高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题02圆锥曲线中的中点弦问题(点差法+联立法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题02圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、相交弦中点（点差法）直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，2、点差法设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、典型题型题型一：求直线方程1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.3．（2024上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．4．（2024·全国·高二专题练习）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．题型二：求离心率1．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为．4．（2024上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是.题型三：求弦中点的轨迹方程1．（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆.(1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程；(2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；(2)求线段的中点的轨迹方程.题型四：求曲线方程1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程.3．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为．(1)求抛物线C的方程；(2)求实数m的值．题型五：处理存在性问题1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点．(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．3．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线C的方程；(2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？题型六：确定参数的取值范围1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点．(1)求实数a的取值范围；(2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程；(3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.3．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上两点、，若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.题型七：定值问题1．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点为坐标原点，线段的中点恰好为，点到直线的距离为．(1)求的方程；(2)设点在直线上，过作的垂线交椭圆于两点．记与面积分别为，求的值．2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.3．（2022上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点为，且离心率.(1)求椭圆E的方程；(2)过点的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长.三、专项训练一、单选题1．（2024上·山西太原·高二统考期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024上·湖南·高二校联考期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（

）A． B． C． D．7．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．8．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是二、解答题9．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求：(1)的值；(2)弦长的值．13．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．14．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.(1)求椭圆C的方程；(2)点M满足，求M的轨迹方程.15．（2023下·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知双曲线.(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.专题02圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、相交弦中点（点差法）直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点，，2、点差法设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：二、典型题型题型一：求直线方程1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【详解】设点、，则，因为，两式作差得，即，即，所以，因此直线的方程为，即.故选：D.2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据题意求出即可；（2）利用点差法求解即可.【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，所以，双曲线的渐近线方程为，即，因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，解得，所以，所以双曲线的方程为；（2）设、，则，则，所以，化简得，因为线段的中点为，所以，，所以，所以，即直线的斜率为，经检验符合题意，所以直线的斜率为.3．（2024上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C的方程.（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点的距离到直线的距离相等．又点不在直线上，所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线C的方程为．（2）设，，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，经检验，直线与曲线相交，满足题意，所以直线l的方程为.4．（2024·全国·高二专题练习）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．【答案】【分析】由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.【详解】解：设，，则，，两式相减得．∵P为线段AB的中点，∴，．∴，即所求直线l的斜率为1，∴直线l的方程为，即．经检验符合题意．题型二：求离心率1．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解.【详解】如图，取线段的中点为，连接，

因为，所以为中点，又为中点，所以，直线的斜率与的斜率乘积为，所以．设，则，两式相减可得，整理得，即，所以，所以，则．故选：B．2．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得.【详解】设，，线段AB的中点为E，由，，两式相减可得，即，又由，，则，设直线的方程为，（），可得，，又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得，所以，所以，即，得，故选：A3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为．【答案】/【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率.【详解】令，则，可得，所以，又为线段的中点，且直线斜率为，所以，则.故答案为：4．（2024上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是.【答案】【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围.【详解】设，则，两式相减得，若，则的中点在轴上，不合要求，若，则的中点在轴上，不合要求，所以，因为为的中点，所以，故，因为的渐近线方程为，要想直线与双曲线：交于A、B两点，则，即，解得，所以离心率.故答案为：【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.题型三：求弦中点的轨迹方程1．（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆.(1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程；(2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）用“点差法”求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，从而可得结论；（2）设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，利用点差法分析求解.【详解】（1）因为，所以在椭圆的内部，则所求弦必然存在，设这条弦与椭圆交于点，由中点坐标公式知，把代入，则，作差整理得，可得，所以这条弦所在的直线方程为，即.（2）由题意可知：过点引椭圆的割线的斜率存在且不为0，设割线方程为，联立方程，消去得，则，解得，设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，根据椭圆性质可知，则，令，则，可得，因为在上单调递减，在上单调递增，且，可知，则，所以，则，可得，把代入，则，两式相减得，整理得，即，整理得.【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤；（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；(2)求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.【详解】（1）抛物线的焦点，，直线的方程为，设，联立，得，，所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，直线的方程为，设，联立，得，，所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，所以，直线的方程为，化简为直线的方程为；（2）设直线的方程为，设，，联立，得，得，所以中点的横坐标为，纵坐标为，即，将换成得，得的中点的坐标为，即，得，题型四：求曲线方程1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，利用点差法求解即可．【详解】设，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，代入上式可得：＝0，化为．又，，联立解得．∴椭圆的方程为：．故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G：，斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为，试写出椭圆G的一个标准方程.【答案】（答案不唯一）【分析】设点，，利用点差法可得答案.【详解】设点，，则，两个等式作差得，整理可得，因为线段AB的中点为，可得，又，所以，所以，故可设，此时椭圆G的方程为.故答案为：.（答案不唯一）

