第一章空间向量与立体几何夯实基础-01空间向量的线性运算

第一章空间向量与立体几何01空间向量的线性运算问题导学：平面向量的基本概念、基本运算有哪些？空间向量的基本概念？线性运算是什么？空间向量的共线定理、共面定理如何理解？知识构建知识点一空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2．直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．知识点四共面向量1．共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．三、类型归纳类型一、空间向量的基本概念类型二、空间向量的加减数乘运算类型三：空间向量线性运算综合问题类型四、空间共面向量定理四、类型剖析题型一空间向量概念【例1】下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.【跟踪训练1】下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．不相等的两个空间向量的模可能相等【答案】D【分析】根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项；【详解】对A，零向量的相反向量是本身，故A错；对B，终点构成一个球，故B错；对C，向量不能比较大小，故C错；对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确；故选：D题型二、空间向量的加减数乘运算【例2】（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．【详解】如图，连接，

是的中点，，，，．故选：．【跟踪训练21】.（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】故选：D【跟踪训练22】.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体中，等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得，，所以.故选：B【跟踪训练23】.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的加法运算得答案.【详解】连接，因为为的中点，所以，所以，故选：A.【跟踪训练24】.在三棱锥中，为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】连接，根据向量的运算法则，可得.故选：B.【跟踪训练25】.已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解.【详解】因为分别是的中点，是的中点，所以，，则.故选：D.【跟踪训练26】.（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由点M满足，所以M为中点，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点,所以，所以.故选：C题型三：空间向量线性运算综合问题【例3】.已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；(2)；(3).【答案】(1)，图见解析(2)，图见解析(3)，图见解析【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.【详解】（1），向量如图所示，

（2）；向量如图所示，

（3），设是线段的中点，则.向量如图所示，

【跟踪训练3】如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式：(1)； (2)； (3)； (4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点，所以.题型四、空间共面向量定理【例4】如图1.19，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．师生活动：欲证，，，四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式．证明：因为，所以，，，．因为四边形是平行四边形，所以．因此．由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点，从而，，，四点共面．选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法．【跟踪训练4】.因为，，，所以，所以与、共面．五、素养提升：1．（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________.【答案】0【分析】利用空间向量加减法法则，把用表示出来，即可求出结果.【详解】如图所示，因为是棱的中点，所以，则，所以，故答案为：0.2.已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为.【答案】【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解.【详解】由，得，即，又，，，四点共面，即，，共面，所以存在唯一实数对，使，所以，解得，故答案为：.3．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解.【详解】因为，所以，可化简为：，即，由于，，，四点共面，则，解得：；故选：C六、随堂检测：1．下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，则，的长度相等而方向相同或相反C．若向量，满足，则D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误.【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误；对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误；对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确.故选：D.2．在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.【详解】

如图所示，可知是的相反向量.故选：A3．在空间四边形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加减法则计算.【详解】.故选：B.4．如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为,所以.故选：B.5．如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本运算求解即可.【详解】由题意，.故选：B6．如图，平行六面体中，分别为的中点.若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法，求得，进而求得的值，即可求解.【详解】因为平行六面体中，分别为的中点，可得，又因为，可得，即.故选：A.二、多选题7．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（）A．； B．；C．； D．．【答案】ABCD【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项.【详解】对于A,；对于B，；对于C,；对于D,．故选：ABCD.8.（2024·高二课时练习）