2025届高考数学统考一轮复习课时作业63参数方程文含解析新人教版

PAGE课时作业63参数方程[基础达标]1．[2024·安徽省示范中学名校高三联考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝sinφ))(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(7)，\f(π,2)))且经过极点的圆．(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；(2)已知射线θ＝eq\f(π,3)(ρ≥0)分别与曲线C1，C2交于点A，B(点B异于坐标原点O)，求线段AB的长．2．[2024·黄冈中学，华师附中等八校联考]在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα,y＝\r(3)＋tsinα))(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8.(1)求直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4eq\r(2)，求直线l的倾斜角．3.[2024·广东省七校联合体高三联考试题]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosφ,y＝2sinφ))(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ>0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，当eq\f(|OB|,|OA|)＝4时，求α的值．4．[2024·唐山市高三年级摸底考试]在极坐标系中，圆C：ρ＝4cosθ.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点M(－1，－3eq\r(3))且倾斜角为α.(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，满意A为MB的中点，求α.5.[2024·全国卷Ⅱ]已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cos2θ，,y＝4sin2θ))(θ为参数)，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为一般方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．6．[2024·南昌市高三年级摸底测试卷]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα,y＝2sinα))(α∈[0,2π)，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝y))得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)．(1)求曲线C的一般方程和曲线C1的极坐标方程；(2)若射线OA：θ＝β(ρ>0)与曲线C1交于点A，射线OB：θ＝β＋eq\f(π,2)(ρ>0)与曲线C1交于点B，求eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)的值．

[实力挑战]7．[2024·河南省豫北名校高三质量考评]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosφ,y＝y0＋tsinφ))(t为参数，φ∈[0，π))．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ)).(1)求圆C的直角坐标标准方程；(2)设点P(x0，y0)，圆心C(2x0,2y0)，若直线l与圆C交于M，N两点，求eq\f(|PM|,|PN|)＋eq\f(|PN|,|PM|)的最大值．课时作业631．解析：(1)由曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝sinφ))(φ为参数)，消去参数φ得eq\f(x2,4)＋y2＝1，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))代入eq\f(x2,4)＋y2＝1得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝eq\f(4,cos2θ＋4sin2θ)＝eq\f(4,1＋3sin2θ).由曲线C2是圆心的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(7)，\f(π,2)))且经过极点的圆，可得其极坐标方程为ρ＝2eq\r(7)sinθ，从而得C2的直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(7)y＝0.(2)将θ＝eq\f(π,3)(ρ≥0)代入ρ＝2eq\r(7)sinθ得ρB＝2eq\r(7)sineq\f(π,3)＝eq\r(21)，将θ＝eq\f(π,3)(ρ≥0)代入ρ2＝eq\f(4,cos2θ＋4sin2θ)得ρA＝eq\r(\f(4,cos2\f(π,3)＋4sin2\f(π,3)))＝eq\f(4\r(13),13)，故|AB|＝ρB－ρA＝eq\f(13\r(21)－4\r(13),13).2．解析：(1)因为直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα,y＝\r(3)＋tsinα))(t为参数)，所以当α＝eq\f(π,2)时，直线l的一般方程为x＝2，当α≠eq\f(π,2)时，直线l的一般方程为y－eq\r(3)＝tanα(x－2)，即y＝xtanα＋eq\r(3)－2tanα.因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρ2＝2ρcosθ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8.所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.(2)解法一曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理，得t2＋(2eq\r(3)sinα＋2cosα)t－5＝0.因为Δ＝(2eq\r(3)sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可设该方程的两个根分别为t1，t2，则t1＋t2＝－(2eq\r(3)sinα＋2cosα)，所以|AB|＝|t1－t2|＝eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r([－(2\r(3)sinα＋2cosα)]2＋20)＝4eq\r(2).整理得(eq\r(3)sinα＋2cosα)2＝3，故2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝±eq\r(3).