2.2二次函数的图象与性质（分层练习）

第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级阶段练习）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．【详解】解：函数平移的规律：左加右减上加下减可得，，故选B．【点睛】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得．2．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级阶段练习）已知点，是抛物线上的点，则（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴是直线，写出A点关于对称轴的对称点，利用增减性判断解题．【详解】抛物线的对称轴是直线，A点关于对称轴的对称点为，，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，，．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练求得抛物线的对称轴是解题的关键．3．（湖北省咸宁市部分学校20222023学年九年级上学期第二次月考数学试题）将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为：，故选C．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（2020·山东·德州市第五中学九年级期中）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是(

)．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【详解】抛物线的对称轴为直线，∵，∴当时，随的增大而减少，∵关于直线的对称点是，且，∴．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．5．（2020·山东·德州市第五中学九年级期中）二次函数的最小值为（

）．A． B． C． D．5【答案】C【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可．【详解】解：，当时，二次函数取最小值，最小值为．故选C．【点睛】本题考查求二次函数的最值．通过配方将一般式变形为顶点式是解题的关键．6．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校九年级期中）如图，点为反比例函数上的一点，轴于点，为轴上一点．如果的面积为2，则二次函数的顶点在第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】先根据反比例函数比例系数的几何意义求出m的值，然后求出二次函数的顶点坐标即可得到答案．【详解】解：∵点为反比例函数上的一点，轴于点，为轴上一点，的面积为2，∴，又∵反比例函数图象经过第一象限，∴，∴二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为，∴二次函数的顶点在第四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，二次函数图象的性质，判断点所在的象限，正确求出m的值是解题的关键．二、填空题7．（2022·湖北·武汉海淀外国语实验学校九年级阶段练习）已知二次函数的图象上有点，，，则、、的大小关系为________．（用大于号连接）【答案】【分析】根据函数的增减性结合图象分析，比较函数值的大小即可．【详解】解：∵二次函数中，∴函数图像开口向上，对称轴为，∵中，∴最小，∵点关于对称轴的对称点的横坐标是，∴，∵在对称轴右侧，随的增大而增大，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，比较函数值的大小，根据函数的增减性结合图象分析是解答本题的关键．8．（2022·浙江·南海实验学校九年级期中）已知关于的二次函数，其中为实数，当时，的最小值为4，满足条件的的值为____________．【答案】0或##或0【分析】由题可知，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案．【详解】解：原式变形为，∴对称轴为∵二次函数当时，y有最小值为4，∴①当时，当时，y有最小值为4∴，解得：或，②当时，当，y有最小值为4，解得：（舍去），（舍去），③当时，当，y有最小值为4，整理得，∵∴方程无解，满足条件的的值为0或．故答案为：0或．【点睛】本题考查二次函数的图像与x取值范围，以及函数的增减性，正确理解二次函数图像的性质是本题解题的关键．9．（2022·四川广元·九年级期中）将抛物线绕原点旋转后，所得新抛物线的解析式为________．【答案】【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，再根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数得出所求新抛物线的解析式．【详解】解：，∴抛物线的顶点坐标为，∴所得新抛物线的顶点坐标为，∵旋转后抛物线的开口方向相反，开口大小相同，所以旋转后的抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：抛物线绕某点旋转得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变．10．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）已知当时，二次函数的y值随x的增大而增大，则m的取值范围是__________【答案】【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，值随x的增大而增大，即可得解．【详解】解：二次函数，∵，对称轴为：，∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，值随x的增大而增大，∵当时，二次函数的y值随x的增大而增大，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．三、解答题11．（2022·湖北襄阳·九年级期中）如图，已知抛物线经过点．(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；(2)当时，直接写出y的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标；(2)【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；（2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围．【详解】（1）解：将代入，得：解得：此抛物线的顶点坐标为．（2）解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，，当时，y的取值范围为：．【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．12．（2022·广西百色·九年级期中）如图，用一段长为的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形的一边长为，面积为．(1)求y与x的函数关系式；(2)写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；(3)写出二次函数图象的对称轴．【答案】(1)(2)二次项系数为，一次项系数为14，常数项为0(3)【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；（2）由函数解析式可得结论；（3）由函数解析式可得结论．【详解】（1）解：依题意得，矩形的另一边长为，则，自变量x的取值范围是，∴y与x的函数关系式为；（2）由（1）中解析式知，二次项系数为，一次项系数为，常数项为；（3）对称轴为直线．【点睛】本题考查了列二次函数关系，二次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．提升篇提升篇一、填空题1．（安徽省蚌埠市20222023学年九年级上学期数学阶段性诊断数学试题）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是___________【答案】【分析】先求出抛物线的对称轴是直线，再根据当时，y随x的增大而增大，即可得到【详解】解：∵，∴二次函数的对称轴是直线，∵当时，y随x的增大而增大，且图象开口向下，∴，故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的增减性是解题的关键2．（2022·河南洛阳·九年级期中）抛物线，当时，的最小值是_____，的最大值是_____．【答案】

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，∴函数最大值为3，∵，∴若，当时，函数取最小值，将代入，得，∴的最小值为，最大值为3．故答案为：，3．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．3．（2022·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）己知抛物线，经过四点，则与的大小关系是_______．(填“>”“<”或“=”)【答案】【分析】根据两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，两点与对称轴的远近，判断与的大小关系．【详解】解：∵抛物线过两点，∴抛物线的对称轴为∵，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，∵，，比较可知C点比点D离对称轴远，∴对应的纵坐标值小，即，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．4．（2022·浙江·嘉禾中学八年级阶段练习）二次函数的图像一部分如图所示，且顶点在第四象限，令，则S的取值范围是___________.【答案】##【分析】根据函数图像得出，，，由顶点在第四象限推出，可得，然后求出，进而可得答案．【详解】解：由函数图像得：；当时，；当时，；∴，即，∵顶点在第四象限，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图像和性质，求出b的取值范围是解题的关键．5．（2022·河北邯郸·九年级阶段练习）如图所示，已知抛物线，抛物线关于原点中心对称．如果抛物线的解析式为，那么抛物线的顶点坐标是___________，解析式为_______________．【答案】

【分析】根据的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后确定的开口方向及顶点坐标，即可求解．【详解】解：抛物线的解析式为∴抛物线的开口向上，顶点坐标为：∵抛物线，抛物线关于原点中心对称．∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：抛物线的解析式为故答案为：①；②．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．二、解答题6．（2022·浙江·嘉禾中学八年级阶段练习）设二次函数有最大值，求实数的值．【答案】的值为或．【分析】根据解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴为，分三种情况考虑：①对称轴在到之间，②对称轴在的左边，③对称轴在的右边，分别根据函数的最大值为列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意的a的值．【详解】解：由题意得：二次函数图象开口向下，对称轴为，①若，即，可得当时，y取最大值，此时，解得：，符合题意；②若，即，可得当时，y取最大值，此时，解得：或（不符合题意，舍去）；③若，即，可得当时，y取最大值，此时，解得：（不符合题意，舍去），综上，的值为或．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质，正确分类讨论是解答本题的关键．7．（2022·北京十八中九年级期中）在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(2)若，比较与的大小，并说明理由；(3)若对于，都有，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）分别将代入解析式求解．（3）求出点关于对称轴对称点为，根据抛物线开口向上及求解．【详解】（1）解：∵，∴抛物线顶点坐标为．（2）将代入得，将代入得，∴．（3）∵抛物线对称轴为直线，∴点关于对称轴对称点为，∵抛物线开口向上，，∴，∴，解得．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与