2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为(

)A.60° B.120° C.30° D.60°或120°2.若直线l不垂直于平面α，那么平面α内(

)A.不存在与l垂直的直线 B.只存在一条与l垂直的直线

C.存在无数条直线与l垂直 D.以上都不对3.若直线l与平面α所成角为π3，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是(

)A.[0,23π] B.[π3,4.正方体ABCD−A1B1A.24对 B.30对 C.32对 D.64对二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.直线与平面所成角的范围是______．6.“平面α经过直线AB”用集合符号语言可表示为______．7.若两直线a、b与面α所成的角相等，则a与b的位置关系是______．8.已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为______．9.在空间四边形P−ABC的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有______对.10.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，则点A到平面BCD的距离为______．11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E角的大小为______．12.如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，∠PBA=θ1，∠PBC=θ2，∠ABC=θ3.则角θ13.已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=8，若EC⊥平面ABC，且EC=4，则E到斜边AB的距离为______．14.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是______.(写出所有正确说法的序号)

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN/​/平面DEC；

②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN//AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A16.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是______个．三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(Ⅱ18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，AD//BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．

(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求证：PD⊥平面PBC；

(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//DC，DC⊥AC．

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)若PC=AB=AC=1，求PB与平面PAC成角的正弦值；

(3)设点E为AB的中点，过点C，E的平面与棱PB交于点F，且PA//平面CEF，求PFPB的值．

参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.[0,π6.AB⊂平面α

7.平行或相交或异面

8.60°

9.3

10.611.arctan12.cosθ13.414.①②④

15.②③④

16.32

17.解：(Ⅰ)如图(a)，取AA1的中点M，连接EM，BM，

因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，

所以EM/​/AD．

又在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥面ABB1A1，

从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，

∠EBM是直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=22+22+12=3，

于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=EMBE=23，

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23．

(Ⅱ)在棱C1D1上存在点F，使B1F/​/平面A1BE，

事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，

因A1D1/​/B1C1/​/BC，且A1D1=BC，

所以四边形A18.(Ⅰ)解：由已知AD//BC，

故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，

因为AD⊥平面PDC，PD在平面PDC上，

所以AD⊥PD，

在Rt△PDA中，由已知，得AP=AD2+PD2=5，

故cos∠DAP=ADAP=55，

所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为55；

(Ⅱ)证明：因为AD⊥平面PDC，PD在平面PDC上，

所以AD⊥PD，

又因为BC/​/AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC均在平面PBC上，

所以PD⊥平面PBC；

(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，如图，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，

所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，

由于AD//BC，DF/​/AB，

所以四边形ABFD为平行四边形，

故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC−BF=2，

因为AD⊥平面PDC，DC在平面PDC上，

∴AD⊥DC，又AD//BC，

故BC⊥DC，19.(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PC⊥CD，

又DC⊥AC，AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC，

所以DC⊥平面PAC．

(2)解：因为AB//DC，DC⊥平面P