定义型压轴题-2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（扬州专用）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题06定义型压轴题

1.(2020•扬州)如图，已知点41,2)、8(5,〃)(〃>0),点P为线段AB上的一个动点，反

比例函数y=A(x>0)的图象经过点P.小明说：“点尸从点A运动至点5的过程中，&值

X

逐渐增大，当点尸在点A位置时A值最小，在点B位置时无值最大

(1)当〃=1时.

①求线段他所在直线的函数表达式.

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并

求出正确的人的最小值和最大值.

(2)若小明的说法完全正确，求〃的取值范围.

【详解】(1)①当〃=1时，3(5,1),

设线段AB所在直线的函数表达式为y=>vx+n,

把A(l,2)和8(5,1)代入得:

1

tn=—

4

解得：｛9

n=—

4

则线段AB所在直线的函数表达式为y=-1x+2;

44

②不完全同意小明的说法，理由为：

,,19、1,以81

k=xy=x(—x-\—)=—(x—)4,

444216

啜k5,

.•.当x=l时，镰,=2；

则不完全同意；

(2)当4=2时,41,2),3(5,2),符合;

n-210-7?

当〃w2时,y=——x+

44

./210-n.n-2,n-10.(10-n)2

k=x(x+)=(x-------y2+-----—

4442〃-416(2-/?)

当”<2时，/随x的增大而增大，则有四二3..5,

2〃一4

此时—„«<2；

9

当”>2时，/随x的增大而增大，则有土卫,,1,

2〃-4

此时〃>2,

综上，n...—.

9

2.(2019•扬州)如图，平面内的两条直线/?,点A,3在直线4上，点C、。在直线《

上，过A、3两点分别作直线4的垂线，垂足分别为A，B、,我们把线段A片叫做线段43

在直线4上的正投影，其长度可记作或工.3，特别地线段AC在直线4上的正投影

就是线段AC.

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角AABC中，AB=5,ZAC.=3，则&c.)=；

(2)如图2,在RtAABC中，NACB=90°,T(ACAB)=4,TlBCAU)=9,求AABC的面积；

(3)如图3,在钝角AABC中，Z4=60。，点。在A3边上，ZACD=90°,T(ADAC)=2,

图2图3

【答案】(1)2(2)39(3)—

2

【详解】（1）如图1中，作CH_LA8.

ZACAS)=3,

.\AH=3,

AB=5，

.-.B/f=5-3=2,

T(BC,AB)=BH=2，

故答案为2.

(2)如图2中，作C”_LA6于H.

/.AH=4,BH=9,

ZACB=NCHA=NCHB=90。,

.\ZA+ZACH=9Q°fZACH+/BCH=9Q。,

ZA=ZBCH，

.CHAH

CH_4

>.f

9CH

「.CH=6,

...S^BC=3•AB-CH=；xl3x6=39.

(3)如图3中，作C〃_L4)于“，BKLCD于K.

A

HD、、

图3、、、/

、w

K

ZACD=90。，T(ADAC)=2,

:.AC=2,

ZA=60°,

.•.ZADC=ZBDK=30。,

:.CD=6AC=26，AD=2AC=4,AH=-AC=\,DH=AD-AH=3,

2

小)=6，CHLAB,

」BH=6,

:.DB=BH-DH=3,

在RtABDK中，NK=90。，BD=3,ZBDK=30°,

.\D7C=BDcos30o=—,

2

.K./Q,7石

..CK=CrDn+DK=29734------=-------,

22

-T-CK-迪

,•£(BC,CD)-J'-24

3.(2017•扬州)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半

的平方差.如图1,在A4BC中，AO是BC边上的中线，与AC的“极化值”就等于

(1)在图1中，若N84c=90。，AB=S,AC=6,AO是8c边上的中线，则A3△

AC=,OCl\OA=；

(2)如图2,在AA8C中，AB=AC=4,ZBAC=120°,求A3△AC、844BC的值;

(3)如图3,在AABC中，AB=AC,AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=1/10.已

3

知•△AC=14,BN/\BA=IO,求AABC的面积.

