必考点01与三角形有关的线段(原卷版+解析)

必考点01与三角形有关的线段●题型一三角形的有关概念【例题1】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．【例题2】（2021秋•泰山区校级月考）图中共有三角形个，其中以AE为边的三角形有个．【解题技巧提炼】三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．●题型二三角形的分类【例题3】（2022秋•乌鲁木齐月考）有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题技巧提炼】1.三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．2.三角形按边的相等关系分类：●题型三三角形的三边关系【例题4】（2022•南京模拟）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【例题5】（2021秋•海淀区校级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10 B．15 C．17 D．19【解题技巧提炼】1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略．●题型四三角形的高、中线与角平分线★★三角形的高【例题6】如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是．（2）在△AEC中，AE边上的高是．（3）在△FEC中，EC边上的高是．（4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，则S△AEC＝cm2，CE＝cm．★★三角形的中线【例题7】（2022•雁塔区校级四模）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．22★★三角形的角平分线【例题8】（2021秋•大兴区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝，∠BCE＝，∠ACB＝．★★三角形的角平分线、中线、高的综合运用【例题9】（2022春•惠州期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【解题技巧提炼】1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．●题型五三角形的稳定性【例题10】（2022春•淅川县期末）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是．【例题11】（2022•兴宁区校级开学）下列图形具有稳定性的是（）A． B． C． D．【解题技巧提炼】1.当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．2．四边形具有不稳定性.◆题型一三角形的有关概念1．（2021春•郏县期末）如图，图中有个三角形，∠B的对边是．2．（2022春•方城县期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个◆题型二三角形的分类3．（2022•石家庄二模）下列图形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．4．（2021秋•东光县期中）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形◆题型三三角形的三边关系5．（2021秋•八公山区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm6．（2022•南京模拟）已知三角形的三边长分别为3，x，6，则三角形的周长y的取值范围是．◆题型四三角形的高、中线与角平分线7．（2022•南京模拟）下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．8．（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点9．（2022•南京模拟）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是．10．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是∠EAC的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=.11．（2021秋•金安区校级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB＝5，AC＝3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．◆题型五三角形的稳定性12．（2022春•香坊区校级期末）下列图形中，具有稳定性的是（）A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．三角形13．（2022•上杭县校级开学）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（）A． B． C． D．1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有对．2．（2022秋•乌鲁木齐月考）如图，以点A为顶点的三角形有个，它们分别是．3．（2022春•馆陶县期末）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（）A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对4．（2022春•遂宁期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（）5．（2022春•南召县期末）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE6．（2022春•信都区期末）如图，BE是某个三角形的高，则这个三角形是（）A．△ABE B．△ABD C．△CBE D．△ABC7．（2022春•市中区期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性8．（2022春•南阳期末）下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有（填写序号）．9．（2022春•雨花区校级期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝5，△ABD和△BCD的周长的差是．10．（2022春•包头期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为．11．（2021春•惠安县期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为．12．（2022春•沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝．13．观察图形规律：（1）图①中一共有个三角形，图②中共有个三角形，图③中共有个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有个三角形．14．（2022春•榆树市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．（1）求AB、AC的长；（2）求BC边的取值范围．15．（2022春•嵩县期末）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为15cm和30cm的两个部分，求：三角形的三边长．17．（2022春•资阳期末）已知a、b、c为△ABC的三边长；①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．18．（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．19.（2021秋•赵县月考）在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．（1）如图1，若S△ABC＝1cm2，求△BEF的面积．（2）如图2，若S△BFC＝1cm2，则S△ABC＝．20.（2022春•方城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，点P从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿线段CB以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点B时P、Q停止运动，设Q点的运动时间为t秒．（1）当t＝时，BP＝2CQ；（2）当t＝时，BP＝BQ；（3）画CD⊥AB于点D，并求出CD的值；（4）当t＝时，有S△ACP＝2S△ABQ．必考点01与三角形有关的线段●题型一三角形的有关概念【例题1】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A． B． C． D．【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．【例题2】（2021秋•泰山区校级月考）图中共有三角形个，其中以AE为边的三角形有个．【分析】观察图形先找出图中基本的三角形△BDO，△ABO，△AOE，再找出复合组成的三角形即可；利用前面的结论即可得到以AE为边的三角形；【解答】解：（1）①△BDO，△ABO，△AOE，共3个；②△ABD，△ADC，2个；③△ABE，△BCE，2个；④△ABC，1个；综上，图中共有共8个三角形；（2）以AE为边的三角形有：△AOE，△ABE，2个；故答案为：8；2．【点评】此题主要考查了三角形定义，关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．【解题技巧提炼】三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．●题型二三角形的分类【例题3】（2022秋•乌鲁木齐月考）有下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形；②举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形；④三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．【解答】①有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正确；②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正确；③三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故③错误；④根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．故选：C．【点评】本题考查三角形，熟练掌握三角形的定义及分类是解题的关键．【解题技巧提炼】1.三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．2.