2021届人教a版 平面向量单元测试

平面向量

一、单选题

1.设向量d=(l,2),b=(m,m+1),a//b,则实数〃?的值为()

A.1B.-1

C.--D.-3

3

【答案】A

【解析】

试题分析：根据题意，因为所以m+1-2/%=0=＞能=1.故选A.

考点：平面向量的平行关系.

2.向量G、5的夹角为60。，且同=1,网=2,则忸一同等于()

A.1B.0C.73D,2

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得：«•=1x2xcos60=1»所以

卜可=,4同2+|同2―4无5=,4+4—4=2，所以选D.

考点：1.平面向量的数量积；2.向量的模.

3.已知,=(2,4),b=(%,1),当d+4与、一)共线时,无值为

11

A.3B.2C.-D.-

32

【答案】D

【解析】

Va+fa=(2+x,5),a-b=(2-X,3),v(a+b)//(a-3),•••(2+x)x3=5x(2-

%),x=|)选D.

4.过抛物线的焦点F的直线与抛物线C相交于A，8两点，其中点A位于第一象限.若

而=5万，则直线AB的斜率为()

A.—B.±—C.五D.±—

3322

【答案】C

【解析】

【分析】

过A作AM与准线垂直，垂足为M，过8作3N与准线垂直，垂足为N,过8作

BEA.AM，垂足为E，设1刑|=/,则|AE|=5r,所以|AB|=6r,根据抛物线的定

义求出|AE|和|BE|,在直角三角形AEB中可解得.

【详解】

如图：过A作40与准线垂直，垂足为M，过8作BN与准线垂直，垂足为N,

过3作5£_LAM，垂足为E，

因为赤=5方，所以IA/q=5|F8|,

设|EB|=f,则|AE|=5f,所以|AB|=6/,

根据抛物线的定义可得IAM|=|AF|=5t,,\BN\=\FB\=t,

所以|AE|=4/,所以|BE|=J⑹了一(4M=2R，

CCl>IZ>-lrf.-Z„IBEI2>/5/V5

所以斜率k=tanNFAE=----=-----=—.

\AE\4r2

故选:C

【点睛】

本题考查了抛物线定义的应用，通过作辅助线，转化为在直角三角形中解决是解题关键,

属于中档题.

5.若非零向量八万满足同=|4，(2&+孙5=0,则1与石的夹角为()

A.30B.60。C.120°D.150

【答案】C

【解析】

【分析】

设向量方与b的夹角为e,根据题中条件结合平面向量数量积的运算律和定义求出

cos。的值，再结合。的取值范围可求出角。的值.

【详解】

设向量万与日的夹角为6,=+=+斤=2忖cos6>+|/?|=0,

得cos。=一；,•.•()4180，.•.6=120，因此，£与5的夹角为120、

故选：C.

【点睛】

本题考查利用平面向量数量积来计算平面向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.

6,若向量”(x+1,2)和向量5=(1,-1)平行，则忖+同=()

A.如B.叵C,0D,立

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量平行列方程求出X,进而可得Z+B的坐标，则|£+加可得.

【详解】

由题意得，一(X+D-2x1=0,得x=—3,

即a=(—2,2),故a+B=(-1,1),

•••।z+昨7(-i)2+i2=0-

故选：C.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，模的坐标表示，是基础题.

7.已知空间四边形物的对角线为〃'、切，设G是切的中点，则4看+3^方+台3)

等于()

【答案】A

【解析】

AB+^Bl5+BC）=AB+BG=AG，选A.

8.如图，。是平行四边形ABC。的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）

A.DA-DC=ACB.DA+DC=Dd

C.OA-OB+AD=DBD.AO+OB+BC=AC

【答案】D

【解析】

对于A，Z)A-DC=C4-故A错误；对于8,DA+DC^DB^故8错误；对于C，

OA-OB+AD^BA+Ab^BD^故。错误.

