专题全等三角形模型三垂直与三等角（原卷版）

全等三角形模型——三垂直与三等角三垂直模型如右图已知：∠D=∠E=∠BCA=90，BC=BA；求证：△BCD≌△CAE.∵∠D+∠DCB+∠B=180°，∠BCA+∠DCB+∠ACE=180°，且∠D=∠BCA.∴∠B=∠ACE.又∵∠D=∠E，BC=BA.∴△BCD≌△CAE.常见的三垂直模型:如图，是等腰直角三角形，过直角顶点，，则下列结论正确的个数有①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2022秋•文登区期中）在中，，．（1）如图①，是过点的一条直线，且，在的同侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，是过点的一条直线，且，在的两侧，于，于．写出，，间的数量关系，并写明理由．（2020秋•通河县期末）综合与实践．积累经验（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标．拓展提升（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．（2021秋•临沂期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．（2020秋•赫山区期末）如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．（1）求证：；（2）求证：．（2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．如图，．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以为顶点，为腰在第三象限作等腰，若，求点的坐标；（2）如图②，为轴负半轴上一个动点，以为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，当点沿轴负半轴向下运动时，试问的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点坐标为，是轴负半轴上一点，以为直角边作等腰，点在轴上，，设，，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．三等角模型“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.三等角的推导过程：已知：∠A=∠B=∠CPD，AC=PB；求证：△ACP≌△BPD.∵∠A+∠APC+∠C=180°，∠CPD+∠APC+∠DPB=180°，且∠A=∠CPD.∴∠C=∠DPB.又∵∠A=∠B，AC=PB.∴△ACP≌△BPD.常见的一线三等角模型：如图，点，，在一条直线上，，，试探究，与之间的数量关系．（2022•鹿城区二模）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．（1）求证：；（2）若，，求的长．如图，，，三点都在一条直线上，且，，试探究，与之间的数量关系．（2021秋•东至县期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：；问题2：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．求的值．如图①，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：．应用：如图②，在中，，，点在边上，且，点，在线段上．，若的面积为15，求与的面积之和．如图，在等腰三角形中，，，分别为，上一点，．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求的值．（2021春•榆次区校级期末）综合与实践（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积；（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求△的面积．