三角形按边的相等关系分类：●题型三三角形的三边关系【例题4】（2022•南京模拟）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵三角形三边长分别为3，x，14，∴14﹣3＜x＜14+3，即11＜x＜17．∵x为正整数，x＝12，13，14，15，16，即这样的三角形有5个．故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．【例题5】（2021秋•海淀区校级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10 B．15 C．17 D．19【分析】等腰三角形条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【解答】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．【解题技巧提炼】1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略．●题型四三角形的高、中线与角平分线★★三角形的高【例题6】如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是．（2）在△AEC中，AE边上的高是．（3）在△FEC中，EC边上的高是．（4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，则S△AEC＝cm2，CE＝cm．【分析】（1）（2）（3）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；（4）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面积公式计算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的长．【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；（3）在△FEC中，EC边上的高是FE；（4）∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC=12AE•CD＝3cm∵S△AEC=12AB•CE＝3cm∴CE＝3cm．故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm．【点评】本题考查了三角形高线的概念及直角三角形的面积公式．★★三角形的中线【例题7】（2022•雁塔区校级四模）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．22【分析】根据线段中点的概念得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为20，∴AC+AD+CD＝20，∵AC＝8，∴AD+CD＝AD+BD＝12，∵AB＝10，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝22，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．★★三角形的角平分线【例题8】（2021秋•大兴区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝，∠BCE＝，∠ACB＝．【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°．由CE平分∠BCA【解答】解：∵AD平分∠ABC，∴∠DAC=1∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝∠ACE=1∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°．故答案为：30°、40°、80°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键．★★三角形的角平分线、中线、高的综合运用【例题9】（2022春•惠州期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴12AB•AC=12BC∴AD=AB⋅ACBC=6×810=4.8（（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴S△ABC=12AB•AC=12又∵AE是边BC的中线，∴BE＝EC，∴12BE•AD=12EC•AD，即S△ABE＝S∴S△ABE=12S△ABC＝12（cm∴△ABE的面积是12cm2．方法二：因为BE=12BC＝5，由（1）知所以S△ABE=12BE•AD=12∴△ABE的面积是12cm2．（3）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．【解题技巧提炼】1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．●题型五三角形的稳定性【例题10】（2022春•淅川县期末）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是．【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．【例题11】（2022•兴宁区校级开学）下列图形具有稳定性的是（）A． B． C． D．【分析】所有图形里，具有稳定性的是三角形．据此作答即可．【解答】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．故选：C．【点评】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性，属于基础题，比较简单．【解题技巧提炼】1.当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．2．四边形具有不稳定性.◆题型一三角形的有关概念1．（2021春•郏县期末）如图，图中有个三角形，∠B的对边是．【分析】根据三角形的定义以及三角形的内角的对边的定义解决此题．【解答】解：由图可知：三角形有△ABD、△ABC、△ADC，共3个，∠B的对边是AD、AC．故答案为：3，AD、AC．【点评】本题主要考查三角形的定义以及三角形的内角的对边的定义，熟练掌握三角形的定义以及三角形的内角的对边的定义是解决本题的关键．2．（2022春•方城县期末）如图所示，点D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，分别连结AD，DE，则图中的三角形一共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据图形即可确定三角形的个数．【解答】解：图中的三角形有：△BDE，△AED，△ACD，△BDA，△ABC，共有5个三角形，故选：C．【点评】本题考查了三角形的定义，理解三角形的含义是解题的关键．◆题型二三角形的分类3．（2022•石家庄二模）下列图形中，是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、第三个角的度数是180°﹣60°﹣60°＝60°，是等边三角形，不符合题意；B、第三个角的度数是180°﹣55.5°﹣34.5°＝90°，是直角三角形，符合题意；C、第三个角的度数是180°﹣30°﹣30°＝120°，是钝角三角形，不符合题意；D、第三个角的度数是180°﹣40°﹣62.5°＝77.5°，不是直角三角形，不符合题意；故选：B．【点评】此题考查三角形，关键是根据三角形的内角和定理得出第三个角的度数解答．4．（2021秋•东光县期中）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．【解答】解：三角形根据边分类如下：三角形不等边三角形等腰三角形故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．三角形按边的关系分为两类：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底和腰不等的等腰三角形以及等边三角形．另外，三角形还可以按角进行分类．◆题型三三角形的三边关系5．（2021秋•八公山区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（）A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是12cm．故选：D．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．（2022•南京模拟）已知三角形的三边长分别为3，x，6，则三角形的周长y的取值范围是．【分析】根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、x、6，∴第三边的取值为6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，∵三角形的周长y＝3+6+x＝9+x，12＜9+x＜18，∴12＜y＜18．故答案为：12＜y＜18．【点评】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．◆题型四三角形的高、中线与角平分线7．（2022•南京模拟）下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，故选：B．【点评】本题考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．8．（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（）A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．注意：锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，直角三角形三条高的交点是直角顶点；钝角三角形三条高所在直线相交于三角形外一点．9．（2022•南京模拟）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是．【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．10．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是∠EAC的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=.【分析】根据三角形的角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵∠BAC=80°，AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC==1∵AD是△AEC的角平分线，∴∠EAD==1故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线的定义，解决本题的关键是熟练运用角平分线定义．11．（2021秋•金安区校级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB＝5，AC＝3．（1）边BC的取值范围是；（2）△ABD与△ACD的周长之差为；（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．