【答案】(1)0,7(2)24(3)672

【详解】①ZS4c=90。，AB=8,AC=6,

:.BC=IO,

，点O是8c的中点，

.-.OA=OB=OC=-BC=5,

2

:.AB/^AC=AO2-BO2=25-25=0,

②如图1,取AC的中点O,连接8，

.•.C£>」AC=3,

2

OA=OC=5，

:.OD±AC,

在RtACOD中，OD=《OC?-CD?=4,

:.OC/\OA=OD2-CD2=\6-9=l,

故答案为0,7；

(2)①如图2,取BC的中点O,连接AO,

AB=AC,

:.AOVBC>

在AA8C中，AB=AC,ABAC=120°,

:.ZABC=30°,

在RtAAOB中，AB^4,ZABC=30°,

.-.AO=2,OB=2。

:.AB^AC=AO2-BO2=4-12=-8,

②取AC的中点O,连接班)，

:.AD=CD=-AC=2,

2

过点3作BE，AC交C4的延长线于E,

在RtAABE中，Zfi4£=180°-Zfi4C=60°.

,-.ZABE=30°,

AB=4,

；.AE=2,BE=2^3,

：.DE^AD+AE^4,

在RtABED中，根据勾股定理得，BD=BE2+DE2=728=277,

：.BA/\BC=BD2-CD2=24；

(3)如图3,

设ON=x,OB=OC=y,

BC=2y,OA=3x，

ABAAC=14,

.-.OA2-OB2=14,

9x2-y2=140,

取4V的中点尸，连接

117

AF=FN=—AN=—x—OA=ON=x，

223

:.OF=ON+FN=2x,

在RtABOF中，BF2=OB2+OF2=y2+4x2,

BN△BA=TU,

/.BF2-f7V2=10,

/.y2+4x2-x2=10,

3x2+y2=10②

联立①②得，卜=啦或卜"收(舍)，

y=2[y=-2

.\BC=4,OA=3五,

•.^AABC=gBCxAO=65/2.

BOC

图3

E

图1

4.（2021•广陵区校级一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

（1）若四边形438是对余四边形，则与NC的度数之和为;

（2）如图1,是,：，。的直径，点A,B,C在:「。上，AM,CN相交于点。.求证:

四边形AB8是对余四边形；

探究：

（3）如图2,在对余四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,/，位纪=30°,探究线段4）,

【详解】(1),四边形/WCD是对余四边形，

,ZA+NC=90°或ZB+ND=90°.

,ZA+NC=90°或270°.

故答案为90。或270。.

(2)证明：MN是O的直径，点A,B,C在O上,

ZBAM+ZBCN=90°.

即NBAD+NBCD=90°.

四边形ABCD是对余四边形.

（3）猜想：线段4）,CD和比）之间的数量关系为：ADr+CD1.理由如下:

AB=BC,

.•.将AfiCD绕着点6逆时针旋转60。得到AS4F,连接田，如图,

则ABCOMABAF,NFB£）=60°.

:.BF=BD,AF=CD,"DC=ZJBFA.

:.ABFD为等边三角形.

：.BF=BD=DF.

ZADC=30°,

:.ZADB+ZBDC=30°.

：.ZBFA+ZADB=30P.

^FBD+ABFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180°,

60°+30°+ZAFD+ZADF=180°.

:.ZAFD+ZADF=90°.

:.ZFAD=90°.

：.ADr+AF1=OF2.

AD-+CD2=BD2.

5.（2021•宝应县一模）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，

顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个

为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形.

（1）请判断：含30。角的直角三角形（填“是”或“不是”）准黄金三角形；

（2）如图1,在AABC中，CD为角平分线，ZA=40°,ZB=60°,求证：AABC是准黄金

三角形；

（3）如图2,A4BC是准黄金三角形，AC=3,BC=M,且A4C£＞是以C£＞为底边的等

腰三角形，求8的长.

cc

图1图2

【答案】（1）是（2）见解析（3）=

【详解】（1）含30。角的直角三角形是准黄金三角形，若要分割成一个等腰三角形和一个与

原三角形相似的三角形，则作60。角的角平分线即可;

故答案为：是;

