专题03实际问题与反比例函数重难点题型专训（7大题型）

专题03实际问题与反比例函数重难点题型专训（7大题型）【题型目录】题型一销售问题题型二行程问题题型三物理问题题型四几何图形问题题型五工程问题题型六表格问题题型七反比例函数实际综合问题【经典例题一销售问题】1．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学统考三模）由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分生产设备进行技术升级，边升级边生产．去年110月其利润（万元）与月份之间的变化如图所示，设备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法正确的是（

）

A．由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利B．由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元C．由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元D．由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月【答案】C【分析】根据该图象因变量代表的意义即可判断A；求出反比函数的表达式，结合图象即可判断B，求出5月份的利润，即可判断C；求出一次函数的表达式，再求出10月份的利润，即可判断D．【详解】解：A：由图象可知设备技术升级完成前的五个月利润逐渐下降，升级后利润开始增加；故A不正确，不符合题意；B、设该反比例函数的表达式为，将点代入得：，∴设该反比例函数的表达式为，把代入得：，∵y随x的增大而减小，∴设备技术升级完成前有1个月的利润超过100万元，由图可知，设备技术升级完成后，y随x的增大而增大，∴设备技术升级完成后有3个月的利润超过100万元，综上：设备技术升级完成前后，一共有4个月的利润超过100万元；故B不正确，不符合题意；C、把代入得：，∴反比例函数图象经过点，∴设备技术升级完成后每月利润比前一月增加（万元），故C正确，符合题意；D、设设备技术升级完成后的表达式为，把，代入得：，解得：，∴，∴y随x的增大而增大，当时，y取最大值，此时，故D不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，解题的关键是正确理解函数图象，掌握用待定系数法求解函数表达式的方法．2．（2023·山东临沂·统考二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案．【详解】解：由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意；治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，符合题意；设反比例函数解析式为：，代入得，故，当，解得：，则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意．设一次函数解析式为：，则，解得，故一次函数解析式为：，把代入，解得，则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万，把代入，得，故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．3．（2022下·浙江·八年级阶段练习）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为元．售价x（元/双）200250300400销售量y（双）30242015【答案】300【分析】由表中数据可得销量与售价之间的函数解析式，根据题意有，将解析式代入解分式方程即可求解．【详解】由表中数据得，∴，则销量与售价之间的函数解析式为．由题意，得，把代入，得，解得，经检验是原方程的根．∴售价应定为300元．故答案为：300．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用．理解题意，掌握利润=(售价成本)×销售量是解答本题的关键．4．（2020上·江苏南通·九年级统考期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）．售价（元/双）销售量（双）已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为元．【答案】300【分析】先利用待定系数法求出，再根据“利润（售价进价）销量”建立方程，然后解方程即可得．【详解】由题意，设，将代入得：，解得，则，设要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，其售价应定为元，则，整理得：，解得，经检验，是所列方程的解，故答案为：300．【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、分式方程的应用，正确求出售价与销量之间的反比例函数关系式是解题关键．5．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．(1)求y与x的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元【分析】（1）利用待定系数法分段求出反比例函数和一次函数解析式合起来即可求出整个函数解析式；（2）设利润为w元，分段表示出利润的表达式，求出各段的利润最大值进行比较即可．【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，把带入中得：，∴；当时，设y与x的函数关系式为，把代入中得，∴，∴，综上所述，；（2）解：设利润为w元，当时，，∵函数中，当时，y随x增大而减小，∴当最大时，最小，即最大，∴当时，；当时，，∵，∴，∴，∴当，w有最大值980；∵，∴当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元．【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，是反比例和一次函数的综合题，求出分段函数解析式是做出本题的关键．6．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．时间x/月份2345售价/（元/千克）1286甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．

(1)求与x之间的函数关系式；(2)求与x之间的函数关系式；(3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)为整数）(2)，且x为整数）(3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为，把代入解析式，则，解得，∴与x之间的函数关系式为为整数）；（2）解：把代入，得：，解得，∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）；（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则，=，对称轴为直线．∵，∴当时，w随x的增大而减小．∵x为整数，∴当时，w有最大值，最大值（元），答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．【经典例题二行程问题】1．（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可．【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，∴设这个反比例函数表达式为，若甲，乙，丙，丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示，

