2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案含解析北师大版选修2-1

PAGE3全称量词与存在量词授课提示：对应学生用书第6页一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题二、特称命题的否定特称命题：存在x0∈M，p(x0)成立，它的否定：随意x∈M，p(x)不成立，特称命题的否定是全称命题．三、全称命题的否定全称命题：随意x∈M，p(x)成立，它的否定：存在x0∈M，p(x0)不成立，全称命题的否定是特称命题．[疑难提示]省略量词的命题的否定对含有量词的命题，简单知道它是全称命题还是特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“全部的”或“随意”，它的否定是特称命题．[想一想]1．同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．[练一练]2．下列命题中全称命题的个数是()①随意一个自然数都是正整数；②全部的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D3．已知命题p：对随意x∈R，都有cosx≤1，则命题p的否定为()A．存在x0∈R，使得cosx0≤1B．对随意x∈R，都有cosx>1C．存在x0∈R，使得cosx0>1D．存在x0∈R，使得cosx0≥1解析：依据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第6页探究一推断全称命题与特称命题及其真假[典例1]试推断以下命题是全称命题还是特称命题，并推断其真假：(1)对随意的x∈R，x2＋2>0；(2)对随意的x∈N，x4≥1；(3)存在x∈Z，x3<1；(4)对随意的x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)存在x∈R，x2＋1＝0.[解析](1)命题中含有全称量词“随意的”，故该命题为全称命题．对随意的x∈R，x2≥0，所以x2＋2≥2，所以x2＋2>0，所以该命题是真命题．(2)命题中含有全称量词“随意的”，故该命题为全称命题．因为0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以该命题是假命题．(3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以该命题是真命题．(4)命题中含有全称量词“随意的”，故该命题为全称命题．因为对于x∈R，只有当x＝2或x＝1时满意x2－3x＋2＝0，所以该命题为假命题．(5)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为不存在一个实数x，使x2＋1＝0成立，所以该命题为假命题．1．要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要留意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要依据命题涉及的意义去推断．2．要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成马上可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成马上可；否则，这个特称命题就是假命题．1．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并推断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对随意实数x，ax>0.(2)对随意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2.(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．(4)存在T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sinx|.解析：(1)是全称命题．∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)是全称命题．存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是相互平行的，∴命题(3)是假命题．(4)是特称命题．y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(4)是真命题．2．推断下列命题的真假，并说明理由：(1)对随意x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ成立；(3)对随意x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3成立．解析：(1)解法一当x∈R时，x2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞eq\f(1,2)，所以该命题是真命题．解法二x2－x＋1>eq\f(1,2)⇔x2－x＋eq\f(1,2)>0，由于Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>eq\f(1,2)的解集是R，所以该命题是真命题．(2)当α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)时，cos(α－β)＝cos(eq\f(π,4)－eq\f(π,2))＝cos(－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，cosα－cosβ＝coseq\f(π,4)－coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(2),2)－0＝eq\f(\r(2),2)，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题．(4)当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3，所以该命题是真命题．探究二全称命题与特称命题的否定[典例2]写出下面命题的否定，并推断其真假．(1)p：随意x∈R，都有|x|＝x；(2)p：随意x∈R，都有x3>x2；(3)p：至少有一个二次函数没有零点．[解析](1)p是全称命题．其否定为：存在x0∈R，使得|x0|≠x0；如x0＝－1，则|－1|＝1≠－1，所以其否定是真命题．(2)p是全称命题．其否定为：存在x0∈R，使得xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)；如x0＝－1时，(－1)3＝－1≤(－1)2，所以其否定是真命题．(3)p是特称命题．其否定为：全部二次函数都有零点；如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，无零点，所以其否定为假命题．一般而言，全称命题的否定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题．因此，在叙述命题的否定时，要留意量词间的转换．同时，还要留意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质．如“三角形有外接圆”的本质应为“全部三角形都有外接圆”，因此，其否定为“存在一个三角形没有外接圆”．3．推断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x>0成立；(4)对随意m∈Z，都有m2－3>0成立．解析：(1)命题省略了全称量词“全部”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：全部整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对随意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“随意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．4．推断下列命题的真假，写出这些命题的否定并推断其真假．(1)每条直线在y轴上都有一个截距；(2)平面内，存在一个三角形，它的内角和小于180°；(3)存在一个四边形没有外接圆．解析：(1)命题为假命题；命题的否定为：“并非每条直线在y轴上都有一个截距”或“存在一条直线在y轴上没有截距”，其命题的否定为真命题．(2)命题为假命题；命题的否定为：“平面内，不存在一个三角形，它的内角和小于180°”或“对随意三角形，它的内角和都不小于180°”，其命题的否定为真命题．(3)命题为真命题；命题的否定为：“不存在一个四边形没有外接圆”或“对随意一个四边形，都有外接圆”，其命题的否定为假命题．探究三全称命题、特称命题的应用eq\x(\a\al(全称命题、,特称命题,的应用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(命题的否定与否命题的区分),—\x(求变量的取值范围),—\x(求参数的取值范围)))5．写出下列命题的否定与否命题．(1)正数a的平方根不等于零；(2)平行四边形的对边相等．解析：(1)命题的否定：正数a的平方根等于零；否命题：若a不是正数，则a的平方根等于零．(2)命题的否定：平行四边形的对边不相等；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则它的对边不相等．6．已知p(x)为真命题，求实数x的取值范围．(1)p(x)：log2x2－1>0；(2)p(x)：4x－2x＋1－3<0.解析：(1)由log2x2－1>0，得x2>2，解得x∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)由4x－2x＋1－3<0，得(2x－3)(2x＋1)<0.因为2x＋1>0，所以2x<3，解得x∈(－∞，log23)．7．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)若命题“对于随意x∈R，不等式m＋f(x)>0恒成立”为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x使不等式m－f(x)>0成立”为真命题，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于随意x∈R恒成立，则m>－4，故实数m的取值范围是(－4，＋∞)．(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，得f(x)min＝4，所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．因否定不全面致误[典例]写出命题p：“存在x∈[0,1]，eq\f(xx－2,x－1)<0”的否定，并推断p与其否定的真假．[解析]p的否