2024-2025学年八年级下册北师大版第一次月考数学质量检测试卷（附答案）

2024-2025学年八年级下学期北师大版第一次月考数学质量检测试卷一、选择题1．若x＞y，则下列式子错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．﹣2x＜﹣2y D．x2．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm24．不等式组3x−1＞−42x≤x+2A． B． C． D．5．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①当x＜3时，y1＞0；②当x＜3时，y2＞0；③当x＞3时，y1＜y2中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（）A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45°7．若不等式组a−x＞0x+1＞0无解，则aA．a≤﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣18．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则△PMN的周长是（）A．14 B．15 C．16 D．179．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折10．如图，等边△ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，EM+CM的最小值为（）A．65 B．63 C．47 D．6二、填空题11．不等式4x﹣1≤2x+1的非负整数解是．12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，如果AC＝4，则BE＝．13．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为．14．若点P是△ABC角平分线的交点，且S△ABC＝30，C△ABC＝30，则点P到边AB的距离是．15．已知关于x的不等式组x＞2a−32x≥3(x−2)+5有且仅有三个整数解，则a的取值范围是16．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，则阴影部分的面积（即△ADF与△BDE的面积和）等于．17．解下列不等式：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5；（2）7−x318．解不等式组：x−3(x−2)＜8119．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与DB相交于点O．求证：OB＝OC．20．某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；（2）该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？21．已知关于x的方程3x﹣a＝4．（1）若该方程的解满足x＞﹣2，求a的取值范围；（2）若该方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整数解，求a的值．22．连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1＝kx+b，直线BE解析式记作y2＝mx+t．求：（1）直线AB的解析式△BCF的面积；（2）当x时，kx+b＞mx+t；当x时，kx+b＜mx+t；当x时，kx+b＝mx+t；（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，求H的坐标．23．已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．24．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）若AE＝1时，求AP的长；（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．25．如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线AC分别与x轴、直线y＝x交于点D、E，（1）当0＜θ＜45°时，如图2，试求证CD2+AE2＝DE2；（2）当0＜θ＜45°时，如图3，AB边与直线y＝x交于点M，BC边与x轴交于N，则△BMN周长为；（3）当正方形OABC旋转到图3位置时，若CN＝2，则AM＝；（4）当θ＝0时，直线y＝x有一动点P，当点P的坐标为时，AP+CP+OP有最小值为．答案一、选择题题号12345678910答案BDADCDACBD二、填空题11．不等式4x﹣1≤2x+1的非负整数解是0，1．解：移项得：4x﹣2x≤1+1，合并得：2x≤2，解得：x≤1，则不等式的非负整数解为0，1．12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，如果AC＝4，则BE＝8．解：连接CE，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE＝BE，∠EDB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC＝15°，∴∠AEC＝30°，∴CE＝2AC＝8，∴BE＝8．故8．13．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为﹣2．解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，∴m−2≠0|m|−1=1解得m＝﹣2．故﹣2．14．若点P是△ABC角平分线的交点，且S△ABC＝30，C△ABC＝30，则点P到边AB的距离是2．解：过点P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵P是三角形三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵S△ABC＝30，C△ABC＝30，∴点P到边AB的距离=2×30故2．15．已知关于x的不等式组x＞2a−32x≥3(x−2)+5有且仅有三个整数解，则a的取值范围是12≤解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，∵不等式组有且仅有三个整数解，∴此不等式组的整数解为1、0、﹣1，又x＞2a﹣3，∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得：12≤故12≤16．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，则阴影部分的面积（即△ADF与△BDE的面积和）等于9．