数学教材习题点拨：7定积分的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨教材问题解答（思考）本题还有其他解法吗？如果有，请写出你的解法，并比较一下这些解法．答：解法一:所求阴影部分的面积为.解法二：以y为积分变量所求面积为eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(4，0）（4＋y)dy－eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（4,0)eq\f（y2,2)dy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（4y＋\f(y2，2）))|eq\o\al（4，0）－eq\f(1，6)y3｜eq\o\al（4,0)＝eq\f（40,3).练习1解：(1）eq\f(32,3）；(2)1.练习21．解：s＝eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（5,3）(2t＋3)dt＝（t2＋3t)eq\a\vs4\al（｜)eq\o\al(5,3)＝22（m）．2．解：W＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(4，0）（3x＋4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，2）x2＋4x））eq\a\vs4\al（｜）eq\o\al（4，0）＝40(J)．习题1.7A组1．解：(1）2;(2)eq\f（9，2).2．解：W＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(b，a）keq\f(q,r2)dr＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－k\f(q，r)）)eq\a\vs4\al(|)eq\o\al（b,a）＝keq\f（q，a）－keq\f(q,b）.3．解：令v（t）＝0，即40－10t＝0,解得t＝4。即第4s时物体达到最大高度．最大高度为h＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（4,0)(40－10t）dt＝（40t－5t2）eq\a\vs4\al(|）eq\o\al（4,0)＝80（m)．4．解：设ts后两物体相遇,则eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（t，0）（3t2＋1)dt＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（t,0)10tdt＋5,解之，得t＝5.即A，B两物体5s后相遇．此时，物体A离出发地的距离为eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（5，0)（3t2＋1）dt＝（t3＋t）|eq\o\al(5,0）＝130（m)．5．解：由F＝kl，得10＝0.01k．解之，得k＝1000.所做的功为W＝eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（0.1，0）1000ldl＝500l2eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(0.1,0)＝5(J)．6．解：(1）令v（t)＝5－t＋eq\f(55，1＋t)＝0,解之,得t＝10。因此，火车经过10s后完全停止．(2）s＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（10，0）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（5－t＋\f（55，1＋t））)dt＝[5t－eq\f（1，2)t2＋55ln(1＋t）］eq\a\vs4\al(|）eq\o\al(10,0）＝55ln11（m)．B组1．解:(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（a,－a)eq\r（a2－x2）dx表示圆x2＋y2＝a2与x轴所围成的上半圆的面积，因此eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（a，－a）eq\r(a2－x2）dx＝eq\f(πa2,2).(2）eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(1，0）（eq\r（1－x－12)－x）dx表示圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝x所围成的图形（如图所示)的面积,因此eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1，0）（eq\r(1－x－12）－x)dx＝eq\f（π×12,4）－eq\f（1，2)×1×1＝eq\f（π，4）－eq\f（1，2）。2．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为y＝ax2，则h＝a×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（b,2）））2,所以a＝eq\f（4h,b2）。从而抛物线的方程为y＝eq\f(4h，b2）x2。于是,抛物线的拱形面积。3．解:如图所示．解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x2＋2,,y＝3x))得曲线y＝x2＋2与曲线y＝3x交点的横坐标x1＝1，x2＝2。于是所求面积为eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1，0)［（x2＋2)－3x］dx－eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（2，1)[3x－（x2＋2)]dx＝eq\f(2，3)。4．证明:W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（R＋h，R