∵、、、在反比例函数图象上，∴，由图可知，，，∴，，由题意可知，训练中跑的路程为：，∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程，∴丁训练跑的路程最多，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)；③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是()

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：，符合题意；②由人均面积等于总面积除以总人口得：，即，符合题意；③由加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了，可知每公里油耗为：，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：，不符合题意；综上分析可知，变量y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．故选：A．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．3．（2023下·北京通州·九年级统考开学考试）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系（k是常数，）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米升时，该轿车可以行驶千米．【答案】500【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米”再利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再代入求出S即可得出结论．【详解】解：∵以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米，∴，解得：，∴当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶的路程(千米)．故答案为：500．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的相关知识是解答本题的关键．4．（2023上·河南信阳·九年级统考期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和．若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要h？【答案】【分析】将点A代入可得k，求出时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值．【详解】解：由题意得，函数经过点把代入，得∴函数解析式为，把代入，得，∴汽车通过该路段最少需要小时．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．5．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．

(1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式．(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？【答案】(1)(2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式；（2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可．【详解】（1）解：根据题意得：；（2）从杭州到温州A处，一共耗油升，从处：，一共耗油升，∴不加油不能到达洞头D处，还需：升答：不加油不能到达洞头D处，还需加油5升以上．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系．6．（2022上·重庆南岸·九年级统考期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地．(1)返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？(2)如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度；(3)如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间．【答案】(1)(2)(3)3.5小时【分析】（1）根据题意求得总路程为，根据时间等于路程除以速度列出函数关系式即可；（2）根据速度等于路程除以时间即可求解；（3）根据函数图像可知前1.5小时行驶70km，剩余路程除以速度即可求得时间，进而求得总时间【详解】（1）解：∵一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，∴甲地到乙地的路程为（2）（3）总时间为：【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．【经典例题三物理问题】1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（

）A．当时，B．与的函数关系式是C．当时，的取值范围是D．当时，【答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．【详解】解：设I与R的函数关系式是，∵该图象经过点，∴，∴，∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；当时，，当时，，∵反比例函数I随R的增大而减小，当时，，当时，，故选项A，D不符合题意；∵时，，当时，，∴当时，I的取值范围是，故C符合题意．故选：C．2．（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压．海拔高度不同，大气压强也不同，如图是大气压强随海拔高度变化的关系图象，观察图象可知，下列说法正确的是（

）A．大气压强与海拔高度成反比例函数关系B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大C．海拔高度为时，大气压强约为D．海拔高度为时，大气压强为【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可判断A；根据图象的变化趋势即可判断B；根据表格数据即可判断C；根据图象趋势即可判断D．【详解】解：A、根据图象可知图象经过，，，，，，横坐标与纵坐标的积不相等，所以结论错误，故此选项不符合题意；B、根据图象可以看出，随着海拔高度的增大，大气压强也随之减小，所以结论错误，故此选项不符合题意；C、根据图象可以看出，当时，大气压强，所以结论正确，故此选项符合题意；D、根据图象可以看出，，，所以结论错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．3．（2023·山西晋城·统考一模）如表记录了一组物理试验数据，已知当温度不变时，气球内气体的压强（单位：）是气体体积（单位：）的函数，则与的函数关系式是．（单位：）（单位：）【答案】【分析】观察表格发现，从而确定两个变量之间的关系即可．【详解】解：观察发现：，故与的函数关系式为，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数，难度不大．4．（2023·广东广州·统考一模）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：．（填“”，“”或“”）【答案】＞【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解．【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设，依题意，∴反比例数解析式为：，，∴随的增大而减小，∵，∴，故答案为：＞．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．5．（2023下·河南鹤壁·八年级统考期末）周末，小明与同学一行人去户外露营，在淇河湿地公园上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们根据所学物理知识——当压力不变时，压强与受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道，已知木板所受压力不变时，木板对湿地的压强与木板面积的对应值如下表．木板面积11．522．534木板对湿地的压强600400300240200150(1)求反比例函数的表达式及自变量S的取值范围；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；

