2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.4数列的应用学案含解析新人教B版选择性必修第三册1

PAGE5.4数列的应用关键实力·素养形成类型一等差数列在实际问题中的应用【典例】1.(2024·驻马店高二检测)朱世杰是中国历史上最宏大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多八人.其大意为“官府接连派遣1624人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从其次天起先每天派出的人数比前一天多8人”,则在该问题中的1624人全部派遣到位须要的天数为()A.12 B.14 C.16 D.182.(2024·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最终一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ()A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块3.(2024·烟台高二检测)《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目:“今有五人分五钱,且五人所得钱按序等次差,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”在此题中,随意两人所得的最大差值为多少?【解析】1.选B.依据题意设每天派出的人数组成数列{an},分析可得数列{an}是首项a1=64,公差d=8的等差数列,设1624人全部派遣到位须要的天数为n,则64n+QUOTE×8=1624,由n为正整数,解得n=14.2.选C.设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列QUOTE,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且QUOTE-QUOTE=n2d,由题意得qn2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27×9+QUOTE×9=3402(块).3.设每人分到的钱数构成等差数列{an},公差d>0,由题意可得a1+a2+a3=a4+a5,S5=5,故3a1+3d=2a1+7d,5a1+10d=5,解可得a1=QUOTE,d=QUOTE,故随意两人所得的最大差值4d=QUOTE.【类题·通】关于等差数列在实际问题中的应用首先留意递增(递减)方式,一般依据肯定数值递增(递减)的为等差数列;其次留意分析数列的首项、公差、项数,是求和还是求项.类型二等比数列在实际问题中的应用【典例】已知衡量病毒传播实力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是,在自然状况下(没有外力介入,同时全部人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数.它的简洁计算公式是RO=1+确诊病例增长率×系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).依据统计,确诊病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数5天,依据以上RO数据计算:(1)设第n轮的感染人数为an,求出an的表达式,并说明数列QUOTE的特征;(2)若甲得这种传染病,则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为多少?【思维·引】(1)首先依据公式计算出RO,再依据疾病传染的方式求an,并推断数列的特征.(2)依据数列学问求和.【解析】(1)由题意知,RO=1+40%×5=3,第n轮的感染人数为an=3×3n-1=3n,可以看出,QUOTE是等比数列.(2)5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为:3+32+33+34+35=QUOTE=363(人).【类题·通】关于等比数列在实际问题中的应用(1)首先留意增长(衰减)方式,一般依据肯定比例倍增(倍减)的为等比数列;其次留意分析数列的首项、公比、项数,是求和还是求项.(2)等额本息还款法中的数量关系设贷款时资金A0为现值,利率为r,分m期还清,每一期所还钱数为x,则x=QUOTE.【习练·破】刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6000元的手机,约定从下月5日起先,每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,1年还清;其中月利率为0.5%,则小明每月还款数a=________元(精确到个位).(参考数据:1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067)

【解析】由题意,小明第1次还款a元后,还欠本金及利息为6000(1+0.5%)-a元;第2次还款a元后,还欠本金及利息为6000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;第3次还款a元后,还欠本金及利息为6000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;……则第12次还款a元后,还欠本金及利息为6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-…-a(1+0.5%)-a元;此时已全部还清,则6000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-…-a(1+0.5%)-a=0,即6000(1+0.5%)12=QUOTE,QUOTE≈QUOTE≈514元.答案:514类型三与数列有关的综合性问题【典例】(2024·杨浦区高二检测)某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列{In},{In}表示第n周的虫害的严峻程度,虫害指数越大,严峻程度越高,为了治理虫害,须要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能实行以下两个策略之一;策略A:环境整治,“虫害指数”数列满意QUOTE=1.02In-0.20;策略B:杀灭害虫,“虫害指数“数列满意QUOTE=1.08In-0.46;(1)设第一周的虫害指数I1∈[1,8],用哪一个策略将使其次周的虫害的严峻程度更小?(2)设第一周的虫害指数I1=3,假如每周都采纳最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?【解析】(1)策略A:QUOTE=1.02In-0.20,策略B:QUOTE=1.08In-0.46,当1.02I1-0.20=1.08I1-0.46时,可得I1=QUOTE,当I1=QUOTE时,两者相等,当I1∈QUOTE时,策略B的I2更小;当I1∈(QUOTE,8]时,策略A的I2更小.(2)当I1=3时,选择策略B,当In=0时,则-QUOTE=QUOTE·1.08n-1,可得QUOTE=1.08n-1,所以n=QUOTE+1≈11,所以虫害的危机最快在第11周解除.【类题·通】关于数列在实际问题中的综合应用首先留意分清涉及的数列是等差数列还是等比数列,其次是留意解题时要结合数列中通项公式、求和公式、递推关系、单调性等学问.【习练·破】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,安排每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的2倍时,所用时间是10年.(1)求森林面积的年增长率;(2)到今年为止,森林面积为原来的QUOTE倍,则该地已经植树造林多少年?(3)为使森林面积至少达到6a亩,至少须要植树造林多少年?(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】(1)设森林面积的年增长率为x,则a(1+x)10=2a,解得x=QUOTE-1,所以森林面积的年增长率为:QUOTE-1;(2)设已经植树造林n年,则由题意可知:a(1+x)n=QUOTEa,所以a×QUOTE=QUOTEa,所以QUOTE=QUOTE,所以n=5,所以已经植树造林5年.(3)设为使森林面积至少达到6a亩,须要植树造林m年,则a(1+x)m≥6a,所以QUOTE≥6,所以QUOTE≥log26=QUOTE=QUOTE,所以m≥10×QUOTE≈26,故为使森林面积至少达到6a亩,至少须要植树造林26年.课堂检测·素养达标1.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2024年,为响应党中心提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召,当地政府主动行动,安排实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年削减10%.已知2024年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里,则2025年该地区的荒漠化土地面积(单位:万平方公里)为()A.7×0.94 7×0.95C.7×0.96 7×0.97【解析】选C.设从2024年后的第n年的沙漠化土地面积为y,则y=7×(1-10%)n,故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96.2.(教材练习改编)《九章算术》有如下问题:“今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?意思是:“现在有一根金棰,长五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤,问各尺依次重多少?”假设金棰由粗到细各尺质量依次成等比数列,则从粗端起先的第三尺的质量是 ()A.2QUOTE斤 B.2QUOTE斤 C.2QUOTE斤 D.3斤【解析】选A.由题意知,金棰由粗到细各尺质量依次成等比数列,在这个等比数列{an}中,首项a1=4,则a5=2,所以a3=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.即从粗端起先的第三尺的质量是2QUOTE斤.3.2024年度,国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元,国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元.从2024年起先,若企业甲的科研经费每年增加x%,安排用3年时间超过企业乙的年投入量(假设企业乙每年的科研经费投入量不变).请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系:________.(所列的不等式无需化简)

【解析】由题意可得:115(1+x%)3>156.答案:115(1+x%)3>1564.假设一个人的日薪按这样的方式增长,第一