故选D

9.已知4m3),5(2加，〃?+4),C(〃?+l,4),0(1,0)且向量通与向量而垂直，则

〃?的值为()

A.-2B.0C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

将向量入身、而用坐标表示出来，再利用向量垂直的坐标表示求解出加的值.

【详解】

据题意有：而=(加，加+1),丽=(-加，-4),因为而J.而，所以

m(-m)+(-4)(/M+1)=0,所以(加+2/=0即加=-2.

【点睛】

向量垂直的坐标表示：1=(%,乂)石=。2，%)，若GJ-5，则有玉%2+X％=0・

向量平行的坐标表示:a=(xl,yl),b=(x2,y2)>若m〃5,则有％%-々乂=0.

io.已知向量汗=(—1,2),6=(%1)若2与日平行，则之=()

51

A.-5B.-C.7D.——

22

【答案】D

【解析】

分析：直接利用向量平行的坐标表示列方程求解即可.

详解：因为向量@=(一1，2),5=(办1)且4与5平行，

所以一lx1=22,4=—>故选D.

2

点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：(1)两向量

平行，利用司必一%2%=。解答；(2)两向量垂直，利用毛々+乂%=。解答.

11.已知向量£,石的夹角为60°,且|£|=2,/|=1,则忖+2同=()

A.2B.V10C.2A/2D.2也

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量的模长公式和数量积公式求解即可得到答案.

【详解】

根据已知条件，3+25)2=62+4江石+452=4+4+4=12；

^.\a+2b|=273.

故选D.

【点睛】

本题考查向量的模以及向量数量积的运算法则，向量数量积的运算主要掌握两点：一是

数量积的基本公式£石=|胭cose；二是向量的平方等于向量模的平方7=库

12.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若AB^5FB，

则|AB|=()

2525

A.—B.10C.—D.6

24

【答案】C

【解析】

【分析】

设4苞,％),3(々,〉2)，根据印方=5而，可求得这些坐标间的关系，再结合A8两点

在抛物线上，可求得知天，而[4国=玉+9+2,由此可得结论.

【详解】

设4(花，％),B(x2,y2),则A3=(々一石，％一Y)，

又尸(1,0),，尸6=(%2-1,%)，，*2一%=5工2一5,y2-yt=5y2,

4X

fX|=5-4X2[J2=21

,，1.，由4/2/、，得/="7，内=4,

旧=-4%〔(T%)=4(5—49)-4

IA.B|=X]+%+2=.

故选C.

【点睛】

本题考查向量的数乘的意义，考查抛物线的焦点弦问题.掌握焦点弦长公式是解题基础:

即对抛物线y2=2px（p>0）而言，4（和凶）,8（乙,%），45是抛物线的过焦点的弦，

贝+

二、填空题

13.如图，在直角梯形ABC。中，4B=3C=2,CD=\,ABHCD,ADVAB.

点P是直角梯形内任意一点.若西•丽<0,则点P所在区域的面积是.

D|\c

【答案】-+—

34

【解析】

试题分析：由已知得AD=^802一（.一0））2=,22—F=6NC84=60°.建

立如图所示平面直角坐标系，

则A(0,0),8(2,0),。((),百),C(1,G),设P(x,y),则

C1

PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y)，所以，

Rimnim

PA-PB=(-x,-y)•(2-x,-y)=-2x+x2+y2,从而

-2x+x2+V<0,(x-l)2+/<1,其表示平面区域的面积为图中等边三角形与扇形

面积之和，—x1x—+—xI2xsin600=—+.

23234

考点：1.平面向量的数量积；2.扇形、三角形的面积；3.解析法.

14.设向量a=(2,4)与向量》=(x,6)共线，则实数x=.

【答案】3

【解析】

分析：由向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线，可得2x6-4x=0,解方程可得

x=3.

详解：因为向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线，

所以2x6-4x=0

解得x=3

点睛：向量的平行运算有两种方式：

⑴坐标运算：已知a=(Xpy),石=(々,，2)，al1b则X%-=。.

⑵两向量Z/区，且W则存在一个实数2，使得£=肪.

15.若非零向量1石满足忖+可小叫=2回，则向量/二与1+E的夹角为.