(3)当木板面积为时，压强是________；(4)结合图形，如果要求压强不超过4000Pa，木板的面积至少要多大？【答案】(1)．(2)见解析；(3)3000；(4)．【分析】（1）设P与S之间的反比例函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可；（2）先描点，再连线画出对应的函数图象即可；（3）把代入（1）所求关系式中进行求解即可；（4）把代入代入（1）所求关系式中进行求解即可．【详解】（1）解：由表可知：P与S之间为反比例函数，设P与S之间的反比例函数关系式为，将代入得，解得，∴P与S之间的反比例函数关系式为；（2）解：画出函数图象如图所示：

（3）解：当时，，故答案为：3000；（4）解：当时，，由函数图象可知，P随S增大而减小，∴当压强不超过时，木板面积至少．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．6．（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日

（星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．

第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变．第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率．第四步，计算收集数据如下：R/Ω…246810…P/W…18964.53…第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．任务：(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是；（单选）A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式；(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；

(4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．【答案】(1)B(2)(3)图见详解(4)【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系；（2）根据与的积是定值发现有问题的一组数据；（3）将描出的点用光滑的曲线连接即可；（4）根据计算出的取值范围．【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：．（2）通过前四组数据发现：与的积都是36定值，发现最后一组有问题；与关系式是：，（3）图象如图：（4）当时，即，解得．【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口．【经典例题四几何图形问题】1．（2023上·湖北随州·九年级校考阶段练习）如图，已知四边形是矩形，边在x轴上，边在y轴上，双曲线过的中点E，且与边交于点D，若的面积为，则k的值是（）A．5 B．10 C．15 D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，设点E坐标为，B点的坐标为，则点D的坐标为，根据面积公式代入坐标列出方程解出k值即可，熟知利用数形结合思想，表示出相关点的坐标，是解题的关键．【详解】解：设点E坐标为，∵E是的中点，∴B点的坐标为，则点D的坐标为，的面积为，，∴，，解得：．故选：B．2．（2023上·吉林长春·九年级长春市第八十七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数的图象经过顶点D，与对角线，边交于点E，F，连接，点E为的中点，的面积为2，则k的值为（）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】首先设，表示出，再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求得．【详解】解：设，∵矩形，∴，∵矩形，E为的中点，则E也为的中点，∵点B在x轴上，∴E的纵坐标为，∵点E在反比例函数上，∴，∵E为的中点，∴点，∴点，∵的面积为2，，∴，∴，解得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点同时落在一个反比例函数图像上时，．【答案】【分析】题考查反比例函数求，涉及反比例函数图像与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，过作轴，过作轴，如图所示，表示出和，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，代入即可得到答案，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．【详解】解：过作轴，过作轴，如图所示：在中，，，则，在中，，则，，，，，在中，，，则，，设，则，则，解得，，点落在一个反比例函数图像上，．4．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，点A在反比例函数的图象上，直线交反比例函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作轴于M，轴于N，连接，则四边形面积为．【答案】9【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，设点，根据反比例函数的对称性质，求得点，则可得到，利用三角形面积公式，即可解答，利用数形结合的思想是解题的关键．【详解】解：设点，根据反比例函数的对称性质，求得点，可得到，四边形面积为，故答案为：9．5．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为．(1)若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；(2)若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；（1）根据已知求出与点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．【详解】（1）过作于，，，点．，，，∵，∴，若反比例函数的图象经过点，则，解得，，反比例函数的解析式为；（2）点，将向下平移个单位长度，，两点同时落在反比例函数图象上，，．6．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点．(1)若的坐标为，则的坐标为______；(2)若的面积为，则的值为______；(3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可；()利用待定系数法求解；()求出直线的解析式，可得直线交轴一点，再利用分割法求出的面积；此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）∵点与关于原点对称，∴点，故答案为：；（2）∵，的面积为，∴，解得：，故答案为：；（3）∵的图象过，∴，∵若的纵坐标为，∴点，设直线解析式为，与轴交于点，如图，∴，解得：，∴直线解析式为，∴点，∴，∴．【经典例题五工程问题】1．（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）之间的关系如图所示；(1)求y与x间的函数表达式；(2)若冉冉将原有录入速度提高20%【答案】(1)y=(2)125字/分钟【分析】（1）根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时t+2分钟，由题意得关于t的分式方程，解方程即可求出t的值．【详解】（1）解：设y=把150，10代入y=∴k=1500，∴y与x的函数表达式为y=1500（2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时t+2分钟，原来的录入速度为x字/分钟由题意得，t+2=1500整理得：x=1500∵录入速度提高了20%，则实际录入速度为1+20则1+20%x=1500解得：t=10，经检验t=10是原方程的解，∴冉冉原录入速度为：150010+2答：冉冉原来的录入速度为125字/分钟．