【高效备课】人教版七(上) 3.4 实际问题与一元一次方程 第4课时 分段计费与最优方案问题 教案

【高效备课】人教版七(上)3.4实际问题与一元一次方程第4课时分段计费与最优方案问题教案主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：人教版七年级上册《数学》3.4实际问题与一元一次方程

2.教学年级和班级：七年级（1）班

3.授课时间：2023年11月15日

4.教学时数：1课时

本节课主要围绕分段计费与最优方案问题展开，通过分析实际生活中的问题，引导学生运用一元一次方程解决，培养学生解决实际问题的能力。核心素养目标1.提升学生数学建模能力，通过分析分段计费问题，培养学生运用数学语言描述实际问题的能力。

2.发展学生逻辑思维，训练其运用一元一次方程解决实际问题的策略。

3.培养学生的数据分析意识，使其能够从生活情境中提取有效信息，形成数学模型。

4.增强学生的数学应用意识，通过解决最优方案问题，激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣。重点难点及解决办法重点：

1.掌握分段计费问题的数学模型建立方法。

2.学会通过一元一次方程求解最优方案问题。

难点：

1.如何将复杂的分段计费问题转化为简单的一元一次方程。

2.在实际情境中寻找合适的变量并建立方程。

解决办法：

1.通过举例说明，让学生理解分段计费的标准和条件，引导学生逐步抽象出数学模型，从而构建一元一次方程。

2.利用生活实例，引导学生从实际问题中识别变量，并解释变量之间的数量关系，帮助学生建立方程。

3.采用小组讨论和个别指导相结合的方式，让学生在合作中思考，在交流中突破难点。

4.对学生进行个别辅导，针对不同学生的学习情况，提供个性化的解题策略和思路，帮助学生理解和掌握。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统讲解分段计费与最优方案问题的概念和方法，为学生奠定理论基础。

2.案例分析法：结合具体案例，引导学生分析问题、建立模型，培养学生的实际问题解决能力。

3.小组讨论法：组织学生进行小组合作，共同探讨问题解决方案，促进学生之间的交流和思维碰撞。

教学手段：

1.多媒体教学：使用PPT展示课程内容，通过图表和动画辅助讲解，增强学生的直观理解。

2.教学软件：利用数学建模软件，让学生动手操作，实时观察方程模型的变化，加深对一元一次方程应用的理解。

3.网络资源：引导学生利用网络资源查找相关案例，拓展知识面，提高自我学习能力。教学过程1.导入（约5分钟）

激发兴趣：以日常生活中常见的手机套餐计费问题引入，让学生思考如何选择最合适的套餐。

回顾旧知：简要回顾上一节课学习的分段函数概念，以及如何建立一元一次方程。

2.新课呈现（约20分钟）

讲解新知：详细介绍分段计费的概念，解释分段计费问题中如何确定不同区间的费用，并引入一元一次方程来解决问题。

举例说明：通过具体案例，如出租车计费、水电费计算等，展示如何根据实际情况建立一元一次方程。

互动探究：将学生分成小组，每组分析一个实际分段计费问题，讨论如何建立方程，并尝试解答。

3.巩固练习（约15分钟）

学生活动：分发练习题，让学生独立完成，题目涉及不同类型的分段计费问题，要求学生建立方程并求解。

教师指导：在学生练习过程中，巡视课堂，对有困难的学生提供个别指导，帮助学生理解和掌握解题方法。

4.应用拓展（约10分钟）

提出一个综合性的最优方案问题，如旅行中的住宿选择，要求学生运用本节课所学，分析不同方案的费用，并找出最优解。

学生以小组形式讨论，提出各自的解决方案，并分享给全班。

5.总结反馈（约5分钟）

收集学生的练习题，挑选几份具有代表性的作业进行点评，指出其中的优点和需要改进的地方。

布置作业：要求学生结合本节课所学，思考生活中的其他分段计费问题，并尝试建立方程解决。教学资源拓展1.拓展资源：

-分段计费问题在不同领域的应用案例，如电信资费、电力收费、物流运输等。

-一元一次方程在解决实际问题时的一般步骤和注意事项。

-最优方案问题的数学模型建立方法，以及如何利用一元一次方程求解。

-实际生活中的复合分段计费问题，涉及多个条件下的费用计算。

-一元一次不等式与一元一次方程的关系，以及如何将不等式应用于分段计费问题。

2.拓展建议：

-鼓励学生收集日常生活中遇到的各种分段计费实例，分析其数学模型，并尝试用一元一次方程解决。

-提议学生阅读有关数学建模的书籍，了解一元一次方程在各个领域的应用，增强数学应用意识。

-建议学生通过小组研究项目，探讨最优方案问题的多种解决方法，并对比不同方法的优缺点。

-指导学生如何利用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）解决复杂的一元一次方程问题，提高计算机应用能力。