因为0≤α<π，所以α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)或α＋eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，解得α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(π,2)，综上所述，直线l的倾斜角为eq\f(π,6)或eq\f(π,2).解法二直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4eq\r(2)，曲线C为圆：(x－1)2＋y2＝9，故圆心C(1,0)到直线l的距离d＝eq\r(9－(2\r(2))2)＝1.①当α＝eq\f(π,2)时，直线l的一般方程为x＝2，符合题意．②当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，直线l的方程为xtanα－y＋eq\r(3)－2tanα＝0，所以d＝eq\f(|tanα－0＋\r(3)－2tanα|,\r(1＋tan2α))＝1，整理得|eq\r(3)－tanα|＝eq\r(1＋tan2α)，解得α＝eq\f(π,6).综上所述，直线l的倾斜角为eq\f(π,6)或eq\f(π,2).3．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).曲线C2的一般方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)由(1)知|OA|＝ρA＝eq\f(1,cosα＋sinα)，|OB|＝ρB＝4cosα，∴eq\f(|OB|,|OA|)＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4))).∵eq\f(|OB|,|OA|)＝4，∴2＋2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝4，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).由0<α<eq\f(π,2)，知eq\f(π,4)<2α＋eq\f(π,4)<eq\f(5π,4)，∴2α＋eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4)，∴α＝eq\f(π,4).4．解析：(1)由圆C：ρ＝4cosθ可得ρ2＝4ρcosθ，因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα,y＝－3\r(3)＋tsinα))(t为参数，0≤α<π)．(2)设A，B对应的参数分别为tA，tB，将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程并整理，得t2－6t(eq\r(3)sinα＋cosα)＋32＝0，Δ＝36(eq\r(3)sinα＋cosα)2－4×32>0①，所以tA＋tB＝6(eq\r(3)sinα＋cosα)，tA·tB＝32.又A为MB的中点，所以tB＝2tA，因此tA＝2(eq\r(3)sinα＋cosα)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，tB＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，所以tA·tB＝32sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝32，即sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1.因为0≤α<π，所以eq\f(π,6)≤α＋eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，从而α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,3)，又α＝eq\f(π,3)满意①式，所以所求α＝eq\f(π,3).5．解析：(1)C1的一般方程为x＋y＝4(0≤x≤4)．由C2的参数方程得x2＝t2＋eq\f(1,t2)＋2，y2＝t2＋eq\f(1,t2)－2，所以x2－y2＝4.故C2的一般方程为x2－y2＝4.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x2－y2＝4))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(3,2)，))所以P的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3,2))).设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)，由题意得xeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(5,2)))2＋eq\f(9,4)，解得x0＝eq\f(17,10).因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝eq\f(17,5)cosθ.6．解析：(1)将曲线C的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα,y＝2sinα))(α∈[0,2π)，α为参数)消去参数，得x2＋y2＝4，所以曲线C的一般方程为x2＋y2＝4.曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，则曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝4cosα,y′＝2sinα))，得x′2＋4y′2＝16，将x′＝ρcosθ，y′＝ρsinθ，代入上式得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16.(2)将θ＝β(ρ>0)代入ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16，得eq\f(1,ρ2)＝eq\f(cos2β,16)＋eq\f(sin2β,4)，即eq\f(1,|OA|2)＝eq\f(cos2β,16)＋eq\f(sin2β,4)，同理eq\f(1,|OB|2)＝eq\f(cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,2))),16)＋eq\f(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,2))),4)＝eq\f(sin2β,16)＋eq\f(cos2β,4)，所以eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)＝eq\f(1,16)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).7．解析：(1)圆C的极坐标方程为ρ＝8coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝4cosθ＋4eq\r(3)sinθ，所以ρ2＝4eq\r(3)ρsinθ＋4ρcosθ.因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以x2＋y2－4x－4eq\r(3)y＝0，所以圆C的直角坐标标准方程为(x－2)2＋(y－2eq\r(3))2＝1