第2章 微专题进阶课1　函数的新定义问题-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

函数的新定义问题在函数的概念与表示中，函数新定义问题是一个常考热点知识，通过函数新定义问题考查阅读理解能力，分析问题、解决问题的能力，也是复习的一个难点．概念型新定义函数问题已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，0≤x≤1，,x－1，1<x≤2.))如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2021(2)的值为()A．0 B．1C．2 D．3A解析：因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2021(2)＝f3×673＋2(2)＝f2(2)＝0.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”．例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)B．y＝x＋eq\r(x＋1)C．y＝eq\f(1,x)－log3xD．y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x＋1)))AD解析：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．y＝[x]的定义域为R，在定义域内不是单调函数，故A可以构造“同值函数”；y＝x＋eq\r(x＋1)为定义在[－1，＋∞)上的单调递增函数，故B不可以构造“同值函数”；y＝eq\f(1,x)－log3x为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，故C不可以构造“同值函数”；y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x＋1)))不是定义域上的单调函数，故D可以构造“同值函数”．故选AD．性质型新定义函数问题(2020·潍坊模拟)已知集合A0＝{x|0<x<1}．给定一个函数y＝f(x)，定义集合An＝{y|y＝f(x)，x∈An－1}．若An∩An－1＝对任意的n∈N*成立，则称该函数y＝f(x)具有性质“φ”．(1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是________.(2)给出下列函数：①y＝eq\f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝coseq\f(π,2)x＋2.其中具有性质“φ”的函数的序号是________．(1)y＝x＋1(答案不唯一)(2)①②解析：(1)对于解析式y＝x＋1，因为A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<3}，…，符合An∩An－1＝.(2)对于①，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|x＞1}，A2＝{x|0<x<1}，…，循环下去，符合An∩An－1＝；对于②，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1＜x＜2}，A2＝{x|2<x<5}，A3＝{x|5<x<26}，…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合An∩An－1＝；对于③，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|2＜x＜3}，A2＝{x|1<x<2}，A3＝{x|1<x<2}，不符合An∩An－1＝.故选①②.具有性质feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．①③C．②③D．①B解析：对于①，f(x)＝x－eq\f(1,x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x