2025届高考数学一轮知能训练第二章函数导数及其应用第7讲对数式与对数函数含解析

PAGE5-第7讲对数式与对数函数1．(2024年吉林模拟)不等式log3(2x－1)≤2的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C．(－∞，5]D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))2．(2024年天津)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b3．(2024年安徽肥东中学)若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log0.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a4．(2024年浙江)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(b－1)<0B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0D．(b－1)(b－a)>05．(2024年北京)依据有关资料，围棋状态空间困难度的上限M约为3361，而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A．1033B．1053C．1073D．10936．(2024年广西名校模拟)已知奇函数f(x)满意f(x＋1)＝－f(x)，当0<x<1时，f(x)＝2x，则(log29)的值为()A.eq\f(16,9)B．－eq\f(16,9)C．9D．－97．(2024年天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b8．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)10．(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg－x，x<0，,ex－1，x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，则a的全部可能值为()A．1B．－1C．10D．－1011．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．12．(2024年上海)已知a∈R，函数f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a)).(1)当a＝5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；(3)设a>0，若对随意t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．

第7讲对数式与对数函数1．B解析：∵log3(2x－1)≤2可化为log3(2x－1)≤log39，∴0<2x－1≤9，∴eq\f(1,2)<x≤5.∴原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)).故选B.2．A解析：∵log24＝2<log27<3＝log28，log33＝1<log38<2＝log39,0.30.2<0.30＝1，∴c<b<a.故选A.3．C解析：∵a＝log2.10.6<0，b＝2.10.6>1，c＝log0.50.6<1，∴b>c>a.故选C.4．D解析：logab>logaa＝1，当a>1时，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0.∴(b－1)(b－a)>0；当0<a<1时，0<b<a<1.∴b－1<0，b－a<0.∴(b－1)(b－a)>0.故选D.5．D解析：设eq\f(M,N)＝x＝eq\f(3361,1080)，两边取对数，得lgx＝lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361×lg3－80≈93.28，∴x≈1093.28，即eq\f(M,N)最接近1093.故选D.6．B解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的周期函数．又3<log29<4，且f(x)为奇函数，∴f(log29)＝f(log29－4)＝－f(4－log29)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(16,9)))又当0<x<1时，f(x)＝2x且0<log2eq\f(16,9)<1，∴f(log29)＝－2＝－eq\f(16,9)，故选B.7．C解析：∵f(x)是奇函数且在R上是增函数，a＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log2\f(1,5)))＝f(log25)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，20.8<2<log24.1<log25，∴c<b<a.故选C.8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<eq\f(8,3)；若0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，得8－2a<0，a>4.a不存在．综上可知，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).9．C解析：作出f(x)的大致图象如图D120.图D120由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a<b<c，则－lga＝lgb＝－eq\f(1,2)c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10<c<12，∴abc∈(10,12)．10．AD11．解：(1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3>0的解集为R，则Δ＝4a2－12<0，解得－eq\r(3)<a<eq\r(3).∴实数a的取值范围为(－eq\r(3)，eq\r(3))．(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，∴只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－eq\r(3)或a≥eq\r(3).∴实数a的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3>0对x∈[－1，＋∞)恒成立．∵y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，∴当a<－1时，u(x)min＝u(－1)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,2a＋4>0，))解得－2<a<－1；当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－eq\r(3)<a<eq\r(3)，∴－1≤a<eq\r(3).综上可知，实数a的取值范围为(－2，eq\r(3))．(4)∵y＝f(x)≤－1，∴u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)．又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.12．解：(1)由log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋5))>0，得eq\f(1,x)＋5>1.解得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)).(2)eq\f(1,x)＋a＝(a－4)x＋2a－5，即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0.当a＝4时，x＝－1，经检验，满意题意．当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满意题意．当a≠3，且a≠4时，x1＝eq\f(1,a－4)，x2＝－1，x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋a>0，,\f(1,x2)＋a≤0，))即无解；x2是原方程的解当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋a>0，,\f(1,x1)＋a≤0，))即1<a≤2.于是满意题意的a∈(1,2]．综上所述，a的取值范围为(1,2]∪{3,4}．(3)当0<x1<x2时，eq\f(1,x1)＋a>eq\f(1,x2)＋a，log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋a))>log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋a))，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．f(t)－f(t＋1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋a))－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t＋1)＋a))≤1，即at2＋(a＋1)t－1≥0，对随意t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\a