专题02解直角三角形（六大类型）（题型专练）

专题02解直角三角形（六大类型）1．（2023•青岛三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过点D作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝5，∴sin∠BAC＝，故选：B．2．（2023•樊城区模拟）如图，在正方形组成的网格中，∠BAC的余弦值等于（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：如图，在Rt△ACD中，AD＝CD＝3，∴AC＝＝＝3，∴cos∠BAC＝＝＝，故选：B．3．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，BC＝4，tan，则AD的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∵tan∠CAB＝＝，∴AC＝2BC＝2×4＝8，∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝×8＝4，故选：C．4．（2023•增城区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，，则AC的长是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝＝，∴AC＝AB＝×10＝6，故选：A．5．（2023•集宁区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，，则AC的长为（）A．9 B．15 C．18 D．12【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝25，，∴＝，∴AC＝AB＝×25＝15，故选：B．6．（2022秋•薛城区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（）A．8 B． C．7 D．【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∵tanC＝＝，∴CD＝3，∴BC＝BD+CD＝7；故选：C．7．（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：连接BC，由题意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故选：B．8．（2022秋•电白区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故选：C．9．（2022•市中区二模）如图，在▱ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交BC与点E，BE：EC＝2：1，则▱ABCD的面积为（）A．12 B． C． D．【答案】C【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，在▱ABCD中，∵CD＝4，∴AB＝CD＝4，由作法得EM垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝4，∵BE：EC＝2：1，∴EC＝2，BC＝BE+EC＝4+2＝6；又∵AF⊥BC，∠B＝60°，∴sin∠ABF＝，∴AF＝AB•sin∠ABF＝4×＝2，∴S▱ABCD＝BC•AF＝6×2＝12．故选：C．10．（2022•南山区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠ACD的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，tanB＝，∴tanB＝，∴tan∠ACD＝，故选：A．11．（2022•青秀区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则AB长为（）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，∴AB＝＝＝8，故选：B．12．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么tanα的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，在Rt△AOB中，tanα＝＝，故选：B．13．（2022秋•张店区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（）A．6 B．12 C．6 D．6【答案】B【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6，∴CE＝BC•sin45°＝6×＝6，在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，∴AC＝＝＝12，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝12，故选：B．14．（2022•泗水县二模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则tan∠CAD的值（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，在Rt△BAD中，，∴，设AB＝3a，AD＝4a，则BD＝＝5a，∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．故选：B．15．（2021秋•安居区期末）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝60°，在Rt△ACD中，AC＝2，∴AD＝ACcos60°＝2×＝1，CD＝ACsin60°＝2×＝，∵AB＝4，∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，在Rt△BDC中，BC＝＝＝2，∴sinB＝＝＝，故选：D．16．（2023•海陵区一模）如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是3．​【答案】3．【解答】解：连接AC．∵CB∥AD，∴△CBP∽△DAP．∴＝＝．∴＝，即＝3．∵AC＝CD＝＝，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2．∴∠ACD＝90°．在Rt△ACP中，tan∠APC＝＝＝3．故答案为：3．17．（2023•鼓楼区校级二模）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝．【答案】．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，∵，∴设BC＝2a，AC＝3a，∵∠A，∠B互为半余角，∴∠A+∠B＝45°，∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a•＝2a，CD＝BCcos45°＝2a•＝2a，∵AC＝3a，∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，故答案为：．18．（2023•锡山区模拟）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是．【答案】．【解答】解：如图：由题意得：AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，AB＝5，∵BE＝EF，DE∥AF，∴BD＝AD，∴CD＝BD＝AB，∴∠CBD＝∠BCD，∵∠CDA＝∠BCD+∠CBD，∴∠CDA＝2∠CBD，∴＝sin∠CBD＝＝，故答案为：．19．