(2)由三角形内角和为180。，得，ZACB=180°-ZA-ZB=180o-40o-60°=80o,

CD为ZACB的角平分线,

\ZACD=ZBCD=-ZACB=-x80°=40°,

22

ZACD=ZA,

AD=CD,

AADC为等腰三角形,

ZCDB=180°-ZB-ZBCD=180o-60o-40o=80o,

ACDBSMCB，

AABC为准黄金三角形;

（3）AACD是等腰三角形,

AC=AD=3»

AABC为准黄金三角形,

:./\ABCsbCBD,

.ACCD

BD=AB-AD=AB-3,

.3_CD

>/10AB—3

ACAB

CD~BC

.3_-B

,,c5"7io'

..正题

CD

.3CD

"3710'

w3

,-.CD=|Vio.

6.(2021•江都区模拟)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积

等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的''好点”.如图1,AABC

中，点力是BC边上一点，连接4),若AD2=BDCD,则称点。是AABC中3C边上的“好

点”.

(1)如图2,AABC的顶点是4x3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)AB

边上的“好点”；

(2)A48c中，8c=14,tanB=3,tanC=l,点。是8c边上的“好点”，求线段皮)的

4

长；

(3)如图3,AABC是:。的内接三角形，点〃在A5上，连接C"并延长交O于点£).若

点”是回8中8边上的“好点

①求证：OHLAB

②若OH//BD,。的半径为r,且r=3O〃，求器的值.

2

【答案】(1)见解析(2)B£>=5或3£>=10(3)-

3

。即为A4BC边上的“好点”;

(2)如答图1:

tanB=—,tanC=1»

4

AH3AH

--=—,--=1t,

BH4CH

设A//=33则8〃=©,CH=3k,

BC=14,

.-.3k+4k=14,解得左=2,

:.BH=8,AH=CH=6,

设3D=x,则CD=14-x,DH=8-x,

RtAADH中，AD2=AH2+DH2=62+(8-x)2,

而点。是BC边上的“好点”，AD2=BDCD=x(\4-x'),

62+(8-X)2=X-(14-X),

解得x=5或x=10，

=5或8D=10;

(3)①NCAH=ZHDB,ZAHC=ZBHD,

AHCH

丽一丽’

/.AHBH=CHDH,

.•点”是ABCD中8边上的“好点”，

BH2=CHDH,

：.AH=BH.

:.OHYAB-.

②如答图2:

OHA.AB,OH11BD,

：.ABA.BD,

.•.AD是直径，

,r=3OH,

设则。4=3加，BD=2m,

RtAAOH中，AH=-JOA2-OH2=,

BH=2^2/«»

RlABHD中，HD=BH2+BD2=2-^m,

点〃是AfiCD中cr＞边上的“好点”，

BH2=CH-DH,

~DH~2-j3m-3-

7.(2021•江都区一模)我们规定：三角形其中一边与该边上的高之比叫做这个三角形该边

的“r值.例如，如图1,在AA8C中，BC=5,8c上的高4。=4,则AA8C边8C的“r值

为:，记作：ai\\ABC,BC]=.

(1)等腰直角三角形底边的“值=,等边三角形任意一边的“值=；

(2)如图2,在AOEF中，ZF=135°,ar\ADEF,DF]=1,求arfADEF,DE].

(3)如图3,在矩形A8CD中，AB=\2,8C=9,点M在矩形A8CD内，且,

AB]=4.若以M为圆心，半径为1的圆与矩形ABCD的对角线AC有公共点，设点M到AD

的距离为d,直接写出d的取值范围

图1图2图3

2-

【答案】(I)23(2)5(3)2融—

33

【详解】(1)如图1,①•.AABC是等腰直角三角形，BC上的高4),

，A£)也是8C上的中线，

:.AD=BD=DC,BC=2BD=2AD,

.••等腰直角三角形底边的w值=/=丝2=2：

ADAD

②,AABC是等边三角形，BC上的高

:.AC=AB=BC=2BD=2CD,ZADB=90°,

:.BD=-BC,

2

AD=^AB2-BD2=《BC2TgBe'=--BC,

等边三角形任意一边的ar值=空BC2u

AD

(2)过E作EG_LQF于点G,过尸作"7_LDE于点〃,

ar[\DEF,。用=1,

:.DF=EG,

ZDFE=135°,

/.ZEFG=45°,

:.ZGEF=ZEFG=45°,

:.EG=FG=DF,设EG=FG=DF=m,则£)G=2/〃，

/<

二.在RtADEG中，DE=Mm,sinZ£>=——=—,

DE5

FH/S

在RtADHF中，sinZD==——，DF—m,

DF5

..FH=DF=——m,

55

ar[ADEF,DE]=—=5;