【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．2．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．（1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？（2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？【答案】（1）m=9000【分析】（1）首先根据题意，因总工作量为9000台空调，故每天组装的台数m与生产时间t之间成反比例关系，即m·t=9000；（2）计算出当t=50时，m=180；当t=60时，m=150；比较即可得答案．【详解】解：（1）每天组装的台数m（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间的函数关系：m=9000（2）当t=50时，m=9000所以，这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装180台空调，原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，则每天组装150台，即比原计划多：180−150=30台．【点睛】本题考查反比例函数的解析式、性质与运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．3．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V(m3/(1)该蓄水池的蓄水量为_________m3(2)如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3【答案】(1)18000(2)t≥9(3)1800【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=k（2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案；（3）设原计划每小时的排水量是xm【详解】（1）解：设V=k∵点（6，3000）在此函数图象上，∴蓄水量为6×3000＝18000m3．故答案为：18000．（2）蓄水池每小时的排水量V(m3/h)∵每小时排水量不超过2000m∴根据反比例函数的增减性可知，t≥9时，每小时排水量不超过2000m故答案为：t≥9．（3）设原计划每小时的排水量是xm18000x解得：x=1800，经检验：x=1800是所列方程的解，答：原计划每小时的排水量是1800m3【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键．4．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为4×104立方米，设运输公司每天运送的土石方为V(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（1）V与t之间有怎样的函数关系？（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，如果需要提前4天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？【答案】（1）V=40000t；（2）至少需要增派【分析】（1）根据工作量×时间=土石方总量可得Vt=10（2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，根据题意列方程即可．【详解】解：（1）∵V⋅t=40000，∴V=40000∴V是t的反比例函数；（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，需要40000÷(20×100)=20天才能完成任务，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加x辆卡车，40000−20×100×8=(20−8−4)×(20+x)×100，解得：x=10，答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务．【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式．5．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）.（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？【答案】（1）y=9000【分析】（1）直接利用每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天），总数为9000，进而得出答案；（2）利用反比例函数的增减性进行求解．【详解】解：（1）由题意得：xy=9000，即y=9000∴y与x之间的函数关系式为y=9000（2）由题意，得0<x≤60−10，即0<x≤50，对于函数y=9000∵k=9000>0，∴当0<x≤50时，y的值随x值的增大而减小∴y≥900050答：装配车间每天至少要组装180台空调．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数增减性进行分析是解题关键．6．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？【答案】(1)y＝1200x【分析】(1)根据图像找到反比例图象上点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出答案；(2)由第一问可计算出工程的总工作量，再根据题目中的工作效率，可计算出所需的工作时间；(3)第一问中可计算出工作的总量，再由条件中的工作时间，可计算出工程所需的工作效率.【详解】解：(1)设y＝kx∵点(24，50)在其图象上，∴所求函数表达式为y＝1200x(2)由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200(m)；2台挖掘机需要1200÷(2×30)＝20天；(3)1200÷10＝120(m)．故每天至少要完成120m．【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键.【经典例题六表格问题】1．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：（千米/小时）50607580（小时）6543.75(1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米；(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式；(3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．【答案】(1)300(2)(3)不能，理由见解析【分析】（1）根据即可得s的值；（2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可；（3）根据时间t=2.5，求出速度，即可判断．【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵∴s=300，∴该公司到杭州市场的路程为300千米；故答案为：300；（2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设，∵v=75时，t=4，∴k=75×4=300，∴；（3）解：不能．理由如下：∵107.5=2.5（小时），∴t=2.5时，，∵120＞100，∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键．2．（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：x（元/升）3456y（升）200150120100(1)求y关于x的函数关系式；(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为