3．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线C于两点，线段的中点为为坐标原点，且直线的斜率为．(1)求抛物线C的方程；(2)求实数m的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，进而可得抛物线方程，（2）联立直线与抛物线方程，得韦达定理，由中点坐标公式和斜率公式即可求解.【详解】（1）抛物线C的焦点为，，即．∴抛物线C的方程为．（2）由消去得，此时，．．点M坐标为．，解得或．

题型五：处理存在性问题1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点．(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程；（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；（3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论.【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点，则，解得，所以，双曲线的方程为.（2）解：设直线交双曲线于点、，联立可得，因为直线与双曲线左支有两个交点，则，解得，故实数的取值范围是.（3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设点、，因为为线段的中点，则，将点、的坐标代入双曲线的方程可得，作差可得，即，即，所以，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，联立可得，则，因此，不存在满足题设条件的直线.2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．【答案】(1)；(2)不能，证明见解析；【分析】（1）由渐近线方程求得一个关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；（2）设出交点坐标，若是线段的中点，利用点差法求出直线l方程，再联直线与双曲线查看是否有解，即可判断.【详解】（1）由题双曲线()经过点，其渐近线方程为，所以，，解得，所以双曲线C的方程为：.（2）当直线l垂直x轴时，直线l的方程为，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，所以，两式作差得，即，若是线段的中点，则，则，所以直线l的斜率，则直线l的方程为，将直线l与双曲线联立，得，，方程无解，所以这样的直线不存在，即点P不能是线段的中点.3．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线C的方程；(2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？【答案】(1)(2)能，理由见解析【分析】（1）画出图形，由圆的外切、圆心坐标、圆的半径以及双曲线的定义即可得解.（2）画出图形，中点弦问题用到中点坐标公式以及点差法来做稍微方便一些.【详解】（1）如图所示：

由题意，的圆心分别为，，且动圆与两定圆分别外切与两点，所以，，解得，所以圆心的轨迹是以为焦点，为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点，所以曲线C的方程为，（且）.（2）如图所示：

过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能为线段的为中点，理由如下：由题意设点在双曲线上，且点为弦的中点，所以，又因为，所以，即，，存在过点且斜率为的直线：，即，且联立，消去并整理得，,两根均小于，满足题意，综上所述：存在过点且斜率为的直线交曲线C于A，B两点，且点Q为线段的中点.题型六：确定参数的取值范围1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点．(1)求实数a的取值范围；(2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程；(3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由椭圆及圆的性质可得，则，结合即可求得结果；（2）由题可知，又，求解即可；（3）设线段的中点为，由结合点差法求得的坐标，根据点P在椭圆内部得的范围，又点P在直线上，代入得的关系式，从而得实数的取值范围.【详解】（1）椭圆C的短半轴，圆的圆心为原点，半径为，∵椭圆C与圆有公共点，∴，，则，又，从而解得，所以a的取值范围为.

（2）由题可知，又，联立解得，，所以椭圆的方程为.（3）设线段的中点为,∵，∴①，设，，则，，两式作差得，即，即，即②，联立①②解得，即，因为点P在椭圆内部，则，代入点P坐标化简得，又点P在直线上，代入得，因此，实数的取值范围是．