解：∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DF⊥DE，BC⊥DE，∴DF∥BC，∴∠FDA＝∠B，∵∠AFD＝∠DEB＝90°，∴△ADF∽△DBE，∵AD＝3，BD＝6，∴AFDE∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，∴DF＝DE设AF＝x，则DF＝DE＝2x，BE＝2DF＝4x，由勾股定理可得AF2+DF2＝AD2，即x2+4x2＝9，解得x=3∴AF=355，DF=655，∴S阴影＝S△ADF+S△BDE=1故答案为9．三、解答题17．解下列不等式：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5；（2）7−x3解：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5，去括号得：﹣2x+4＞﹣3x+5，移项合并同类项得x＞1；（2）7−x3去分母得：2（7﹣x）≤3（x+2）+6，去括号得：14﹣2x≤3x+6+6，移项合并同类项得：﹣5x≤﹣2，解得：x≥218．解不等式组：x−3(x−2)＜81解：x−3(x−2)＜8①1解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜2．∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．19．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与DB相交于点O．求证：OB＝OC．证明：在△ABO和△DCO中，∠AOB=∠DOC∠A=∠D=90°∴△ABO≌△DCO（AAS），∴OB＝OC．20．某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；（2）该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？解：（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意得：2x+y=2203x+2y=360解得：x=80y=60答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品（70﹣a）件，根据题意得：80a+60（70﹣a）≤4650，解得：a≤22.5，∵a为正整数，∴甲商品最多购入22件．21．已知关于x的方程3x﹣a＝4．（1）若该方程的解满足x＞﹣2，求a的取值范围；（2）若该方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整数解，求a的值．解：（1）解方程3x﹣a＝4，得x=a+4∵该方程的解满足x＞﹣2，∴a+43解得a＞﹣10；（2）解不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4，得x≤−1∴该不等式的最大的整数解是x＝﹣1．∵该方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整数解，∴3×（﹣1）﹣a＝4，解得a＝﹣7．22．连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1＝kx+b，直线BE解析式记作y2＝mx+t．求：（1）直线AB的解析式△BCF的面积；（2）当x＞2时，kx+b＞mx+t；当x＜2时，kx+b＜mx+t；当x＝2时，kx+b＝mx+t；（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，求H的坐标．解：（1）观察函数图象可知：点C（﹣4，0），点D（0，2），点B（2，3），将C、D点坐标代入直线AB的解析式中，得0=−4k+b2=b解得：k=1∴直线AB的解析式为y1=12将点B（2，3），E（3，1）代入到直线BE的解析式中，得3=2m+t1=3m+t解得：m=−2t=7∴直线BE的解析式为y2＝﹣2x+7．令y2＝0，则有﹣2x+7＝0，解得x=7即点F的坐标为（72∴CF=72−∴△BCF的面积S=12×3CF=（2）结合函数图象可知：当x＞2时，kx+b＞mx+t；当x＜2时，kx+b＜mx+t；当x＝2时，kx+b＝mx+t．故＞2；＜2；＝2．（3）设点H的坐标为（n，0）．∵点O（0，0），点B（2，3），∴OB=(2−0)2+(3−0)2=13△OBH为等腰三角形分三种情况：①当OB＝OH时，即13=|n|，解得：n＝±13此时点H的坐标为（−13，0）或（13②当OB＝BH时，即13=(n−2)2+(0−3此时点H的坐标为（4，0）；③当OH＝BH时，即|n|=(n−2)2+(0−3此时点H的坐标为（134综上可知：点H的坐标为（−13，0）、（13，0）、（4，0）或（1323．已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y（1）求m的取值范围；（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．解：（1）解原方程组得：x=m−3y=−2m−4∵x≤0，y＜0，∴m−3≤0−2m−4＜0解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜−1∴﹣2＜m＜−1∴m＝﹣1．24．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）若AE＝1时，求AP的长；（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵PE⊥AB，∴∠APE＝30°，∵AE＝1，∠APE＝30°，PE⊥AB，∴AP＝2AE＝2；（2）解：过P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形，∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，在△DBQ和△DFP中，∠DQB=∠DPF∠QDB=∠PDF∴△DBQ≌△DFP，∴BD＝DF，∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30°，∴BD＝DF＝FA=13∴AP＝2；（3）解：由（2）知BD＝DF，∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，∴AE＝EF，∴DE＝DF+EF=12BF+12FA=25．如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线AC分别与x轴、直线y＝x交于点D、E，（1）当0＜θ＜45°时，如图2，试求证CD2+AE2＝DE2；（2）当0＜θ＜45°时，如图3，AB边与直线y＝x交于点M，BC边与x轴交于N，则△BMN周长为8；（3）当正方形OABC旋转到图3位置时，若CN＝2，则AM＝43（4）当θ＝0时，直线y＝x有一动点P，当点P的坐标为（2−233，2−233）时，AP+CP+OP有最小值为（1）证明：如图2中，将△OAE绕点O顺时针旋转90°，得到△OCT，连接DT．则AE＝CT，∠OAE＝∠OCT，∠EOT＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCT＝45°，∴∠DCT