FH

717

(3),蒯/—,理由如下：

33

ar[\MAB,A例=4,2AB=12,

.••点M到AB的品目离=3,

如图3,在边AD上截取AE=3,过点石作EF//AB分别交AC、BC于点、G、F,

•点M在矩形ABCD内，

.•.点〃在线段防(不包括端点)上运动，

当点M在线段EG上且_加与AC相切于点N时，连结MN,则MNJ_AC,

由△GM?VSAG4E得，MG:MN=GA:AE=5:3,

又・一M半径为1,即MN=1,

/.MG——tAG=—x3=5,

33

:.EG=4,

57

,\d=ME=EG-MG=4——=-，

33

17

如图4,当点“在线段GF且一M与AC相切于点N时，同理可得：d=—,

717

二.当M与矩形ABC。的对角线AC有公共点时，一领H.

-33

D

H

图1

8.（2021•宝应县二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（肛2）（其中机为常数），点3

与点A关于y轴对称.在实数范围内定义函数y=一相（其中加为常数）的图

[X2+X+/M（X<1）

象为G.

（1）当点（-1,2）在G上时，则机的值是;

（2）求点5在G上时，求加的值；

（3）当y最小值的取值范围是-2强上-1时，请直接写出刀的取值范围.

【答案】（1）2（2）m=42（3）3轰弧4或-?轰如--

44

【详解】（1）把点（-1,2）代入yuf+x+w,则1-1+m=2,

/.m-2\

（2）.,点A的坐标为（九2）（其中〃?为常数），点4与点A关于y轴对称，

・•・点5的坐标为（一肛2）,

当TH..1时,即犯，一1时，

把点（一加,2）代入y=Y+x一根，则一加一加=2,解得机=l±g（舍去），

当—mv1时，即机>一1时，

把点（一加,2）代入y=f+%+机，则〃2?-"?+加=2,解得〃7=±及（负值舍去），

综上，m=V2；

（3）当图形G上最低点落在函数丁=/+工-皿"1）的图象上时，则最低点坐标为（1,2-a），

二.一2强2—m—1,

解得：3强阮4；

当图形G上最低点落在函数y=f+x—m(x<2)的图象上时,

同理：，7釉I3

44

j=x2+x+m的顶点0(一;，，

当x=l时，y=x2+工一加的点£>(1,2—小)，

m——=2-m,

4

Q

解得加=N,

8

9

当初〉乙时，。为最低点；

8

9

当机时，。为最低点.

8

综上所述，机的取值范围为：3效M4或_2斜7

44

9.(2021•高邮市模拟)我们把二次函数图象上横坐标与纵坐标之和为0的点定义为这个二

次函数图象上的“异点如在二次函数y=x?的图象上，存在一点P(-1,1),点P的横坐标

与纵坐标之和为0,则点P为二次函数y=f图象上的“异点”.

请你就二次函数y=(m-2)x2+nx+n-4(m^2)解决下列问题：

(1)若加=-2,n=3,则这个二次函数图象上的“异点”坐标为；

若A(-3,3),是这个二次函数图象上的两个''异点”，则机=,n=

-16

(2)若这个二次函数图象上的两个不同的“异点”恰好在反比例函数y=的图象上,

求N的值；

(3)若对于任意实数〃，这个二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，求实数，"的取值范

围.