【答案】2

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：如图所示，设而=z亚=5,•.•两个非零向量满足卜+同巾一可=2同,

则四边形ABCD是矩形，且

A4?1-rrjr

一=-=cosZBAC,.•.ZR4C=N0AB=—,：./以。=乙.而向量5与2+另的夹

AC236

角即为NQ49,故向量5与3+分的夹角为J

考点：向量的夹角的计算

16.平行四边形A3CO中，APLBD,垂足为P,AP=2,则APAC.

【答案】8

【解析】

试题分析：如图，设对角线AC、30相交于。点，•..四边形ABC。是平行四边形,

二AC=2AO=2（AP+PO）,因止匕，

APAC=AP-2AO=2AP\AP+PO）=2AP+2AP-PO,VAP=2,APJ.PO,

2...►

H=4,APPO=0,由此可得AP-AC=8.故答案为：8.

考点：平面向量数量积的运算.

【方法点晴】本题在平行四边形中求向量的数量积，着重考查了平行四边形的性质、向

量的线性运算性质、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题.设对角线AC、

8。相交于。点，根据平行四边形的性质与向量加法法则，得到

就'=2而＞=2储+而），代入而•尼，结合而即Q•丽=0展开后即

可求得答案.

三、解答题

E=(GCOSX,—£|,函数〃尤)=(

17.设向量加=(sinx,-l),n=

（1）求函数/（x）的单调递增区间;

（2）当xe03时，求函数“X）的值域.

【答案】⑴kn--,kn+y,ZeZ；⑵[5,3

【解析】

【分析】

⑴利用函数y=Asin（5+w）的单调性，利用向量数量积的坐标表示化简函数/（x）,

结合正弦函数的单调递增区间，可得/（x）的增区间；

（2）利用函数》=45必（5+3）的值域，求得2x-工的范围，运用正弦函数的图象和

6

性质，可得“X）的值域.

【详解】

解：(1)向量加=(sinx,-l),

—2

函数/(x)=(m+=m+m-n

=1+sin2x+Gsinxcosx+一

=-(l-cos2x)+—sin2x+-

2、722

sin(2x-?)+2,

ITTTTT

由2kji----<2x-----<——,keZ,

262

JT

解得br--#xk7r+—,keZ,

63

故函数/(x)的单调递增区间为k兀一%左乃+?，%eZ；

⑵当V。?时，2暇《4后

即有sin12x——],1

则sin[2%——j+—,3

则“X)的值域为

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示和性质，考查两角差的正弦公式和正弦函数的图象和性

质，考查运算能力，属于中档题.

18.已知向量a=(sina,-2),B=(5,cosa),且

(1)求tana的值；

sin(a+乃)cosa+(a+2»)cos(a+»)

(2)求的值.

2sinla+—IcosI6r--1+cos2(乃一a

22

【答案】(1)-；(2)—

【解析】

【分析】

（1）由向量垂直的坐标运算可得5sina=2cosa,再求解即可;

（2）利用三角函数诱导公式可得原式=rma+smaco：a,再构造齐次式求解即

2cosasina+cos-a

可.

【详解】

解：（1）因为aJ_3，所以。3=0，

因为a=（sin2,—2）,b=（5,cosa）,所以H=5sina-2cosa=0，

口r-・一-sina2

即5sina=2cosa,故tana=----=—.

cosa5

34

sin（a+4）cosa+-sin（a+2兀）cos（a+乃）

-si.n~2a+si•nacosa

（2）

2cosasina+cos2*5a

2sin|cos+COS2（乃一a）

-tan2a+tana

2tana+\

42

125+5=2.

2x?+l15

5

【点睛】

本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了三角函数诱导公式及构造齐次式求值，属

中档题.

19.已知产（1，0）,直线/:x=-l,P为平面上的动点，过点P作/的垂线，垂足为点Q,

且万而=丽衣.

