黑龙江省哈尔滨市某中学2024-2025学年高三年级上册8月模拟考试 数学试卷（含解析）

兆麟中学2024-2025学年度上学期

辽宁名校联盟联考模拟考——数学

总分：150分时间：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求。

1.设全集。="€可》410},集合2={3,4,6,8},8={xeU|x=3左—2,左eN},则集合

Qz）n5中的元素个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.已知命题力：eR,a11-Tta>0,贝U（）

A.p：三。任R,a11-7ia>0B.p：VQER,a11-7ia<0

C.p：GR,a11-7ia<0D.p：VaeR,a71-7ia<0

3.设x、jeR,贝ij“孙〉1”是“一+了2〉1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2023年7月12日9时0分，由“中国蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆

满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进

剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重

M

要.其公式为v=qlno其中v为单级火箭的最大理想速度（单位：nrs-）,«为发动机的喷射速度

Mk

（单位：m-s1）,M°,4分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位：kg）,

3称为火箭的初末质量比.要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火

Mk

箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10.现有某型号单级火箭的发动

机能获得的最大喷射速度约为400sx9.8m§274km那么它能获得的最大理想速度约为（）

（参考数据:In2ao数9,In5dl.61）

A.4.44km-s1B.7.2km-s1C.9.2km-s1D.8.8km-s1

5.设为数列{4}的前〃项和，已知为=3,Vm,〃eN*,Sm+n=SmSn,则（）

A.{a,J是等比数列B.%=54

C.+&+%+%+。9=3®

a$D.Sn=3n

i7

6.设2a=3°=£,若士+=2,贝卜=)

ab

A.2GB.6D.V6

33

+6-4

7.已知a〉l,/(x)=—则不等式/（2x—l）+/（x—1）+4〉0的解集为（)

ax+l

A.—+C0B.-若D.g+oo

8.已知a=e°m,Z)=ln(1.03e),C=VL06,贝U()

K.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若a〉6〉0,贝1J（）

b6+1B.3“一，T〉J

A.—<----

aQ+13

171

C.QH--〉Z7H--D.a+b>2y[ab

ab

10.定义在R上的连续函数/（x）满足Vx,JGR,/（盯）=/（%）/&），/（1）=1，贝I（)

A./(0)=0B.当x,ye(0,+oo)时，f~—

y)/")

i

C.若/（—1）=1，则/（X）为偶函数D.当xwO时，f(x)+f>2

x

1

11.设数列｛%｝满足。,+1-3a“+4,为3,记数歹以，的前〃项和为S“，则（)

4一1

3-

A.a“+i〉a〃B-fl2023«5+20232

332023

c.s„<iD.。2023>5+

三、填空题（共3个小题，每题5分,满分15分）

12.若数列a,27,-9,b,-1为等比数列,则不（b-n了~（3a）5=

1

13.函数y=28的值域为.

14.已知Q,b满足logg(2。-1)=5-2。，2・31+6=9,则6+4。=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.函数N=[xy=lg三>8=刎x?+2日—3左2wo｝,若“xe4”是“xe8”的充分不必要

条件，求实数后的取值范围.

16.已知等差数列也｝的前〃项和为S,,%=1,S7-S4=33.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)判断---1-----1-----1-----1----与2的大小关系并证明你的结论.

Es?s.sn

17.已知函数f(x)=X3-X2-6ZX+1,Q£R.

(1)若m%>0,f(x)<0,求a的取值范围；

(2)设函数g(x)=/(、)+办一1,//(%)=x2+bx,若斜率为1的直线与曲线y=g(x),y=都

相切，求6的值.

02X4-2

18.已知函数y=/(x),其中/(》)=———是奇函数.

(1)求a的值；

(2)求解不等式/(x)>4；

(3)当xc(l,3)时，/Qc2)+/(x—1)>0恒成立，求实数/的取值范围.

19.已知函数/(x)定义在区间(—1,1)内，/[—[]=2,且当Vx,ye(—1,1)时，恒有

〃x)+/a)=/1.

(1)证明：/(X)为奇函数；

2Q“723〃+1

(2)若数列｛%｝,也｝满足0<%<1,ai=~>%+i-0----，6=----z--\"I----7--X+…H----7---\'

%+1fM/(%)/(%)

且对V〃eN*,(―1)"(4+6)X<4,求;I的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.【答案】B【分析】根据集合的补集运算求得6。/,求出集合8,再根据集合的交集运算即可得答案.