【答案】(1)(g,-I)；3,1(2)-1(3)2Vm<7

【详解】(1)m=-2,〃=3时，y=-4x2+3x-\,

设、=一^2+3x-l图象上的"异点”坐标为(a,-a),则-。=Y。2+3。-1,

解得。=1，

2

r.y=-4x2+3x-i图象上的，，异点”坐标为:

A(-3,3),3(1,-1)是y=(加-2)/+以+”-4图象上的两个“异点”,

|3=%m-2)-3??+/?-4,_|/w=3

，〈八,，解得ztn\，

[-1=(m-2)+n+n-4[n=1

故答案为：(g,一f;3，1；

(2)二次函数图象上.的两个不同的“异点”恰好在反比例函数丫=二3的图象匕

X

，在y=^中，令丫=—%得一元=-^,解得％=4或T,

xx

・•.这两个“异点”为(4,-4)和《4),

把(4,T)和(-4,4)代入y=(〃?-2)f+总+〃一4得：

37

1-4=16(相-2)+4〃+〃-4m--

<,解得《16,

4=16(〃2—2)-4〃+〃一4।

(〃=-1

・•・二次函数图象上的两个不同的''异点”恰好在反比例函数y=士的图象上，〃的值为-1；

X

(3)设二次函数>=(加-2]+〃x+〃-4"异点”为(x,-x),

贝!I-x=(加-2)*2+〃x+〃一4,整理得：(m-2)x2+(«+l)x+n-4=0.

，二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，

(m-2)f+("+l)x+w-4=0有两个不相等的实数根,

即(〃+1)2-4(%-2)(〃-4)>0,

整理变形为(-2m+〃+5产一4w2+36〃?-56>0,

，对于任意实数，?，这个二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，(-2n?+n+5)2..O,

-Anr+36m—56>0>解得2<〃z<7,

,实数机的取值范围是2<〃?<7.

10.(2021•仪征市二模)小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y=[x],若X..0时，

[x]=x2-i；若x<0时，[xj=—x+l.小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究.

(1)下列关于该函数图象的性质正确的是；(填序号)

①y随x的增大而增大；

②该函数图象关于y轴对称；

③当x=0时，函数有最小值为-1；

④该函数图象不经过第三象限.

(2)①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；

②若关于x的方程2x+c=[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取

值范围是；

【详解】(1)画出图象，根据图象可知，

①当工.0时，y随x的增大而增大，故错误；

②该函数图象关于y轴不对称，故错误；

③当x=0时，函数有最小值为—1,正确：

④该函数图象不经过第三象限，正确；

故答案为：③④.

(2)①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象,

②-关于x的方程2x+c=］幻有两个互不相等的实数根,

.••可以看成是丫=［幻和y=2x+c有两个交点.

-y=2x+c是一次函数，与y轴的交点为c,

.•.当c>l时，满足两个交点的条件.

若将y=2x+c向下平移与图像有两个交点，则4-1.

，方程为2X+C=A：2一1,即x2-2x-(l+c)=0.

.•.△=4+4(1+C)>0,

/.c>-2»

/.~2vG,-1•

故答案为：c>l或-2<G,-1.

(3)—<[a],2，

2

.•.当avO时，1<[^1,2,l<-a+L,2,解出一L,a<0.

当a..O时,--<[a],,2,--<a2-1,2,解出亚<氏百.

222

.1一L,av0或~~<a>,Vs.

2

•点3⑼在函数y=x-3图象上，

:.b=a-3,

:.a=b+3，

:.-4„h<-3^--3<h„y/3-3.

2

故答案为：工,8<一3或注-3<①6-3.

2

11.(2020•邛江区校级一模)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标

轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴

的垂线，与坐标轴围成的矩形Q4P8的周长与面积相等，则户为“美好点”.

(1)在点M(2,2),N(4,4),Q(-6,3)中，是“美好点”的有.

