第16讲相似基本模型专题探究之一线三等角（难度较大）（原卷版）

第16讲相似基本模型专题探究之一线三等角【知识点睛】常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型模型性质应用：一般地：当动点E一般地：当动点E运动到底边的中点时，CF有最大值模型构造：图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度.构造步骤：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊角的Rt△；例：如右图，当∠ABP=45°时，∵∠ABP在y轴上，∴在y轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE，△PHG，则在y轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴模型特例——K型图（三垂定理）性质：性质：普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。应用：当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K型图”解题当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K型图”解题由“K型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算“K型图”常和“A字图”或“8字图”类的平行相似结合在一起求长度“K型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂线。如图：【类题讲练】类型一图形中已经存在一线三等角，直接应用模型1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为．2．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（）A．5 B． C． D．33．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是．4．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．5．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q在线段CA上时，①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE，BP，CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ为等腰三角形时，求的值．类型二直线上只存在“一线二等角”，补上“一等角”，变成“一线三等角”；或者直线上存在一个特殊角，利用特殊角构造“一线三等角”，再利用其性质解题6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，则矩形DEFG面积的最大值＝．7．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是AB上的动点，连接DE，将△AED沿着DE折叠，A点落在F处，若EF∥AC，则AE的长度是．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为．9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝3AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为．10．如图，正方形ABCD的两个顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线相交于点E，AB＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过D，E两点，则k的值是．11．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为．12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．13．已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．（1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长；（2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离；（3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值．14．如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．（1）求∠ADC的度数；（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．15．阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的长；小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．【课后练习】16．如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO＝2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点．当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（）A．（4，4）或（2+2，4） B．（4，4）或（2﹣2，4） C．（12，4）或（2+2，4） D．（12，4）或（2﹣2，4）17．如图，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E为AD上一点，且AE＝2，点F、H分别在边AB、CD上，四边形EFGH为矩形，则当△HGC为直角三角形时，AF的值是．18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，∠BED+∠C＝90°，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为