（1）求动点P的轨迹曲线。的方程;

（2）设动直线了=居+力与曲线。相切于点M,且与直线x=-l相交于点N，试探

究：在坐标平面内是否存在一个定点E,使得以为直径的圆恒过此定点5?若存

在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（I）C:/=4x（【I）存在一个定点NCU6符合题意

【解析】

试题分析：解：（1）设点P（x，y）,则Q（—l，y）,^QPQF=FPFQ,得

(x+l,0)%2,-y)=(x—l,y)%—2,y),化简得。：产=4*4分

y=kx+m,…、

(2)由〈得/x2+(2Jbn-4)x+m2=0,

y=4%

由A=0，得=从而有,N(—L——+m)，7分

m

则以MN为直径的圆的方程为(x-m2Xx+T)+(y-2m)iy+--m)=0,

m

整理得，Q—力巾2+犬2_—3同+x2+y2+x-2=ojo分

m

l-x=O,

由，y=0,得x=Ly=0

X2+/+x-2=0,

所以存在一个定点ESS符合题意.14分

考点：直线与抛物线位置关系

点评：主要是考查了向量的坐标关系，以及直线与抛物线的位置关系的运用，属于中档

题.

20.在长方形ABC。中，AB=4,AD=2.M,N分别是线段6C,CZ）的中点，P

是长方形ABC。（含边界）内一点.

（1）求sin/MAN的值；

（2）求户的取值范围.

【答案】⑴如里（2）[-1,91

34

【解析】

【分析】

（1）根据题意,建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算,可求得cosNM47V.

结合同角三角函数关系式即可求得sinNM4N.

（2）设尸（x,y）,表示出丽，旃,即可根据数量积的坐标运算求得丽.诉.根据P是

长方形ABCO（含边界）内一点，可得x，＞的不等式组，即可利用不等式性质求得

户的取值范围.

【详解】

如图，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

（1）由题意有A（0,0）,M（4,l）,N（2,2）,

AM=(4,1),A7V=(2,2),

10,5734

所以34，

因为卜

所以sinAMAN=5/l-cos2AMAN

(2)设尸(x,y)

则说=(_2,1),砺=(x_4,y-l),

所以丽•亚=-2x+8+y-l=-2x+y+7,

’04x44,-84—2xW0,

因为《所以《

0<y<2,0<y<2,

所以一8<-2x+y<2,

所以一1K—2x+y+7<9,

即MN-MP的取值范围是[-1,9].

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，利用数量积求向量的夹角，同角三角函数关系式

的应用，不等式性质的应用，属于中档题.

21.已知但=1=6,向量近，砺的夹角为90',点C在AB上，且ZAOC=30。.

—►—►—«tn

设OC=mOA+nOB(m,neR)f求一的值.

…上、31m_

【答案】"?=:，n=—,—=3.

44n

【解析】

试题分析：对向量方进行正交分解，结合直角三角形的几何性质，即可得到答案.

试题解析：

解法一：：向量方，砺的夹角为90°，，|函1=1，

...在直角三角形ABC中，ZB=30

又VZAOC=30c.则AOC4sMCOSASOA,.•.△oc4、ABC。都是直角三

角形，

则AC=OAsin300=-,BC=Oficos30"=73.—=-

222

过C作CE//AO交08于E，

过C作CV//BO交。4于尸，

则5E=8C-cos30°=塑，0e=石—地=走，OE=-OB

4444

1133

AF=ACsin30=—,OF=1——=-,OF^-OA

4444

_________3__.1___

...OC=OE+OF=-OA+-OB

44

m_

——=3

n

解法二提示：在方程反=机丽+〃砺两边同乘以向量砺、砺得到两个关于相、

1m

32=-=3

〃的方程组，解方程组可得m=~,4-

4九

22.在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：工+匕=1,若圆0:f+V=心（<>°）的

63

一条切线与椭圆C有两个交点A8,且砺•砺=0.

（1）求圆。的方程;

（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆。上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q,

且丽=2而，求直线MN的方程.

【答案】（1）x2+y2=2（2）y=^x+V3,y=-—x+V3

【解析】

【分