(2)若“美好点”P(a,-3)在直线y=x+6g为常数)上，求“和匕的值；

(3)若“美好点”P恰好在抛物线y='》2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点。

使得APOQ为等腰三角形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

X

【答案】⑴N、Q(2)5=6.。=-9或a=-6,b=3(3)(12,0)或耳，0)或(3石,

0)或(-36，0)

【详解】(1)对于M点，对应图形的周长为：2x(2+2)=8,面积为2x2=4/8,故点M

不是“美好点”；

对于点N,对应图形的周长为：2x(4+4)=16,面积为4x4=16,故点N是“美好点”；

对于点Q，对应图形的周长为：2x(6+3)=18,面积为6x3=18,故点。是“美好点”；

故答案为：N、Q：

(2)对于2点，对应图形的周长为2x(|q|+3)=2|a|+6,面积为3|。|,

丁点P是“美好点”，

，2|a|X>=3|a|,解得：a=±6,

将点P的坐标代入直线的表达式得：—3=4+6,则〃=一3-〃，

故。=一9或3,

故s=6,。=—9或a=—6,。=3;

(3)存在，理由：

设点P的坐标为。4"),n=—m2(m>0,n>0),

12

由题意得：2%+2〃=〃7〃，HPw+—AM2=—zn3.

1224

解得：m=6或-4(舍去)或0(舍去)，

故点P的坐标为(6,3)；

设点。的坐标为(x,0),

则PQ?=(X-6)2+32=(X-6)2+9,

PO2=36+9=45,

OQ2=x2,

当PQ=P。时，Mi](x-6)2+9=45,解得：x=0(舍去)或12；

当PQ=OQ时，同理可得：x=?；

当PO=QO时，同理可得：x=±3\/5；

综上点。的坐标为：(12,0)或("，0)或(3石，0)或(-3石，0).

12.(2020•仪征市二模)对于x轴上一点P和某一个函数图象上两点/，N,给出如下定

义：如果函数图象上存在两个点〃，N(M在N的左侧)，使得NMPN=60。，那么称&WPN

为“点截距三角形”，点P则被称为线段的“海安点”.

(1)若一次函数图象上有两点M(0,6)、N(3石，3),在点0(0,0),Eg0),F(2百，

0)中，线段MN的“海安点”有；

(2)若直线y=fcv+b分别与y轴、x轴分别交于点M、N,以P(-l,0)为“海安点”的点

截距三角形恰好是一个直角三角形，求此直线的解析式.

(3)若点M是抛物线y=Y-2蛆+〃+m-1的顶点，MN=2>/3,若存在海安点，请求

【答案】⑴D-,F(2)y=-且x+G或y=(3)一3轰如2

'3-3

:.AD=3/,AN=3,

tanZNDA=—,

3

.•.ZMQ4=30°,

:.ZMDN=6O°,

.••点。线段MN的“海安点

MF2=DF2+MD2=36+12=48,F^2=32+(>/3)2=12,W2=(6-3)2+(373)2=36,

.•.MF?=FN?+MN：RFN=-MF,

2

:.AMNF为直角三角形且ZNMF=30。，

.\ZMFN=60°.

点尸线段MN的“海安点”.

由两点间的距离公式可知MN*ME*NE,

.•.NM臼Vw600.

故答案为：。；F.

(2)①当点M在y轴正半轴

由题意，Z/VMP=90。，NMPN=60。,

OP=1,

:.OM

:.ON=3.

扬，N(3,0)

:.MN:y=-也x+6.

3

②当点M在y轴负半轴

由题意，ZNMP=900,ZMPN=60°,

O尸=1,

OM=5

.•.ON=3.

.-.Af(0,-73),N(3,0)

:.MN:J?=—x-\/3.

3

.•.MTV的解析式为y=-与x+g或y=—.

(3)•点M是抛物线>=%2-2〃吠+〃22+加_［的顶点，

/.—1).

过点N作NH垂直于抛物线的对称轴(X=/M),垂足为H.

设HN=n,则++机一1),

HM=n2.

在RtAMNH中，应用勾股定理可得"=73,

所以NMNH=60。，

当点M在第三象限时，

以MN为弦,60。角为圆周角的圆的圆心必在抛物线的对称轴上，当该圆与x轴有交点时，

存在海安点，

当圆与x轴相切时，ZPNM=90°,ZMPN=60°,可求得此时机=一3.

同理：当抛物线顶点在第一象限，且上面圆与x轴相切时，m=2.

所以当-3蒯〃2时，圆与x轴相交，即存在海安点.