解：由题意得。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10卜%/={0,1,2,5,7,9,10},5={1,4,7,10),所以

(6^)05={1,7,10}.

2.【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.

解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以「夕：3aGR,a"-兀"〉O的否定是P：VaeR,

兀"WO.

3.【答案】A【分析】利用重要不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

解：由孙〉1,Wx2+j2>2xy>2>1,贝广9〉1"=>"x?+/〉1"；但当/+必〉1时，取

x=l,y=—,则即“孙〉1”中“/+2〉i”所以“J,是“/+2〉i”

•100•100••

的充分不必要条件.选：A.

4.【答】C解:由题意得qy4000m6一,初末质量比最大为10,则该型号单级火箭能获得的最大理想

速度v=40001nl0=4000(ln2+ln5)«4000x(0.69+1.61)=9200m-s].故选：C.

5.【答案】B

【析】根据题意，令令机=1,得到S"+i=3S„,得出{S“}为等比数列，求得工=3",结合选项，逐项判

定，可求解.

解：因为%=3,且V加，〃eN*,Sm+n=SmSn,令掰=1,可得S〃+i=531=5/1=35,,又因为

EwO,所以{S“}是首项为3,公比为3的等比数列，所以5=3",所以。4=54—5=34-33=54,

所以B正确，D项错误；由%=S2—S]=6,a3=S3-S2=18,可得蟾7%•%，所以数列{4}不是等

比数列，所以A项错误；

由生+&+“7+“8+。9=S9—S4=3。—3，〉3*,所以C项错误.故选：B.

A.6【答案】C

12

【分析】由题，将指数式2“=3^=/化成对数式，求出a,b,代入一+7=2,根据对数运算性质可计算

ab

得答案.

解：由2"=3'=，，知/〉0,且。=log2Z,b=log3Z,

1212

L厂两+由T°g"gf8=2'

所以/=18,7=3也.故选：C.

7.【答案】D【分析】根据函数解析式变形判断其单调性，并推出/(x)+4=-/(-X),则可将

/(2x—l)+/(x—1)+4〉0变为/(2x—l)〉/(l—x),利用函数单调性，即可求解.

33

Iy5_A—A

解：由题意得/(x)的定义域为R,/(x)==炉-^p又a>l,则>为增函数,

3

而>=炉为R上的增函数，所以/(X)为增函数，又

-4_4(44优)

-----------1-----------二一4,

心/f—+"Ea+1ci+1,

所以/(x)+4=-/(—x),即/(2x——l)+4=/(2x—1)—/(I—x)〉0,即

2

f(2x-l)>f(l-x),所以2x—l〉l—x,所以x〉§,即不等式/(2%一1)+/。;一1)+4〉0的解集

故选：D.

8.【答案】B解：由题意a=e°m,Z)=ta(1.03e)=In(1+0.03)+1,c=VL06=Vl+2x0.03,

下面先证明e'2x+l,设函数0(x)=e*-x-l,则。当x〉0时，0'(x)〉0,0(x)在

(0,+s)内单调递增,

当x<0时，(p'(x^<0,0(x)在(-叫0)内单调递减，所以0(0)=0,所以当x〉0时,

eT>x+1,

I----------产―1

设/(x)=x+1-Jl+2x,x>0,t=Vl+2x>1,则、=--—‘所以

f(「)=〃,)=,21+]—="2"〉0(%>1)，所以x+1〉Jl+2x①,

所以>0.03+1〉J1+2x0.03=,

11Jl+2x-(x+1)

即a〉c.再设g(x)=In(1+x)+1-Jl+2x(x>0),g'(x)=

1+xV1+2x(x+1)V1+2x

又由①知g'(x)<0,所以g(x)在(O,+s)内单调递减，所以g(x)<g(O)=O,

所以ln(l+x)+l<Jl+2x,所以In(1+0.03)+1<J1+2义0.03,即ln(L03e)<JH记，所以b<c.

综上，a>c>b.

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ABD

【分析】利用作差法即可判断A,根据函数单调性即可判断B,举反例即可判断C,根据均值不等式即可

判断D.

bb+1_ab+b-Qib+a)_b-a

解：对于A项，因为。〉6〉0,则b-a<0,<0,所以

aa+1a(a+l)Q(Q+1)

,A项正确；对于B项，因为a〉b〉0,所以a—b〉0,所以a—b—1〉—1,所以

aa+1

3所乒1〉3-1二」，B项正确；对于C项，令。=2,b=~,则口+4=6+工，C错误；对于D项，由均

32ab

值定理即可得到a+6〉2而，D项正确.

