高考数学导数知识题型全归纳专题05导数研究恒成立问题：单变量的恒成立与存在问题(原卷版+解析)

更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识题型全归纳专题05导数研究恒成立问题：单变量的恒成立与存在问题例：1．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A． B．C． D．2．已知函数是增函数，且恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．变式：1．设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．已知函数（，），对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A． B． C． D．5.1双变量有关的恒成立与存在性问题例：1．若对于任意的，都有，则的最大值为（）A．1 B． C． D．2．已知函数，，若对任意的，存在唯一的[，2]，使得，则实数的取值范围是（）A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]变式：1．设函数，，若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知函数，，若，t>0，则的最大值为（）A． B． C． D．更多精品资料请关注微信公众号：超级高中生导数章节知识题型全归纳专题05导数研究恒成立问题：单变量的恒成立与存在问题例：1．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先将不等式转化为，又时，，问题转化为在上递减，所以当时，恒成立，最后参变分离得到参数的最大值.【详解】∵在时恒成立，而时，，∴在上递减，∴当时，恒成立，即时，恒成立，故，∴实数的最大值为3，故选B.【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2．已知函数是增函数，且恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意设，求导，研究函数的单调性，同时要分类讨论，并使最小值满足题意，再解不等式即可.【详解】依题意，恒成立，即恒成立，令，则，又因为是增函数，所以，即.当时，时，，时，.所以在区间上单调递减，在上单调递增.所以，所以，解得，又，因此满足题意.当时，时，单调递增，而时，，所以不满足题意.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对函数单调性的讨论，二是“边界”值的分析.3．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，构造函数，求导判断出单调性，代入最值可得实数的范围．【详解】由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，设，，∵，∴，∴在上恒为增函数，∴，∴，故选：B.变式：1．设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，利用导数可得单调性，判断出满足条件的整数为1，即可得出求解.【详解】令，，由仅存在一个整数，使得，可得仅存在一个整数，使得，，令，可得；令，可得，在单调递减，在单调递增，，所以满足条件的整数为1，由可得为减函数，所以，即，解得.故选：B.【点睛】关键点睛：解题的关键是构造函数，，利用导数判断单调性，得出.2．已知函数（，），对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数求导数，利用导数判断函数在，上的单调性，把不等式恒成立化为，再解含有的不等式，从而求出的取值范围．【详解】解：结合题意，显然，，由，，，得，，，故，在，递增，故（1），，对任意，，，不等式恒成立，即，，即，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题．3．设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为，再令，得到，求其最大值即可.【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，则在上恒成立，令，所以，若，则，在递增，当时，，不等式不成立，故，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，令，则，所以，当时，当时，，所以当时，取得最小值，所以的最小值是故选：D【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.5.1双变量有关的恒成立与存在性问题例：1．若对于任意的，都有，则的最大值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值．【详解】解：，，，，，函数在定义域上单调递增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故选：C．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是将原式变形为，从而构造函数且在定义域上单调递增.2．已知函数，，若对任意的，存在唯一的[，2]，使得，则实数的取值范围是（）A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]【答案】B【分析】求得在（，2]的值域A,以及函数的导数,判断单调性,求在的值域B,由题意可得B包含于A,可得的不等式,解不等式可得所求范围．【详解】解：在[，2]的值域为，但在（,2]递减,此时∈[﹣4，）．的导数为，可得在递减，递增，则在的最小值为，最大值为，即值域为[0，e]．对任意的，存在唯一的[，2]，使得可得，可得，解得．故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性,最值问题,考查导数的应用转化思想,属于难题.变式：1．设函数，，若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】转化为，求出在上的最小值与在上的最大值代入可解得结果.【详解】因为在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，因为，所以，当时，，所以在上单调递增，所以的最大值为，因为对任意，不等式恒成立，所以，因为，所以，解得.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．2．已知函数，，若，t>0，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数的