5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-(必修第一册) (教师版)

函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1性质(1)简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，xA是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π(2)A,ω,φ对f(x)=AsinA影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.2函数的变换(1)平移变换①y=fx⟶y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移②y=fx⟶y=fx±b(b>0)将y=f(x)图像沿PSf(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是(2)伸缩变换①y=f将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍(ω>1缩短，ω<1问题怎么理解呢？例：若将fx=3sinx+π解析我们把fx=3sinx+π3的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=

【题型一】函数图象的变换【典题1】将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移πA．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2πC．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2πD．函数f(x)的图象有一个对称中心为(【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π再向右平移π3个单位得到ℎ(x)与g(x)＝2cos(2x+φ)＝又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π令2kπ−π2所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3由于f(2π3)=2sin5π6∵f(2π3)≠0，∴(2π3故选：B．巩固练习1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的1A．y=sin(2x+π4)C．y=sin(12【答案】D【解析】函数y=cosx=sin(x+π2)，其图象先左移π再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y=sin(2x+所以函数y的解析式为y=sin(2x+3π4)2(★)将函数f(x)=3sin(12x−φ)(|φ|<π2)的图象向左平移πA．−π4 B．−π3 C．π【答案】C【解析】将函数f(x)=3sin(12x−φ)可得g(x)=3sin[1因为g(π3)=32所以π3−φ=2kπ+π因为|φ|＜π2，所以，φ=π3(★★)为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)A．向右平移π4个单位 B．向左平移π4C．向右平移π8个单位 D．向左平移π8【答案】D【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x=sin(2x+π2)的图象向左平移4(★★)已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(A．3π4 B．π4 C．0 D【答案【解析】函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2现将y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8则φ+π4当k=0时，φ=π45(★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移πA．关于点(5π12,0)对称 B．关于直线C．在[−π12，5π12]单调递增 D．在【答案】C【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T=2πω=此时f(x)=sin(2x+φ图象向右平移π12个单位后得到y=sin[2(x−若函数为偶函数，则φ−π6=k∵|φ|＜π2，∴当则f(x)=sin(2x−π则f(5π12)=sin(2×5π12−πf(π6)=sin(2×π6当−π12≤x≤5π此时函数f(x)为增函数，故C正确，当−π12≤x≤7π此时函数f(x)不单调，故D错误，故选：C．6(★★★)将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2πD．函数f(x)的图象有一个对称中心为(【答案【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)与g(x)=2cos(2x+φ又由于A>0,ω>0，所以故sin(2x−π2所以：f(x)=2sin(x+π故函数f(x)的周期为2π，A令2kπ−π函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π由于f(2π3)=2sin5π6【题型二】由函数y=Asin(ωx【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=−π3；③f(x+π12【解析】由函数图象的最值可得A=1，由34T=π6−此时fx代入(−7π12,1)∴−7π又∵0<|φ|<π2，∴f(x)=sin(2x−∴①、②正确；∵f(x+π12)=sin[2(x+π∵fx∴f(x−π12综上知，正确的命题序号是①②④．【点拨】由函数y=Asinωx+φ+B((1)求A,B：通过函数最值求解，由fmax=A+B(2)求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出(3)求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.【典题2】已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，且f(x)在(π6,【解析】对于函数fx由f(0)=f(2π9)又f2π9=−f(π3)，可得函数的图象关于点(∴T4+kT=5π18∴ω=∵f(x)在∴T2≥4π9∴0<又ω=2πT=3∵(5π18，0)是对称中心，∴f即sin3×5π18+φ=0∴f(x)=sin⁡【点拨】①对于函数y=若fa=f(b)，则x=a+b2②处理三角函数f(x)=Asin(ω巩固练习1(★)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω【答案】f(x)=3sin(1【解析】如图所示，A=3，T4=π，可得T=4π，所以f(x)=3sin(1因为函数过(3π2,0)得3sin(12x+φ)=0当k=1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12(★★)如图，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(1,0)，∠PQR=π4，M为QR的中点，PM=【答案】52【解析】由∠PQR=π4，所以OQ=OR，设Q(m,0)，则又M为QR的中点，所以M(m又|PM|=342，即整理得m2－2m－15=0，解得m=5或所以R(0,－5)，Q(5,0)；所以12T=4，解得T=8，所以2πω把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x+由|φ|≤π把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π得Asin(−π4)=－53(★★)已知函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A0,3A．