①求h关于x的函数关系式；②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？【答案】(1)(2)①；②500升【分析】（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是600，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；（2）①用两种方式表示日销售量即可列方程求解；②根据题意先求出日销售利润，再求出最大销售量，进一步可得出结论．【详解】（1）反比例函数能表示其变化规律．设y关于x的函数关系式为（0）将，代入得，∴；（2）①液体原料的日销售量为升，∴，∴，②设此液体原料的日销售利润为W（元），由题意可得，∵，∴当时，W有最大值，此时最大日销售量为，∵该液体原料按最大日销售利润销售20天，∴长方体容器中剩余液体原料为（升）【点睛】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解答此类题目的关键是仔细理解题意．3．（2023春·九年级课时练习）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：投入维护资金x（万元）2.5344.5产品成本y（万元/件）7.264.54(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．(2)2022年，按照这种变化规律：①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．【答案】(1)反比例函数，理由见解析，(2)①3.6万元/件；②6万元以上【分析】（1）设利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；再设（k为常数，），求出解析式代入对应值验证即可；（2）①将x=5代入计算可得；②将y=3代入计算可得．【详解】（1）设（k，b为常数，），∴，解这个方程组得，∴．当时，．∴一次函数不能表示其变化规律．设（k为常数，），∴，∴，∴．当时，；当时，；当时；∴所求函数为反比例函数．（2）①当时，，∴甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件．②当时，，∵，∴x，∴需要投入维护资金6万元以上．【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键．4．（2023春·全国·九年级专题练习）某公司生产一种医疗器械，平均每台器械的生产时间为6分钟．为了提高生产效率，该公司引进一批新的生产设备，安装后需要进行调试．已知生产每台医疗器械所需的平均时间y（单位：分钟）与调试次数x（单位：次）的函数关系是（k为非0常数），调试次数x，调试后平均每台医疗器械生产所需时间y及相应的k的数据如下表：x1234…y13874…k12141812…(1)如果要使表中有尽可能多的数据满足函数关系，则函数解析式为______；(2)如果要使k与其表中相应具体数据的差的平方和最小，求此时的函数解析式；(3)要使这种器械的生产效率提高60%，你认为调式多少次比较合适？【答案】(1)y=+1(2)此时函数关系式为y=+1；(3)调式5次比较合适．【分析】（1）由表中的数据看出，12出现次数最多，k取12，据此可求得函数解析式；（2）根据题意得到k与其表中相应具体数据的差的平方和为w=4(x14)2+24，再根据二次函数的性质求解即可；（3）设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，根据题意列分式方程，求解得到a=，再代入两个解析式，进一步求解即可．【详解】（1）解：要尽可能多的数据满足函数关系，由表中的数据看出，12出现次数最多，∴k取12，∴函数关系式为y=+1，故答案为：y=+1；（2）解：依题意知：k与其表中相应具体数据的差的平方和为w=(k12)2+(k14)2+(k18)2+(k12)2=4k2112k+808=4(x14)2+24，∴当k=14时，原式w取最小值，∴此时函数关系式为y=+1；（3）解：设生产效率提高60％后，需a分钟生产1台器械，则=60%，解得：a=，经检验是原方程的解，将y=代入y=+1，得：=+1，解得：x=，经检验是原方程的解，将y=代入y=+1，得：=+1，解得：x=，经检验是原方程的解，综合考虑，调式5次比较合适．【点睛】本题考查了反比例的应用，二次函数的性质，分式方程的应用，解决问题的关键是掌握图象和解析式的关系，读懂表格中的数据．5．（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知某品牌运动鞋每双进价120元，为求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表：第1天第2天第3天第4天售价x（元/双）150200250300销售量y（双）40302420（1）表中数据x、y满足什么函数关系式？请求出这个函数关系式；（2）若每天销售利润为3000元，则单价应定为多少元？【答案】（1）y＝；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．【分析】（1）根据表中的数据可以判断x与y的函数关系，本题即可解决；（2）根据题意列出方程进行求解即可得到答案.【详解】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，∴y＝，∴y是x的反比例函数，y与x之间的函数关系式为y＝；（2）由题意得，（x﹣120）•＝3000，∴解得，x＝240；经检验，x＝240是原方程的根，∴单价应定为240元.答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.6．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某厂从2011年起开始投入技改资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表所示：年度2011201220132014投入技改资金/万元2.5344.5产品成本/（万元/件）7.264.54（1）请认真分析表中的数据，从你学过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的表达式；（2）按照这种变化规律，2015年已投入技改资金5万元．①预计产品成本每件比2014年降低多少万元？②如果打算在2015年把每件产品的成本降低到3.2万元，那么还需投入技改资金多少万元？（精确到0.01万元）【答案】（1）反比例函数能表示其变化规律，表达式为：y=；（2）①0.4万元；②0.63万元【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；（2）①直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；②直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解．【详解】（1）设y=kx+b，（k、b为常数，k≠0），∴，解这个方程组得，∴y=−1.5x+10.5，当x=2.5时，可得y=6.75≠7.2，∴一次函数不能表示其变化规律，设y=，（k为常数，k≠0），∴7.2=，∴k=18，∴y=，当x=3时，y=6；当x=4时，y=4.5；当x=4.5时，y=4；∴所求函数为反比例函数y=；（2）①当x=5时，y=3.6，4−3.6=0.4（万元），∴比2014年降低0.4万元；②当y=3.2时，x=5.625，5.625−5=0.625≈0.63（万元），∴还需要投入技改资金约0.63万元，答：要把每件产品的成本降低到3.2万元，还需投入技改资金约0.63万元．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值，要注意用排除法确定函数的类型．7．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数（度）是镜片焦距（厘米）（）的反比例函数，调查数据如下表：眼镜片度数（度）…镜片焦距（厘米）…（1）求与的函数表达式；（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为度，求该镜片的焦距．【答案】（1），；（2）该镜片的焦距为．【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．【详解】（1）根据题意，设与的函数表达式为把，代入中，得∴与的函数表达式为．（2）当时，答：该镜片的焦距为．【点睛】考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键．【经典例题七反比例函数实际综合问题】1．（2022·广东·九年级统考竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（