-鼓励学生参与数学竞赛或挑战活动，如数学建模竞赛，将所学知识应用于实际问题中，提升解决复杂问题的能力。

-提供一些数学论文或文章，让学生了解一元一次方程在科学研究中的应用，拓展学术视野。

-建议学生在课后自主探索一元一次方程与其他数学分支（如几何、概率论等）之间的联系，加深对数学学科的理解。重点题型整理题型一：分段计费问题

题目：某城市出租车起步价为10元，包含3公里，超过3公里后每公里收费2元。请根据以下情况，列出相应的一元一次方程，并求解乘客需要支付的车费。

（1）乘客乘坐5公里。

（2）乘客乘坐10公里。

答案：

（1）设乘客乘坐x公里，则车费为10+2(x-3)=2x+4元。当x=5时，车费为2*5+4=14元。

（2）设乘客乘坐x公里，则车费为10+2(x-3)=2x+4元。当x=10时，车费为2*10+4=24元。

题型二：最优方案问题

题目：某工厂生产两种产品A和B，生产一个产品A需要2小时，生产一个产品B需要1小时。工厂每周最多可工作100小时。每种产品的利润分别为A产品30元，B产品20元。求工厂每周应生产多少个A产品和多少个B产品，以获得最大利润。

答案：设生产A产品x个，B产品y个，则2x+y≤100。利润函数为P=30x+20y。通过线性规划方法求解，当x=30，y=40时，利润最大，为1400元。

题型三：复合分段计费问题

题目：某电信公司提供两种手机套餐，套餐一：月租10元，包含100分钟通话，超出部分每分钟0.15元；套餐二：月租20元，包含200分钟通话，超出部分每分钟0.1元。若某用户一个月内通话时长为150分钟，请计算该用户选择哪种套餐更划算。

答案：套餐一费用为10+0.15*(150-100)=17.5元；套餐二费用为20元。因此，套餐一更划算。

题型四：实际生活中的分段计费问题

题目：某城市的水费计费标准为：月用水量不超过15吨的部分，每吨2元；超过15吨不超过30吨的部分，每吨3元；超过30吨的部分，每吨4元。某家庭一个月用水量为25吨，请计算该家庭应支付的水费。

答案：水费计算为15*2+10*3+(25-30)*4=30+30+0=60元。

题型五：分段计费与最优方案结合问题

题目：某电商平台的快递费用按照分段计费，首重10元，续重每公斤3元。小王需要寄送两个包裹，包裹A重3公斤，包裹B重5公斤。小王可以选择合并寄送或分开寄送，请计算哪种方式更划算。

答案：合并寄送费用为10+3*(3+5-1)=28元；分开寄送费用为10+3*3+10+3*5=34元。因此，合并寄送更划算。教学反思这节课通过分段计费与最优方案问题的学习，我看到了学生们在数学建模方面的进步，但也发现了一些需要改进的地方。

在导入环节，我通过手机套餐的例子来激发学生的兴趣，这个例子贴近学生的生活，他们很快就能进入学习状态。但在回顾旧知时，我发现部分学生对上一节课的分段函数概念掌握得不够扎实，这影响了他们对本节课内容的理解。我应该在课前加强对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上课程的进度。

在新课呈现环节，我详细讲解了分段计费的概念，并通过具体案例来帮助学生理解。在互动探究环节，学生们分组讨论得很热烈，但我也注意到一些学生在建立方程时还存在困难。我应该在互动探究前，增加一些更基础的练习，让学生逐步过渡到复杂问题的解决。

巩固练习环节，学生们对练习题的完成情况参差不齐。有的学生能够迅速找到解决问题的方法，而有的学生则显得有些迷茫。我在巡视课堂时，尽可能地对有困难的学生提供个别指导，但时间有限，不能照顾到每个学生。我考虑在课后为需要帮助的学生安排额外的辅导时间。

应用拓展环节，学生们对最优方案问题的解决表现出浓厚的兴趣，但他们在分析问题、建立模型方面还有待提高。我应该在课堂上提供更多的案例，让学生有更多的机会去实践和思考。

在总结反馈环节，我对学生的作业进行了点评，指出