第二章直线和圆的方程夯实基础-10直线与圆的位置关系（二）（原卷版）

第二章直线和圆的方程10直线与圆的位置关系（二）问题导学直线与圆的位置关系有几种，如何判断？若直线与圆相交，如何求弦长？若直线与圆相切，如何求切线方程？及切线长？知识构建知识点一直线与圆相切求切线方程1.过圆上一点的切线方程2.过圆外一点的圆的切线方程三、类型剖析题型一直线与圆相切切线问题过圆上一点求切线方程过圆外一点求切线方程切线长有关的问题题型二圆上点到直线的定距离个数问题题型三直线与圆的综合问题题型四数学情境四、类型应用题型一直线与圆相切切线问题过圆上一点的切线方程【例1】（2324高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为．【跟踪训练11】（2223高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为.【跟踪训练12】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则，该直线的方程为．【跟踪训练13】（2324高二下·云南昆明·阶段练习）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（

）A．4 B．2 C． D．（二）过圆外一点的切线方程【例2】（2324高二上·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为.【跟踪训练21】（2324高二下·全国·随堂练习）已知圆C：．若点，求过点的圆的切线方程；【跟踪训练22】（2324高二上·河北承德·月考）过点引圆的切线，其方程是（

）A． B．C．或 D．或【跟踪训练23】（2324高三上·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程.（三）与切线长有关的问题．【例3】（2324高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（

）A．3 B． C． D．5【跟踪训练31】（2324高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练32】（2425高三上·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【跟踪训练33】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．题型二圆上点到直线的定距离问题【例4】（2021高二上·福建三明·期末）圆上动点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【跟踪训练41】（2122高二上·北京·期中）点在圆上，点在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【跟踪训练42】（2122高二上·山东济南·期末）若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（

）A． B． C． D．【跟踪训练43】（2122高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，点在圆上，且到直线距离为1，这样的点有个．题型三直线与圆的综合问题【例5】（2324高二上·重庆长寿·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，(1)求直线l的直线方程；(2)若以原点为圆心的圆C恰好与直线l相切，求圆C的方程.【跟踪训练51】（2324高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.(1)求圆的方程；(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.【跟踪训练52】（2324高二上·江苏无锡·期末）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．(1)求圆的方程；(2)若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．【跟踪训练53】（2324高二上·天津·期末）已知圆C经过，两点和坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)垂直于直线的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程.【跟踪训练54】（2324高二上·天津西青·期末）已知圆C和直线：，：，若圆C的圆心为且经过直线和的交点.(1)求圆C的标准方程；(2)直线l：与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程.【例6】（2324高二上·天津西青·阶段练习）（1）已知直线，的交点为，①求过点且与直线平行的直线的方程；②过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；（2）求圆心在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程．【跟踪训练61】（2324高二上·天津·期中）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上，(1)求圆C的标准方程.(2)过点作圆的切线，求切线方程(3)求x轴被圆所截得的弦长【跟踪训练62】（2324高二上·天津·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求直线的方程.【跟踪训练63】（2223高二上·天津滨海新·期中）已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，(1)求圆的方程；(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；(3)设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．题型四数学情境1.（2324高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（

）A． B． C． D．2.（2223高二·江苏·假期作业）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？五、素养提升1．（2324高二上·天津武清·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（

）A．2 B． C． D．2．（2324高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A． B． C． D．63．（2324高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（

）A． B． C． D．4．（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（

）A． B．C． D．六、随堂检测1.（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心2.（2122高二上·江西九江·期末）若直线与圆：相切，则（

）A．2 B．2或6 C．2 D．6或23．（2425高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（

）A． B．C． D．4.（2223高二上·天津·期末）圆上的点到直线的最大距离是（

）．A．36 B． C．18 D．5.（多选）（2324高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（

）A．直线与圆相交B．直线被圆截得最短弦长为C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为26.（2223高二上·广东肇庆·阶段练习）从点向圆作切线，则切线长为．7.（2223高二上·浙江温州·期中）已知圆心在直线上的圆C与x轴的正半轴相切，且C截y轴所得弦的弦长为，则圆C的标准方程为．8.（2324高二上·广东广州·期中）已知直线与圆：交于，两点，写出满足“是等边三角形”的的一个值：