湖北省恩施高级中学、十堰一中、十堰二中等2025届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析_第1页
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文档简介

湖北省恩施高级中学、十堰一中、十堰二中等2025届高二上数学期末质量检测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是()A. B.C. D.2.下列函数中,以为最小正周期,且在上单调递减的为()A. B.C. D.3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了n位同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在(单位:元)内,其中支出在(单位:元)内的同学有67人,其频率分布直方图如图所示,则n的值为()A.100 B.120C.130 D.3904.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为()A.1 B.2C.4 D.85.若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆,且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切.设椭圆的方程为,则下列满足题意的方程为()A. B.C. D.6.如图,在三棱锥中,平面ABC,,,,则点A到平面PBC的距离为()A.1 B.C. D.7.已知等差数列的公差,记该数列的前项和为,则的最大值为()A.66 B.72C.132 D.1988.直线与直线交于点Q,m是实数,O为坐标原点,则的最大值是()A.2 B.C. D.49.对任意实数k,直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.与k有关10.若方程表示双曲线,则此双曲线的虚轴长等于()A. B.C. D.11.已知空间向量,,若,则实数的值是()A. B.0C.1 D.212.已知命题:抛物线的焦点坐标为;命题:等轴双曲线的离心率为,则下列命题是真命题的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线:()的焦点到准线的距离为4,过点的直线与抛物线交于,两点,若,则______14.双曲线的左顶点为,虚轴的一个端点为,右焦点到直线的距离为,则双曲线的离心率为__________.15.设双曲线的焦点为,点为上一点,,则为_____.16.若x,y满足约束条件,则的最大值为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线的准线方程是,直线与抛物线相交于M、N两点(1)求抛物线的方程;(2)求弦长;(3)设O为坐标原点,证明:18.(12分)如图,已知四边形中,,,,且,求四边形的面积19.(12分)已知点为椭圆C的右焦点,P为椭圆上一点,且(O为坐标原点),.(1)求椭圆C的标准方程;(2)经过点的直线l与椭圆C交于A,B两点,求弦的取值范围.20.(12分)在棱长为的正方体中,、分别为线段、的中点.(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;(2)求直线到平面的距离.21.(12分)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围22.(10分)如图所示在多面体中,平面,四边形是正方形,,,,.(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意得当时,,根据题意作出函数的部分图象,再结合图象即可求出答案【详解】解:当时,,又,∴当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,且;又,则函数图象每往右平移两个单位,纵坐标变为原来的倍,作出其大致图象得,当时,由得,或,由图可知,若对任意,都有,则,故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象变换,考查数形结合思想,属于中档题2、B【解析】A.利用正切函数的性质判断;B.作出的图象判断;C.作出的图象判断;D.作出的图象判断.【详解】A.是以为最小正周期,在上单调递增,故错误;B.如图所示:,由图象知:函数是以为最小正周期,在上单调递减,故正确;C.如图所示:,由图象知:是以为最小正周期,在上单调递增,故错误;D.如图所示:,由图象知:是以为最小正周期,在上单调递增,故错误;故选:B3、A【解析】根据小矩形的面积之和,算出位于10~30的2组数的频率之和为0.33,从而得到位于30~50的数据的频率之和为1-0.33=0.67,再由频率计算公式即可算出样本容量的值.【详解】位于10~20、20~30的小矩形的面积分别为位于10~20、20~30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10~30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30~50数据的频率之和为1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人,即位于30~50的频数为67,∴根据频率计算公式,可得解之得.故选:A4、C【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件,列出关于与的方程组,通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为,则,,联立,解得.故选:C.5、A【解析】由椭圆与矩形ABCD的四边都相切得到再逐项判断即可.