（2022秋•河北期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，BC＝12，D是AB的中点，过点B作线段CD的垂线，垂足为点E．（1）线段CD的长为；（2）cos∠DBE的值为．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝＝，∴设AC＝3x则AB＝5x，∴BC＝＝＝4x，∵BC＝12，∴4x＝12，∴x＝3，∴AB＝5x＝15，AC＝3x＝9，∵D是AB的中点，∴CD＝BD＝AB＝，故答案为：；（2）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴△CBD的面积＝△ABC的面积，∵BE⊥CE，∴CD•BE＝×AC•BC，∴BE＝×9×12∴BE＝，在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，故答案为：．20．（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，则AB的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC＝1，BD＝2，tanB＝cos∠DAC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴，AC＝，∴，解得，AD＝，∴AB＝，故答案为：．21．（2022•江阴市校级一模）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，∵BC2+BD2＝CD2，∴32+x2＝（5﹣x）2，∴x＝1.6，∴BD＝1.6，∴tan∠CDB＝＝＝，∴tan2α＝，故答案为：．22．（2022•鼓楼区校级一模）如图为两个边长为1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD交于点P，则tan∠BPD＝3．【答案】3．【解答】解：如图，连接BE交CD于点O，∵四边形BCED是边长为1的正方形，∴BE⊥CD，OB＝OC＝OD＝OE＝×1＝，∵BC∥AD，∴△BCP∽△ADP，∴＝＝，∴CP＝CD＝，∴OP＝OC﹣CP＝﹣＝，在Rt△BOP中，tan∠BPD＝＝＝3，故答案为：3．23．（2022秋•昌平区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，则AC的长为2．【答案】2．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝3，sinB＝，∵AD＝AB•sinB＝3×＝2，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴AC＝＝＝2，故答案为：2．24．（2022秋•杨浦区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AF⊥CD，AF分别与CD、CB相交于点E、F，如果tanB＝，那么的值是．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠ACD+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠DCB，∴∠CAE＝∠DCB＝∠B，∴tanB＝tan∠DCB＝tan∠CAE＝，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，设CE＝2x，则AE＝3x，在Rt△CEF中，EF＝CE•tan∠DCB＝2x•＝，∴＝＝，故答案为：．25．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝10．【答案】10．【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案为：10．26．（2022秋•东平县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝．则sinα＝．【答案】．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，tanB＝＝，∴设AC＝3a，则BC＝4a，∴AB＝＝＝5a，∵AB＝5，∴5a＝5，∴a＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝BC＝BD＝3，∴AD＝＝＝3，在Rt△BDE中，tanB＝＝，∴设DE＝3k，则BE＝4k，∴BD＝＝＝5k，∵BD＝1，∴5k＝1，∴k＝，∴DE＝，在Rt△ADE中，sinα＝＝＝，故答案为：．27．（2022秋•杭州月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA＝2cos∠BCD．（1）求证：BC＝2AD．（2）若cosB＝，AB＝10，求△ABC的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）△ABC的面积为10．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，tanA＝，在Rt△CDB中，cos∠BCD＝，∵tanA＝2cos∠BCD，∴＝，∴BC＝2AD；（2）解：在Rt△CDB中，cosB＝＝，∵BC＝2AD，∴＝，∵AB＝10，∴BD＝AB＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝＝＝2，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×10×2＝10，∴△ABC的面积为10．28．（2021秋•东台市期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2．（1）求∠BCD度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）150°；（2）4+2．【解答】解：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∵sinA＝，∴BE＝AB•sinA＝2×sin45°＝2×＝2，∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD，∴四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝2，∠BCF＝90°，∴tan∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝60°，∴∠BCD＝90°+60°＝150°；（2）∵cosA＝，∴AE＝AB•cosA＝2×cos45°＝2×＝2，∵EF＝BC＝1，∴四边形ABCD的面积为：（BC+AD）•BE＝×（1+2+1+2）×2＝4+2．29．（2023春•上思县月考）已知：如图，AC是△ABD的高，BC＝15cm，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，求AD．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝15cm，∠BAC＝30°，∴AC＝cot30°•BC＝15cm，设BD＝x，则有AB＝2x，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝45°，∴cos45°＝，∴AD＝＝＝15（cm）．30．（2022秋•宣州区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．（1）求AE的长；（2）求tan∠DBC的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．∵，AB＝13，∴BE＝5．∵在Rt△BEA中，BE2+AE2＝AB2，