13.（2020•扬州模拟）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形A38中，AB=AD,CB=CD,问四边形A8CD是垂

美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1,四边形的对角线AC、BD交于点O,AC1BD.试证明：

AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边为边向外作正方形ACFG

和正方形连接CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）历

【详解】（1）四边形A88是垂美四边形.

证明：AB=AD,

：.点A在线段比＞的垂直平分线上，

CB=CD,

.•.点C在线段5。的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

ACA.BD,即四边形A88是垂美四边形;

(2)如图1中，

ACA.BD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=2coD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)连接CG、BE,

■.ZCAG=ZBAE=90°,

:.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即=

AG=AC

在△GAB和AC4E中，,NGAB=NCAE,

AB=AE

^GAB=ACAE(SAS),

:.ZABG=ZAEC,XZAEC+Z4ME=90°,

/.ZABG+ZAME=90P,即CE_L8G，

••・四边形CG£B是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

AC=4,AB=5,

:.BC=3,CG=4近,BE=5应,

GE2=CG2+BE2-CB2=73,

:.GE=y/73.

图3

14.(2020•高邮市一模)对于平面直角坐标系中的任意一点P(a为)，我们定义：当％为常数，

且4*0时，点户履+。)为点P的“k对应点

(1)点P(-2,l)的“3对应点”尸的坐标为；若点P的“-2对应点”P的坐标

为(-3,6),且点P的纵坐标为4,则点P的横坐标。=；

(2)若点P的“人对应点”产在第一、三象限的角平分线(原点除外)上，求人值；

(3)若点P在x轴的负半轴上，点P的“％对应点”为P点，且NOP7>=30。，求上值.

【答案】(1)(----5)；-1(2)k=\(3)k=也或-抠

3

【详解】(1)-2+-=--,-2x3+l=-5,

33

则点P(-2,l)的“3对应点”产的坐标为(-3,-5),

3

点P的“-2对应点”产的坐标为(-3,6),点P的纵坐标为4,

/.—2。+4=6,

解得，。二一1,即点P的横坐标。=—1,

故答案为：—1;

故答案为：(—―,—5)；—1；

3

(2).点产在第一、三象限的角平分线(原点除外)上，

整理得，(3+6)(1-％)=0,

由题意得，3+。工0,

.•.1—左=0,

解得，k=l；

(3).•点P在工轴的负半轴上，

，设点P的坐标为(。,0),

则点P的“后对应点”为点点的坐标为Q3),

.•.PF_Lx轴，

ZOP'P=30°,

-----=tan30°,

OP

.\a\__Jl

,,两一?’

解得，k=±\/3,

y=x-3.

(1)写出点P(2,3)的“二维线”.

(2)若点P(m,〃)的“二维线"是y=r-13,y=x+3,求小、〃的值；

(3)若反比例函数丫=-型图象上的一个点P(〃A〃)有一条“二维线”是y=-x+12,求点

X

尸(根,〃)的另一条“二维线”.

【答案】(1)y=x+l^ty=-x+5(2)帆=-8,n=-5(3)y=x-16或y=x+16

【详解】(1)设过点P(2,3)的“二维线”其中一条为y=x+*另一条为y=

将点P(2,3)分别代入得，3=2+*3=-2+4，

解得乙=1,b2=5,

所以过点P(2,3)的“二维线”为y=x+l或y=—x+5,

故答案为：y=x+l或y=-x+5；

(2)把点尸(八〃)代入y=-x-13,y=x+3得,

n=-m-13»n=m+3,

解得，m=—S,n=—5i

答：m=-8,〃=一5；

(3)把点P(m,〃)的坐标分别代入反比例函数y=-'和y=r+12得，

x

mn=—28，n=—m+12，

解得，町=14,4=—2或网=—2,〃2=14,

.•.点P(14,—2)或P(-2,14),

把尸(14,-2)代入丫=彳+6得，b=-16,

把P(-2,14)代入y=x+。得，6=16,

所以另一条“二维线”为y=x-16或y=x+16,

答：点PO,〃)的另一条"二维线"为y=x-16或y=x+16.

16.(2020・邛江区一模)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的

夹边称为邻余线.

(1)如图I,在AABC中，AB=AC,AZ)是AABC的角平分线，E,尸分别是BZ),AD

上的点.求证：四边形WF是邻余四边形.