【详解】由于椭圆与矩形ABCD的四边都相切,所以矩形两边长分别为,由矩形面积为48,得,对于选项B,D由于,不符合条件,不正确.对于选项A,,满足题意.对于选项C,不正确.故选:A.6、A【解析】设点A到平面PBC的距离为,根据等体积法求解即可.【详解】因为平面ABC,所以,因为,,所以又,,所以,所以,设点A到平面PBC的距离为,则,即,,故选:A7、A【解析】根据等差数列的公差,求得其通项公式求解.【详解】因为等差数列的公差,所以,则,所以,由,得,所以或12时,该数列的前项和取得最大值,最大值为,故选:A8、B【解析】求出两直线的交点坐标,结合两点间的距离公式得到,进而可以求出结果.【详解】因为与的交点坐标为所以,当时,,所以的最大值是,故选:B.9、A【解析】判断直线恒过定点,可知定点在圆内,即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知,即该圆的圆心坐标为,半径为,由可知,则该直线恒过定点,将点代入圆的方程可得,则点在圆内,则直线与圆的位置关系为相交.故选:.10、B【解析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为,由方程表示双曲线,可得,所以,,所以虚轴长为,故选:B.11、C【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为,所以,因此有.故选:C12、D【解析】求出的焦点坐标,及等轴双曲线的离心率,判断出为假命题,q为真命题,进而判断出答案.【详解】抛物线的焦点坐标为,故命题为假命题;命题:等轴双曲线中,,所以离心率为,故命题q为真命题,所以为真命题,其他选项均为假命题.故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、15【解析】易得抛物线方程为,根据,求得点P的坐标,进而得到直线l的方程,与抛物线方程联立,再利用抛物线定义求解.【详解】解:因为抛物线的焦点到准线的距离为4,所以,则抛物线:,设点的坐标为,的坐标为,因为,所以,则,则,所以直线的方程为,代入抛物线方程可得,故,则,所以故答案为:1514、【解析】根据双曲线左顶点和虚轴端点的定义,结合点到直线距离公式、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】不妨设在纵轴的正半轴上,由双曲线的标准方程可知:,右焦点的坐标为,直线的方程为:,因为右焦点到直线的距离为,所以有,即双曲线的离心率为,故答案为:15、【解析】将方程化为双曲线的标准方程,再利用双曲线的定义进行求解.【详解】将化为,所以,,由双曲线的定义,得:,即,所以或(舍)故答案为:.16、3【解析】根据题意,画出可行域,找出最优解,即可求解.【详解】根据题意,不等式组所表示的可行域如图阴影部分,由图易知,取最大值的最优解为,故.故答案为:3三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2);(3)详见解析.【解析】(1)根据抛物线的准线方程求解;(2)由直线方程与抛物线方程联立,利用弦长公式求解;(3)结合韦达定理,利用数量积运算证明;【小问1详解】解:因为抛物线的准线方程是,所以,解得,所以抛物线的方程是;【小问2详解】由,得,设,则,所以;【小问3详解】因为,,,所以,即.18、.【解析】在中由余弦定理可得,在中,由余弦定理可得,再利用四边形的面积,结合三角形面积公式可得答案.【详解】在中,由,,,可得在中,由,,,可得又,故.所以四边形的面积=【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,考查了三角形面积公式的应用,属于中档题.19、(1)(2)【解析】(1)利用椭圆定义求得椭圆的即可解决;(2)经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况,分别去求弦,再去求其取值范围即可.【小问1详解】由题意得.记左焦点为,,则,,解得.由椭圆定义得:,则,所以椭圆C的方程为:.【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时,.②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为.联立椭圆与直线的方程(由于点在椭圆内,∴成立),且,,令,则,,,由得,综上所述,弦的取值范围为.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形20、(1);(2).【解析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值;(2)证明出平面,利用空间向量法可求得直线到平面的距离.【小问1详解】解:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,则、、、、,设平面的法向量为,,,由,取,可得,易知平面的一个法向量为,,因此,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【小问2详解】解:,则,所以,,因为平面,所以,平面,,所以,直线到平面的距离为.21、(1)答案见解析;(2).【解析】(1)求,分别讨论不同范围下的正负,分别求单调性;(2)由(1)所求的单调性,结合,分别求出的范围再求并集即可.【详解】解:(1)由已知定义域为,当,即时,恒成立,则在上单调递增;当,即时,(舍)或,所以在上单调递减,在上单调递增.所以时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,若对任意的恒成立,只需,而恒成立,所以成立;当时,若,即,则在上单调递增,又,所以成立;若,则在上单调递减,在上单调递增,又,所以,,不满足对任意的恒成立.

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