高考数学导数知识题型全归纳专题02导数试题归纳和方法总结(原卷版+解析)

更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识题型全归纳专题02导数试题归纳和方法总结1.导数几何意义--切线方程例：1．若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（）A．e B． C． D．2．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（）A． B． C． D．3．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（）A．0 B． C．3 D．或3变式：1．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（）A． B．1 C． D．2．函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．若曲线的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（）A． B．C．或 D．或1.1导数几何意义--根据切线求参数例：1．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（）A． B． C．1 D．22．若直线与函数的图象相切于点，则（）A． B． C． D．变式：1．若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（）A．-1 B． C． D．12．设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（）A．1 B．2 C． D．2.导数研究函数--单调区间：例：1．已知函数，记，，，则（）A． B． C． D．2．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．，3．已知函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．变式：1．若，则（）A． B．C． D．2．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．3．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．2.1导数研究函数--根据单调性求参范围：例：1．若函数定义域上单调递减，则实数的最小值为（）A．0 B． C．1 D．22．已知函数，对任意且，都有，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．3．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．变式：1．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．2．已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．2.2导数研究函数--含参单调性讨论；例：1．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；2．已知函数．（1）讨论函数的单调性；变式：1.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；2．已知函数.（1）讨论函数的单调性；2.3导数研究函数--构造函数和同构异构：例：1．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（）A． B．C． D．3．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．变式：1．设函数是奇函数（）的导函数，当时，，且，则使得成立的的取值范围（）A． B．C． D．2．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为（）A． B． C． D．3．定义在上的函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．4．已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C．0 D．1更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识题型全归纳专题02导数试题归纳和方法总结1.导数几何意义--切线方程例：1．若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（）A．e B． C． D．【答案】D【分析】先根据条件求出的值，然后由导数的几何意义可得答案.【详解】函数的图象经过点,所以，解得，即函数，又，得曲线在点处切线的斜率.故选：D2．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，设直线与曲线相切的切点，而，则，得，即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，设直线与曲线相切的切点P，有，由得，从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.故选：D【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.3．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（）A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【分析】先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解.【详解】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或，故选：D变式：1．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】直接利用导数求切线斜率即可.【详解】设切线的斜率为，由，则，则有.故选：D.2．函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，由导函数的几何意义和直线垂直的条件可得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项.【详解】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在和处的切线互相垂直，则，即①，因为a的值一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以有或，，所以方程①变为，所以，故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查导函数的几何意义，关键在于根据直线垂直的条件将问题转化为方程有解，再由根的判别式和余弦函数的值域得以解决.3．若曲线的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】设出曲线的切点，利用导数求出切线的斜率，求出切线方程，再把点(8，3)的坐标代入切线方程中，解方程即可求出切线的斜率.【详解】由题意，可设切点坐标为(x0，)，由，得y′＝，切线斜率k＝，由点斜式可得切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(8，3)，所以3－＝(8－x0)，整理得x0－6＋8＝0，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.故选：C.【点睛】本题考查了已知曲线切线过定点求切线斜率问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.1.1导数几何意义--根据切线求参数例：1．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】求导，进而得到，然后根据在点处的切线与直线平行求解.【详解】因为，所以，所以，因为在点处的切线与直线平行，所以，解得，故选：A2．若直线与函数的图象相切于点，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由切线的斜率计算可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案.【详解】由可得．由已知可得，，即，可得，两边取自然对数可得，所以.故选：B．【点睛】关键点睛：曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.变式：1．若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（）A．-1 B． C． D．1【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出函数在切点出的切线方程，进而得到，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得到答案.【详解】由，则切点为求导，则切线斜率，切线方程为，即则令，则，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；故当时，函数取得最小值，即的最小值为故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．2．