(2)如图2,在5x4的方格纸中，A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形43EF,

使M是邻余线，E,f在格点上.

(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点连接并延长交A3于点。，延长砂

交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,QB=6,求邻余线43的长.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)20

【详解】(1)AB=AC,A£＞是AABC的角平分线,

.\ADLBC,

/.ZADB=90°,

/.ZZMB+ZDB4-900，

.•./MB与NEB4互余，

••・四边形ABE尸是邻余四边形；

(2)如图所示(答案不唯一)，

图2

四边形为所求；

(3)AB=AC,AQ是AA8C的角平分线,

BD=CD，

DE=2BE,

:.BD=CD=3BE,

:.CE=CD+DE=5BE,

NEDF=90。，点M是防的中点，

:.DM=ME,

.\ZMDE=ZMED,

AB=AC,

NB=NC,

：.\DBQ^\ECN,

QB_BD_3

7VC-CE-5?

QB=6,

.•.NC=10,

AN=CN,

:.AC=2CN=20,

/.AB=AC=20.

17.(2020•祁江区一模)我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角

坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角次0。＜啰＜180。且口。90。)，那么这两

条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的

原点，如图1,经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN,分别交工轴和y轴于点M,

N.点、M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对(x,y)

称为点尸的斜坐标，记为尸(x,y).

(1)如图2,0=45。，矩形。4BC中的一边。4在x轴上，BC与y轴交于点。，04=2,

OC=1.

①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A,B,C

②设点P(x,y)在经过。、8两点的直线上，则y与x之间满足的关系为一

③设点Q(x,y)在经过A、。两点的直线上，则y与x之间满足的关系为.

(2)若0=120。，O为坐标原点.

①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长。A=2g,求圆M的半径及圆心M

的斜坐标.

②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(2后，26),若圆上恰有两个点到y轴的距离为1,则

【答案】⑴①(2,0),(1,夜)，(-l,V2)®y=V2x③y=6x,y=-孝x+夜(2)①2

例(竽，半)②2<r<4

【详解】(1)①如图2-1中，作BE/iOD交OA于■E,B//OD交x轴于F.

：.BD=OE=\,OD=CF=BE=五,

，A(2,0),BQG,C(-l,扬，

故答案为(2,0),(1.72),(-1,72).

②如图2-2中，作BE//OD交OA于E,作尸M//OD交04于M.

OD//BE,OD//PM,

:.BE//PM,

.BEOE

~PM~~OM

...—1——,

yx

/.y=\[2x.

③如图2-3中，作QM//Q4交OD于M.

故答案为y=&x,y=-号x+O.

(2)①如图3中，作MF_LQ4丁/，作仞V//y轴交。4于N.

JI

0=120。，OM_Ly轴，

:.ZMOA=30°,

MF1OA,OA=2yf3,

.-.OF=FA=y/3,

；.FM=\,OM=2FM=2,

.•.圆M的半径为2,

-MN//y轴，

/.MNLOM,

:.MN=—,ON=2MN=—,

33

.T用

②如图4中，连接OM,作MK〃x轴交y轴于K,作MNLOK于N交_M于E、F.

MKHx^,(o=120°,

.-.ZMKO=60°,

MK=OK=2拒,

.•.&0KO是等边三角形，

.-.MN=3,

当m=1时，MF=3-1=2,

当EV=1时，ME=3+1=4,

观察图象可知当一”的半径r的取值范围为2<r<4.

故答案为2<r<4.

18.(2020•扬州模拟)对于平面直角坐标系X。)，中的动点P和图形N,给出如下定义：如

果。为图形N上一个动点，P,Q两点间距离的最大值为d”，P,Q两点间距离的最小

值为,我们把dmix+dmin的值叫点尸和图形N间的“和距离”，记作d(P,N).

(1)如图1,正方形的中心为点O,4(3,3).

①点O到线段他的“和距离”d(O,AB)=；

②设该正方形与y轴交于点E和点P在线段川上，d(P,ABCD)=7,求点P的坐标.

(2)如图2,在(1)的条件下，过C