【分析】（1）利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围即可；（2）根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD＝CD，进而得出△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，相减即可得到周长差；（3）根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，列出等式，解答出即可；【解答】（1）解：∵AB＝5，AC＝3．∴2＜BC＜8，故答案为：2＜BC＜8；（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2；故答案为：2；（3）解：设AC边上的高为h，则S△ABC=1解得，h=10答：AC边上的高103【点评】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形面积的求法，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．◆题型五三角形的稳定性12．（2022春•香坊区校级期末）下列图形中，具有稳定性的是（）A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．三角形【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．【解答】解：A、正方形不具有稳定性，本选项不符合题意；B、长方形不具有稳定性，本选项不符合题意；C、梯形不具有稳定性，本选项不符合题意；D、三角形具有稳定性，本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．13．（2022•上杭县校级开学）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有对．【分析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的定义，学生全面准确的识图能力，正确的识别图形是解题的关键．2．（2022秋•乌鲁木齐月考）如图，以点A为顶点的三角形有个，它们分别是．【分析】根据三角形的定义得出答案即可．【解答】解：以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．故答案为：4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．【点评】此题主要考查了三角形的定义，得出三角形个数是解题关键．3．（2022春•馆陶县期末）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（）A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【解答】解：等腰三角形包括等边三角形，故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．4．（2022春•遂宁期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的是（）A．线段AD是△ABE的角平分线 B．线段CH为△ACD边AD上的高 C．线段BE是△ABD边AD上的中线 D．线段AH为△ABC的角平分线【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：A、，由∠1＝∠2，根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；B、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；C、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．5．（2022春•南召县期末）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义即可求解．【解答】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；C、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．D、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；故选：D．【点评】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，熟记定义是解题的关键．6．（2022春•信都区期末）如图，BE是某个三角形的高，则这个三角形是（）A．△ABE B．△ABD C．△CBE D．△ABC【分析】根据图形可知：DE⊥AB，结合三角形高的定义作出选项．【解答】解：结合图形可知，只有DE⊥AB，所以BE是△ABE的高．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．7．（2022春•市中区期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性【分析】根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故选：D．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．8．（2022春•南阳期末）下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有（填写序号）．【分析】根据生活常识对各小题进行判断即可得解．【解答】解：①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性，符合题意；②用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性，符合题意；③在栅栏门上斜钉着一根木条，是利用三角形具有稳定性，符合题意；④商店的推拉防盗铁门，是用四边形的不稳定性，不是用三角形具有稳定性，不符合题意；综上所述：用到三角形稳定性的是①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了三角形的稳定性，比较简单，要熟悉生活中的物品的形状．9．（2022春•雨花区校级期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝5，△ABD和△BCD的周长的差是．【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，然后求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD），＝AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD，＝AB﹣BC，∵AB＝8，BC＝5，∴△ABD和△BCD的周长差＝8﹣5＝3．答：△ABD和△BCD的周长差为3．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差＝AB﹣BC是解题的关键．10．（2022春•包头期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案．【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，解得：a＝7，b＝2，由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，又∵c为奇数，∴c＝7，∴△ABC的周长为7+2+7＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了三角形三边关系以及非负数的性质，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．11．（2021春•惠安县期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为．【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分，得AD+AE＝BD+CE+BC＝2，进而解决此题．【解答】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查三角形的周长，理解题干中直线DE将△ABC分成等周长的两部分是解决关键．12．（2022春•沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝．【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，∴12•AB•ED=12•AC∴12×3×ED∴ED＝2，故答案为：2．【点评】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个知识点．13．观察图形规律：（1）图①中一共有个三角形，图②中共有个三角形，图③中共有个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有个三角形．【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．故答案为：3，6，10；（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，∴第n个图形共有：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案为：(n+1)(n+2)2【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键．14．（2022春•榆树市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．（1）求AB、AC的长；（2）求BC边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝11②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝10，解得AC＝5，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；（2）∵AB＝6，AC＝5，∴1＜BC＜11．【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．15．（2022春•嵩县期末）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．16．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为15cm和30cm的两个部分，求：三角形的三边长．【分析】本题要分情况进行讨论：（1）等腰三角形的腰与另一边腰的中点线段长度的和是15cm；（2）等腰三角形的腰与另一边腰的中点线段长度的是30cm；据此解答．【解答】解：如图：（1）当AB与AD的和是15cm时，AD＝15÷（1+2）＝15÷3＝5（cm），所以AB＝AC＝5×2＝10（cm），BC＝15+30﹣10×2＝25（cm）（不合题意舍去）；（2）当AB与AD的和是30cm时，AD＝30÷（1+2）＝30÷3＝10（