设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】求的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的方程，即可求解.【详解】的导数为，所以，即切线斜率为1由切线与直线垂直，可得，解得，故选：B．2.导数研究函数--单调区间：例：1．已知函数，记，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据函数是偶函数判断，然后比较得到，最后根据函数在上单调递增比较三个函数值的大小即可.【详解】因为，，由对数的单调性可知：，所以，且，因为函数，所以函数为偶函数，从而，因为时，，所以，则当时，，所以在上单调递增；则当时，，所以在上单调递增；因为，所以，即；故选：D.【点睛】对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与真数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．当底数与真数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．2．函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．，【答案】D【分析】先求解出的解析式，然后根据的取值正负判断出的单调递增区间.【详解】因为，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；所以的单调递增区间为：和，故选：D.3．已知函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后结合奇偶性和单调性解不等式．【详解】，是偶函数，，设，则，所以是增函数，时，，即时，，所以在上，是增函数．又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式．在确定单调性需利用导数的知识，为了确定的正负，还需进行二次求导．变式：1．若，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合题意可得，进而得到，由此即可得解.【详解】依题意，，令，则，所以函数在上单调递增；又，得，又，则，又函数在上单调递增，则，即，所以，选项A正确，B不正确；又无法确定与的关系，故CD不正确；故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键.2．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可解得结果.【详解】由题意得，函数的定义域为，．令，得，解得，故函数的单调递减区间为．故选：D3．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，得到在上单调递增，结合函数的单调性，即可比较，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，当时，在上单调递增，因为，.所以，所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小，其中解答中熟练导数与函数的单调性间的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.1导数研究函数--根据单调性求参范围：例：1．若函数定义域上单调递减，则实数的最小值为（）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据单调性可得在上恒成立，即，构造，求导数分析单调性求最大值即可得解.【详解】由函数定义域上单调递减，得在上恒成立，即，令，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；所以，所以.故选：C.2．已知函数，对任意且，都有，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明在上单调递减，然后利用，分离参数法，求出实数a的取值范围.【详解】∵对任意且，都有，∴若时，有，∴在上，单调递减.则有，可得4恒成立令则，∴在上，，单减；在上，，单增.∴，所以即实数a的取值范围是故选：A.【点睛】函数单调性的判断方法：（1）定义法；（2）图像法；（3）等价转化法；（4）复合函数法；（5）导数法.3．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的减区间，只需，，解不等式求出a的范围.【详解】解：，当，即时，有，即在上函数是减函数，从而，，即且，解得．所以实数a的取值范围是．故选：A.【点睛】函数的单调性与导数的关系：已知函数在某个区间内可导，（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；变式：1．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．2．已知函数在上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的导函数，函数在(2,3)上是减函数，得导函数恒小于0，分离得，结合二次函数的性质求解函数的最小值，推出结果即可.【详解】解：由，得到，因为在上是减函数，所以在上恒成立，所以，∵，∴，∴，所以，则a的取值范围是故选：B.【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函数的性质解决实际问题，是一道中档题.2.2导数研究函数--含参单调性讨论；例：1．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域为，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）利用参变量分离法可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，且.①当时，，若，则；若，则.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；②当时，，令，可得（舍）或.若，则；若，则.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；③当时，.（i）若，即当时，对任意的，，此时，函数在上为增函数；（ii）若，即当时，由可得或，且.由，可得或；由，可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，函数在上为增函数；2．已知函数．（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求导，分和，分别令，求解；（2）将不等式，转化为，令，用导数法证明即可．【详解】解：（1）由题意得的定义域是，，当时，恒成立，在单调递增，当时，令，解得，令，解得：，在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；变式：1.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对参数进行分类讨论，根据导函数的正负判断函数的单调性；（2）由题意可得函数在上单调递增，进而求得，所以函数，再利用分析法得到问题等价于证明，构造函数，求导判断单调性证明的最小值大于等于0即可得证.【详解】（1），，当时，，故在上单调递增，当时，令，得，从而在上单调递减，在上单调递增.2．已知函数.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增.（2）证明见解析.【分析】（1）求导得，结合定义域对进行分类讨论可得结果；（2）由（1）知当时有最大值为，所以若证，只需证，即证.令，，转化为证明.【详解】（1）显然的定义域为，因为，所以，若，则当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；若，则当时恒成立，故函数在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增.2.3导数研究函数--构造函数和同构异构：例：1．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．例：1．D【分析】从所求解集的不等式入手，令，则原不等式等价转化为，从而构造函数，结合已知条件利用单调性即可求解.【详解】解：令，则，所以不等式等价转化为不等式，即构造函数，则，由题意，，所以为R上的增函数，又，所以，所以，解得，即，所以，故选：D.【点睛】关键点点睛：令，将原不等式等价转化为，从而构造函数.2．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是定义在上的奇函数，得为奇函数，由，得为上的增函数，再由得，利用单调性可得答案.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，有，所以为奇函数，且对于正实数，有，即，所以，所以在是增函数，又因为为奇函数，所以为上的增函数，由得，所以，即，解得或，故选：D.【点睛】考查了函数的性质，解题的关键点是利用奇偶性、单调性解不等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.3．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数，，当时，，单调递增，所以，.故选：A变式：1．设函数是奇函数（）的导函数，当时，，且，则使得成立的的取值范围（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，求导并结合已知得到在上为递减函数，进一步推出时，，时，，据此可求出使得成立的的取值范围.【详解】令，则，所以在上为递减函数，所以当时，，又，所以，当时，，又