10.【答案】BC

【析】举反例即可判断A,D；利用赋值法推出/从而可判断B；利用赋值法结合偶函数

定义判断C.

解：对于A项，令/(x)=l,则/(x)满足题中所给条件，但此时有了(0)=lw0,A项错误；对于B项,

当x,ye(0,+oo)时，取、=工，则/(%)/1

=/(1)=1，所以/所以

xx

(\

X

B项正确；对于C项，由题意得/(x)定义域关于原点中心

y)y)\yJ

对称，且/(一1)=1,则y(—x)=/(-l)/(x)=/(x),所以/(x)为偶函数，C项正确；对于D项,

令/(x)=x,则/(x)满足题中所给条件，但当x<0时，/(x)+fx+—<-2,故

x

1

/(》)+/22不成立，D项错误.故选：BC.

X

11.【答案】ACD

【分析】选项A,利用数列单调性定义，可判断；选项B,D,

3_,.3(3?1(3丫

-----&2-+4­dH—>|a,

n+12""2("2J4("2J

两边取对数，|]〉21n]a.—迭代可得，«„-|>^，取值放缩可判断；选项C,

an+l=a；「3an+4=(%—1)(4-2)+2,可得=—------------,利用裂项相消法可得结果.

'%一14-2a“+「2

解：因为%=3〉2,由%+]=端—3%+4=1%—4+｝所以当4〉2时，由二次函数单调性知

2

所以外,〉2,an+x-an=crn-Aan+4=(an-2)>0,所以a“+i〉a”，A项正

%+1—1'="_3%+4_1'=端_3。"+|"=|。"_|_]'因为%〉2,所以

2-1

〉〉2lnfa„_2-|-j>--->2"InftZj-1-

3(3V"13(3V022

所以，所以的。23〉：+：，显然

3(3V°23―9,3、2

22。22〉2】1=2048>2023,所以。2023〉]+].又202323<2023"<2<j=己，所以

2023逅<1)，所以20235,B项错误，D项正确；

1111

%+i=-3%+4=@-!)(«„-2)+2,

a

n+\~2Q-1)(。"-2)an-24-1

111

a“-1%—2an+l-2

111111111

----------1------------F…-I----------二---------------1--------------------------F…H---------------------------

/-1a?-1Q“-1%—2a2—2?-2-2Q“—2。”+1—2

----------------=1------------<1,C项正确.故选：ACD.

a「2an+i-2an+l-2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

12.【答案】71【分析】根据等比数列性质求得a,b,根据根式以及分数指数累的运算，即可得答案.

解：由题意得272=—9a,a=-81,从而等比数列公比为——，所以6=3,所以

3

不(b-冗)~—(3a>=J(3—兀)~—[3x(—81)了=兀-3—(^35)=兀_3+3=兀，故答案为：n.

13.【答案】[(),<U(l,+oo)【析】根据反比例函数求出指数的取值范围，再根据指数函数的单调性求

出函数的值域.

解：设/=——1,贝lJ/2—1且次(),根据反比例函数性质，从而;e(—oo,—l]U(O,+s)，所以

21同U(l,+«).

14.【答案】11【分析】由对数的运算性质，化简得到logs(2a-1)=10-4a,设/=log3(2a-l),得

到2・3'+/=8,又由2・31+6=9,得到2・32+6—1=8,结合/(x)=23+x的单调性，得到

t=b-1,进而求得b+4a的值.

解：由loggia—1)=5—2a,可得2a—1〉0,即a〉；，且

log9(2.-l)=%,)=-『)=5-2a>

可得logs。。-1)=10-4口，设/=logs(2a—1),则2a=3'+1,原式化为/=10-2(3'+1),即

2・3'+/=8,又由2・32+6=9,可得2・35+6—1=8,令函数/(x)=2-3*+x,显然/(x)为增函

Q-A

数，所以/=b—1,则2a=3'+1=35+1=_——+1,所以b+4a=11.故答案为：11.

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6【答案】(-*-2]U(3,+s]【分析】根据对数的性质，求得幺=*卜2<%<3},利用不等式的解法,

分类讨论的不等式的解集，解“xeZ”是“xeB”的充分不必要条件，分类讨论列出不等式组，即可

求解.