直线x=π12是f(x)B．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x向左平移π3个单位而得到C．f(x)的最小正周期为π D．f(x)在区间(−π3，π【答案】B【解析】由函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω∴2sinφ=3，∴sinφ=再根据五点法作图可得ω•π3+π令x=π12，求得故直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴，故把g(x)=2sin2x向左平移π3个单位，可得y=2sin(2x+2π3f(x)=2sin(2x+π3)的最小正周期为2π2在区间(−π3,π12)上，4(★★★)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0,【答案】1f(2)单调递增区间kπ−5π12,kπ+3最小值【解析】(1)由图象可知A+B=1−A+B=−3，可得：A=2，B=－1又由于T2=7π12−由图象及五点法作图可知：2×π12+所以f(x)=2sin(2x+π3)－1(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π令2kπ−π得kπ−5π所以f(x)的单调递增区间为[kπ−令2x+π3=kπ，k所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π因为0≤x≤7π6，所以所以当x+2π3=3π2，得x=5π当x+2π3=2π3，即x=05(★★★)如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；(2)若x∈[−π12,5π12]时，函数【答案】1f【解析】(1)取MN的中点为H，则DH⊥MN，因为F为DM的中点，且F在y轴上，则OF//DH且OF=1所以D(π4,2)，M(T=2πω所以f(x)=2sin(x+φ由f(π4)=2由0<φ<π即f(x)=2sin(x+π令−π2+又x∈所以函数f(x)在[π,2π(2)因为−π12≤x≤所以12≤sin(x+令t=f(x)，则t∈则g(t)=t2①当a2≤1，即a≤2时，gt②当1<a2<2，即2<a<4时，g③当a2≥2即a≥4时，g综合①②③得实数a的值为32【题型三】三角函数模型的简单应用一【典题1】已知函数f(x)=si(1)求f(x)的最小值并写出此时x的取值集合；(2)若x∈[0,π【解析】(1)由于f=1−cos2x=1−cos2x2=12−(=1令2x+π6=2kπ+π可得f(x)的最小值为−32，此时x的取值集合为{(2)由2kπ−π可得kπ−π所以f(x)的单调减区间为[kπ−π因为x∈[0,π]，当当k=1时，减区间为[2π综上，x∈[0,π]时的单调减区间为[【点拨】①解析式的化简中用积化和差公式sinx+②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为fx=Asinωx+φ+B【典题2】已知函数f(x)=4si(1)求f(x)的对称中心；(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间【解析】(1)(函数解析式转化为fxf(x)=2[1−cos(π=sinx(2+2sinx)+1−所以对称中心kπ(2)∵f(ωx)=2sinω解得−π∴f(ωx)的增区间为∵f(ωx)在([−π2,2π3]是函数∴当k=0时，有[−π∴ω>0−π∴ω的取值范围是(0,(3)g(x)=2(注意sinx−cosx2=1−sin2x，令sinx−则t=sinx−cosx=2∵x∈[−π4,π2而sin2x=1−则y=1−t(问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴t=a2在区间①当a2<−2时，即a<−2令−2a−a②当−2≤a2≤1令a24−a2③当a2>1时，即a>2时，在t=1处，由a2−1=2，解得综上所述a=－2或6．【典题3】已知函数f(x)=sin(1)当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；(2)设方程fx−asin2x−1=0在(0,π2)(3)若对任意实数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)f=sin=1−1当a=0时，f(x)=1−1(函数化为fx由2kπ≤4x≤π+2kπ∴当a=0时，函数y=f(x)的单调减区间为[kπ2,(2)(将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)方程fx−asin2x−1=0即1−12sin2也就是sin22x+asin2x=0在(当x∈(0,π即a=−sin2x在(0,(数形结合，y=a与y=−sin2x在易得y=−sin2x在(0,即－1<a<0，此时x1(3)若对任意实数x，f(x)≥0恒成立，则1−1即sin2令t=sin2x(−1≤t≤1)，则可得(−1)2+a−2≤0∴实数a的取值范围是[−1,1]巩固练习1(★★)已知函数fx=(1)求函数(2)求函数(3)求函数f(x)在区间[0,【答案】(1)π(2)[−π3+kπ,【解析】f(x)==3=sin(2x+π(1)最小正周期T=2π(2)令−π2+2kπ≤2x+π故单调增区间为：[−π3(3)当x∈[0,π2]所以函数f(x)在区间[0,π2]2(★★)已知函数f(x)=sin(π−ωx)cosωx−cos2(1)求f(x)图象的对称轴方程；(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[【答案】(1)x=kπ2+【解析】(1)f(x)=sin(π−ωx)cosωx−cos由于函数的最小正周期为π，故ω=2，所以f(x)=sin2x−令2x=kπ+π2，整理得故函数的对称轴方程为x=kπ(2)由于g(x)=sin(2x−π由于x∈[0,π2]故g(x)∈[−33(★★★)已知函数f(x)=12cos2x+sinxcosx(1)求使f(x)≥12的(2)若函数g(x)=22sin(2x+3π4)，且对任意的【答案】(1)[kπ,kπ+π【解析】(1)f(x)=1f(x)≥12，即所以2kπ+π4≤2x+π即使f(x)≥12的x的取值范围是[kπ,k(2)令F(x)=f(x)－g(x)==2因为对任意的0≤x1<所以当x∈[0,t]时，所以2t≤π2