rarb

可见：W仅与q0的始末二位置有关，而与过程无关。2、点电荷系情况

、qn的电场中，由场强迭加原理有：设q0在q1、q2、

EE1E2En

q0从ab中，静电场力的功为：

WFdrq0Edrq0E1drq0E2drq0Endr

ab

ab

ab

ab

ab

∵上式左边每一项都只与q0始末二位置有关，而与过程无关，∴点电荷系静电力对q0作的功只与q0始末二位置有关，而与过程无关。

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3、连续带电体情况

对连续带电体，可看成是很多个点电荷组成的点电荷系，所以2中结论仍成立。综上所述，静电场力为保守力（静电场为保守力场）。q0在静电场中运动一周，静电力对它作功为：qEdl0（代替）dldr0l

q00（7-11）此式表明，静电场中的环流=0（任何矢量沿闭合路径的线积分称为该矢量的环流），这一结论叫做场强环流定律。

静电场的环流定律是静电场的重要特征之一，静电学中的一切结论都可以从高斯定理及场强的环流定律得出。他们是静电场的基本定律。（（7-10）、（7-11）等价，由（7-11）知，电场线不可能闭合）

二、电势能电势

1、电势能：

Epb∵静电场为保守力场，∴可以引进相应势能的概念，此势能叫做电势能。设Epa、

为q0在a、b二点的电势能，可有

EpbEpaWabq0baEdr（7-12）

电势能的零点与其他势能零点一样，也是任意选的，∴对于有限带电体，一般选无限远处Ep0（电势能只有相对意义，而无绝对意义）选Epb0，令b点在无穷远，有

Epaq0

此,电势能零点取在无限远处。

2、电势baEdr结论：q0在电场中某点的电势能=q0从该点移到电势能为零处电场力所作的功，在

q0F与q0无关。它如同E一样，反映的是电场本身的性质，该物理量称为电势，记做Ua，q0

Epa定义：Ua为a点电势，选Epb0时，有

q0

（7-13）由Epa表达式知，它与位置a有关，还有q0有关。但是Epa且仅与位置a有关，而

选b，有

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Ua

a

Edr（7-14）

结论：电场中某一点a的电势等于单位正电荷从该点移到电势为零处（即电势能为

零处）静电力对它做的功。A点电势等于把单位正电荷从该点移到电势为零点电场力做的功。

说明：1）Ua为标量，可正、负或0。单位：V

2）电势的零点（电势能零点）任选。在理论上对有限带电体通常取无穷远

处电势=0，在实用上通常取地球为电势零点。一方面因为地球是一个很大的导体，它本身的电势比较稳定，适宜于作为电势零点，另一方面任何其他地方都可以方便地将带电体与地球比较，以确定电势。3）电势与电势能是两个不同概念，电势是电场具有的性质，而电势能是电

场中电荷与电场组成的系统所共有的，若电场中不引进电荷也就无电势能，但是各点电势还是存在的。4）场强的方向即为电势的降落方向。

3.电势差：

电场中任意二点电势差，称为他们的电势差。

b

uaubEdrEdrEdr

aa

（7-15）

结论：a、b二点电势差等于单位正电荷从ab静电力做的功。三、电势的计算

1、点电荷电势：

40r3

qq

可沿r方向积分dr

a4r240r0

a

a

ua

Edr

q

rdr

2、点电荷系电势

，qn，设有点电荷q1，q2，

uaEdrE1E2Endr

aa

E1drE2drEndr

q1

图7-29

a

aaa

q40r1

q240r2

qn40rn

n

图7-30

第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）

i1nqi40ri

（7-16）

结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和，

此结论为静电场中的电势叠加原理。

3、连续带电体电势

设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷，dq在a处产生电dq势为：dua40r整个带电体在a处产生的电势为：

dquaduaq4r0

例7-12：均匀带电圆环、半径为R，电荷为q，

求其轴线上任一点电势。

解：如图所示，x轴在圆环轴线上，

〈方法一〉用upEdr解：x图7-31

圆环在其轴线上任一点产生的场强为

qx（E与x轴平行）E3

40R2x22

upEdrx

积分与路径无关，可沿x轴Edxx

qx

40R2xx322

1dR2x2

34

02xR2x22qdx

1114022q0

40Rx22q1Rx22x

〈方法二〉用电势叠加原理解updup

把圆环分成一系列电荷元，每个电荷元视为点电荷，dE在p点产生电势为：

dup

dq40r

dq40Rxdq

2

2

整个环在p点产生电势为：

updup

q

40Rx

22

q40Rx

2

2

讨论：1）x0处，up

q

40Rq

2）xR时，up，环可视为点电荷。

40x

例7-13：一均匀带电球面，半径为R，电荷为q，

求球面外任一点电势。

解：如图所取坐标，场强分布为

E0（球面内）

q

r（球面外）

3

40r球面外任一点P1处电势

up1

r1

r1

EdrEdr（∵积分与路径无关，∴可沿r1方向）

r1

q40r

dr2

q40r

结论：均匀带电球面外任一点电势，如同全部电荷都集中在球心的点电荷一样。

球面内任一点P2电势Rup2EdrEdrEdr

r2

r2

R

EdrR

R

q40r

2

dr

q40R

可见，球面内任一点电势与球面上电势相等。（∵球面内任一点E0，∴在球面内

移动试验电荷时，无电场力作功，即电势差=0，∴有上面结论）

例7-14：有二个同心球面，半径为R1、R2，电荷为q，q，求二面的电势差。

R2

解：〈方法一〉用u内u外Edr解

R1

在二球面间，场强为：

qEr3

40r

R2

u内u外Edr

R1

R2

积分与路径无关，可沿r

R1

q40r2

dr

q11

(0,u内u外)

40R1R2

〈方法二〉用电势叠加原理解

内球面在二球面上产生电势分别为：

q

uq内40R1

quq外

40R2

外球面在二球面上产生电势分别为：

q

uq内

40R1

quq外

40R2

二球面电势分别为：

q11

u内uq内uq内

40R1R2

u外uq外uq外0u内u外

q1140RR21

注意电势计算方法。

§7-6等势面场强与电势的关系

一、等势面

1、等势面：电势相等的点连接起来构成的曲面称为等势面。

如：在距点电荷距离相等的点处电势是相等的，这些点构成的曲面是以点电荷为球心的球面。可见点电荷电场中的等势面是一系列同心的球面，如左图所示。2、场中等势面性质

1）等势面上移动电荷时电场力不作功

设：设点电荷q0沿等势面从a点运动到b点电场力作功为：

WabEpbEpaq0ubua

ubua0

2）任何静电场中电力线与等势面正交证：如下图所示，设点电荷q0自a沿等势

面发生以位移dl，电场力作功为：

dWq0Edlq0Edlcos∵在等势面上运动，∴dW0

q0Edlcos0∵q0,E0,dl0

2

故电力线与等势面正交，E垂直于等势面。

∴cos0，即

说明：在相邻等势面电势差为常数时，等势面密集地方场强较强。二、场强与电势关系

E

是描述电场性质的物理量，他们应有一定的关系，

前面已学过E、u之间有一种积分关系

uaEdl（无限远处u0）

a

那么，E、u之间是否还存在着微分关系呢？这正是下