2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.【答案】【分析】联立直线和椭圆的方程，由判别式大于0可得，以及可得根与系数的关系，根据，可得，结合根与系数的关系化简可得，解不等式即可求得答案.【详解】由题设，联立，得，由题设知，即①，设，则，因为为弦的中点，∴，从而，又由题意知,，∴，∵，则，即②，把②代入①得，解得，又，故的取值范围是.3．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上两点、，若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，结合以及点差法求得直线的斜率的取值范围.【详解】（1）由于，，关于轴对称，所以经过，两点，故不过，所以在上.由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设其方程为，由，得，由，得，设，，则，，所以，因为，所以，得，所以，设直线的斜率为，因为，所以，化简得，所以，所以，解得或，所以直线的斜率的取值范围为题型七：定值问题1．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点为坐标原点，线段的中点恰好为，点到直线的距离为．(1)求的方程；(2)设点在直线上，过作的垂线交椭圆于两点．记与面积分别为，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据题意可得，又点到直线的距离为列式计算求得；（2）设线段的中点，利用点差法可得，三点共线，即直线过线段的中点，得解.【详解】（1）设，则，由线段的中点恰好为，得，所以，整理得，由得直线方程为，所以点到直线的距离为，所以，椭圆的方程为．（2）设，线段的中点，则．由（1）知，直线的斜率，当时，直线的斜率．因为点在椭圆上，所以，两式相减，整理得，又，所以，直线的斜率为，因为直线的斜率为，所以三点共线，即直线过线段的中点，当时，直线也过线段的中点，所以到直线的距离相等，即与等底等高．所以．【点睛】思路点睛：设，线段的中点，利用点差法可得，三点共线，即线段的中点在直线上，得解.2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可.（2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可.【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：.所以的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以.3．（2022上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点为，且离心率.(1)求椭圆E的方程；(2)过点的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦点坐标求出c，再根据离心率求出a，可得，可得椭圆方程；（2）设出A，B坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用平方差公式分解因式，转化为斜率与中点坐标的关系式，可求出弦所在直线斜率和直线的方程，将直线方程代入椭圆方程，求出,坐标，求出弦长.【详解】（1）由题意椭圆的焦点在轴上，，又，，，所以椭圆的方程为.（2）由题知直线的斜率不为0，设，，代入椭圆方程得，作差得，即，可得，所以直线的斜率，故直线的方程为即.联立，消去得，解得或，所以，,所以弦长.三、专项训练一、单选题1．（2024上·山西太原·高二统考期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，又，两式相减得，整理得，所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.故选：D.2．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解.【详解】如图，取线段的中点为，连接，

因为，所以为中点，又为中点，所以，直线的斜率与的斜率乘积为，所以．设，则，两式相减可得，整理得，即，所以，所以，则．故选：B．3．（2024上·湖南·高二校联考期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得.【详解】设，，则，两式作差得，，当时，则中点坐标为焦点，不满足题意；当时，得．设线段中点，因为坐标，且过焦点，所以，则的斜率，解得．故选：A.4．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为的直线分别与轴，轴交于两点，且与椭圆，在第一象限交于两点，且，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，根据题意得到，即，设直线的方程为，得，得，进而得，再根据求解即得.【详解】设，，线段AB的中点为E，由，，两式相减可得，即，又由，，则，设直线的方程为，（），可得，，又，所以线段AB的中点为E也就是线段MN的中点，得，所以，所以，即，得，故选：A5．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率.【详解】如图所示，因为，所以，所以，设，则，两式相减得，则，因为直线，为线段中点，，所以，，代入上式得，则，所以椭圆的离心率.故选：D.6．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.【详解】设的中点，所以，易知，由点差法可得，若，此时，与双曲线联立，即与双曲线只有一个交点，故A错误；若，则此时，与双曲线联立，即与双曲线有两个交点，故B正确；若，则此时，与双曲线联立，即与双曲线有一个交点，故C错误；若，则此时，与双曲线联立，显然无解，即与双曲线没有交点，故D错误；故选：B7．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.【详解】设该弦为，设，则有，两式相减，得，因为双曲线C的一条弦的中点为，所以，因此由，即这条弦所在直线的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以该弦存在，故选：D8．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解.【详解】设，因为中点的横坐标为，则，可得，又由，两式相减得到，可得，可得，解得或，联立方程组，整理得，由，解得，所以.故选：B.二、解答题9．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求：(1)的值；(2)弦长的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用点差法构造关于的方程，即可求得的值；（2）联立直线方程与椭圆方程，得出和的值，利用弦长公式代入计算即可．【详解】（1）设，中点为，因为在直线上，所以，由，得：，所以，即，解得．（2）由（1）得，直线方程为，由，得，则，，所以．10．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；(2)求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.【详解】（1）抛物线的焦点，，直线的方程为，设，联立，得，，所