，解得t≤π4，所以实数t的最大值为4(★★★★)已知函数f(x)=3sin(2ωx+φ)+1(ω>0，−π2<φ(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的233倍，得到函数y=ℎ(x)图象，令函数g(x)=ℎ(x)+1，区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足：y=g(x)在(3)若m[1+3(f(x8−π【答案】(1)f(x)=3sin(4x+π3)+1(2)【解析】(1)∵f(x)=3又函数f(x)的最小正周期为π2，∴2π2ω∴f(x)=3又函数f(x)经过点(−π12,1)于是(因为−π2<ϕ<故f(x)=3(2)由题意，ℎ(x)=2sin(2x+令g(x)=0得：sin(2x+∴2x+π3=2kπ+7π解得：x=kπ+5π12∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π若b－a最小，则a,b均为g(x)的零点，此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈∴在区间[a,14π+a]恰有∴(14π∴b−(14π+a)≥π3检验可知，在[5π12,∴b－a的最小值为43π3(3)由题意得m(3sinx∵x∈[0,2π∴sinx设t=3sinx2+1，t设y=3则y=3⋅19∴当t=1时，ymin=－2故实数m的取值范围是(－∞,－2]．【题型四】三角函数模型的简单应用二【典题1】如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)A．f(3)=9B．f(1)=f(7)C．若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D．不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【解析】方法一几何法图中PB⊥水面，OA⊥PB，(由图ft=PA=PA+3，则需了解PA与t∵每分钟转动5圈∴OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60则t秒转过的角度π6t如上图依题意可知∠P0OA=π在Rt∆POA中，PA=OPsin∴ft对于A，f(3)=6sin(π6×3−对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6(或确定x=1+7对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−所以π6解得t∈[2+12k,6+12k],k∈对于D，f=6sin(π=6sin(π=6[sin(π因为sinπ6t−所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．方法二待定系数法可知f(x)符合三角函数模型，设f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3∵每分钟转动5圈，∴1圈要12秒，即T=12s则ω=2πT=(也可由OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π依题意可知f(0)=0，得sinφ=−12，取φ=−π故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π接下来如同方法一.【点拨】①方法一利用几何性质求出f(t)(即图中的PB)与t之间的关系；②方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数f(t)=Asin(ωx+φ)+B，根据题意由最大值和最小值求出A,B的值，根据周期性由T=2πω求出ω，注意一个特殊情况代入一个点求出【典题2】某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点(异于B,C)，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠ACB=90°，(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC=∠PCB，且CA+CP(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到最大．当θ为何值时，CH+CP取得最大值，并求该最大值．【解析】依题意∠ABC=∠PCB=θ，则在直角△ABC中，AC=sinθ,BC=cosθ在直角△PBC中，PC=BC∙cosθ=cos2(用变量θ表示CA+CP，利用函数最值方法求解)(1)AC+CP=sinθ+=−sin2θ所以当sinθ=12，即θ=π6，(2)在直角△ABC中，由S△ABC=1可得CH=sinθ⋅cosθ在直角△PBCPC=BC⋅sinπ所以CH+CP==14sin2θ+(函数化为fx=A所以当θ=π12，CH+CP达到最大，最大值为【点拨】①利用直角三角形等几何性质用θ表示各线段长度；②题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量θ的取值范围.巩固练习1(★★)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(33,−3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足A．R=6,ω=πB．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为C．当t∈[10,25]时，函数y=f(t)D．当t=20时，|PA|=63【答案】C【解析】由题意，R=27+9=6，T=60=2π点A(33,－3)代入可得－3=6sinφ，∵|φf(t)=6sin(π30t−π6∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；当t∈[10,25]时，π30当t=20时，π30t−π6=π2，P的纵坐标为62(★★)某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y(米)随时间t(秒)变化的关系式为.【答案】y=30sin(π【解析】设y=Asin(ω由题意可得A=30，ω=2π300=π150代入可得5=30sinφ+35，φ=−π2+2kπ，k=0∴y=30sin(π1503(★★)如图，已知扇形AOB的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，P为AB上一动点，问：点P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值．【答案】当P为AB中点时，矩形PQRS的面积取到最大值36【解析】如图，在Rt△OPS中，设∠POS=α，则OS=cos在Rt△ORQ中，QROR∴RS=OS－OR=cos设矩形ABCD的面积为S，则S=(cosα=1由于0<α<π3，所以当2α因此，当α=π6时，矩形PQRS4(★★★)如图，某正方形公园ABCD，在ABD区域内准备修建三角形花园BMN，满足MN与AB平行(点N在BD上)，且AB=AD=BM=2(单位：百米)．设∠ABM=θ，△BMN的面积为(1)求S关于θ的函数解析式(2)求S(θ)【答案】