解：由^——>0,可得(x+2)(x—3)<0,解得一2<x<3,即Z=(r卜2<x<3},又由

x2+2kx-3k~<0,得(x+3左)(x-左)W0,当左〉0时，xe[-3左,左];当左=0时，x=0；当

左<0时，xeR,-3左].因为“xeN”是“xeB”的充分不必要条件，所以当左〉0时，满足

一一3k<-2[k<-2

1一，解得左23；当左=0时，不符合题意；当左<0时，满足一，解得左V—2.综上可得,

k>3[-3k>3

实数人的取值范围为（7,-2]u（3,+句.

16.【答案】（1）an=2n-l

（2）—+—+—+—<2,证明见解析

Es?S,sn

【分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为力根据等差数列的基本性质可求得&的值，由此可求得d的值，

再利用等差数列的通项公式可得出数列｛4｝的通项公式；

（2）判断出工+,+工+…+」-<2,求得S,,=〃2,当〃=1时，可得出工=1<2；当时，利

S]S2S3SnS]

用放缩法可得3<一一-可证得结论成立，综合可证得结论成立.

nn—\n

【小问1详解】解：设等差数列,〃｝的公差为d,由S7—54=牝+。6+。7=3。6=33,可得6=11.

又%=1,所以公差=1；1=2,所以%=%+（〃—l）d=1+2（〃—1）=2〃—1.

【小问2详解】解：」■+」-+工■+…+」-<2.证明如下：由（1）可求得

S]S2S3Sn

S=-^~~立=△-------2=",当〃=1时，—=1<2；当〃22时，

"22E

111

所以

-n2<7[n-\\)n-n-1n

=2--<2.

n

*1111

综上所述，对任意的〃wN，--1---1---1---1---<2.

S]S?s.sn

17.【答案】(1)a>\(2)6=3或6=-1.

尸21

【小问1详解】解：由题意三、〉0,/(x)<0,得QX+I<O,即。〉---------在工〉0时有

X

解.

丫3_2111

设0(x)=--------,则。'(x)=2x——--1,易知/'(1)=0.令加(%)=2%——f—l，则

2

mr(x)=2+—>0,

所以9'(x)单调递增,所以当xe(O,l)时,夕'(人)<0,0(x)单调递减;当xe(l,+oo)时,0'(x)>0,

0(X)单调递增.所以=0(1)=1，所以O〉L

⑵解：由题意得g(x)=/—/,所以g〈x)=3/—2x,令g，(x)=l,解得芭=1,x2=,所

以直线与y=g(x)的两个切点坐标分别为(1,0),所以切线方程分别为>=X-1和

59

y=x+—x-\=x1+bx,得x?+0-l)x+l=0,令A[=0-1)~-4=0,解得6=3或b=-1.

^x+—=x2+bx,得x?+。-l)x-』=0,令△)=+竺=0,无解.检验，直线与

27v7272v727

_^=〃&)的两个切点坐标分别为(—1,—2),(1,0),综上，6=3或6=-1.

18.【答案】(1)a=2(2)^0,log23](3)/=1—oo,—a]u(0,+°0)

解：(1)函数的定义域为(—叫0)U(0,+8),因为函数是奇函数，所以/(—x)=—/(X)，

，/、a-2-x+2a+2-2x,a+2-2xa-2x+2.、

f(-x)=--------=---------,则n---------=---------,则na=2；

、72-x-l1-2，1-2工1-2X

⑵/(%)=———>4,即七一>2,整理得1<2工43,则0<xVlog23,所以xe(OJog??].

2'—12'—1

7-L94

(3)十/-2+与一,所以/(x)在(—oo,0)和(0,+8)上是严格减函数，且当

2—12—1

%£(-00,0)时，f(x)<2;当X£(0,+8)时，f(x)>2;由/(笈2)+/(%一1)〉0可得：

当xe(l,3)时，1—x<0,当/<0时，tx2<0,所以//〈I—%,即/<J—J_=__1,又

xxIx2J4

xG(1,3)，所以，<一；；当/〉0时，tx2>0,则而工£。,3),1-x<0,贝！J

/(I—x)<2满足题意；

函数的定义域Q={x|XW。},则才=0时/=0e。不符，舍去.综上，=1—co,_；1u(0,+8)

19.(1)/(%)为奇函数.(2)(―1,|)

【小问1】详解