）A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒【答案】C【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项．【详解】对于A，由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故A正确，对于B，当时，，解得，故，当时，，解得，故，综上所述，，若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确，对于C，当时，，当时，，故C错误，对于D，∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴有最小值，∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．故选C【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．2．（2020下·江苏苏州·八年级校联考期中）两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（

）A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039【答案】A【分析】主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出分别为1、3、5时的值，即可求出当时的值，再将其代入中即可求出．【详解】解：当时，、、…分别为6、2、…将、、…代入，得：、、…，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数y=（k≠0）的图像是双曲线；图像上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．3．（2022上·重庆铜梁·九年级重庆市巴川中学校校考开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有吨．【答案】376【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨．【详解】解：设甲车每次运吨，乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，乙车每次运（吨，丙车每次运吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，丁车每次运吨，，，，都是整数，是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次，甲车共运输了120吨，，，根据题意得：，当最小时，取最大值，时，最大为（吨，这批建筑材料最多有376吨，故答案为：376．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键．4．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为．【答案】4【分析】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N．将C(3,4)代入可得b=2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在上，即可求得a的值.【详解】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=2，所以y=2x2，令y=0，则0=2x2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM，BN=CM，∵C(3，4)，∴设AN=m，CM=n，则有，解得，∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线过点B，∴k=4，∴，∵将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)，∴a=4，故答案为4.【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.5．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点．若点的坐标为，且．

(1)求反比例函数的表达式；(2)设点是线段上的动点（不与点、重合），过点且平行轴的直线与反比例函数的图象交于点，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入到中，即可求出值，进而求出反比例函数的表达式；（2）根据点，，点为的中点，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，设点，由题意得到，得，进而得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出结果．【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，，∴反比例函数的表达式为．（2）解：如图，

，，，点是的中点，，设直线解析式为，，，直线解析式为，点在线段上且不与，重合，设点，，点在反比例函数上，设点，，，，，当时，最大，最大值为．【点睛】本题为一次函数、反比例函数、二次函数的综合应用，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的表达式，二次函数的性质等知识，熟知相关知识并灵活运用是解题关键．6．（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试）确定有效消毒的时间段背景素材预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．x…123…y…34…

表1问题解决任务1确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．任务2初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．任务3若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．【答案】任务1：；；任务2：；任务3：或．【分析】任务1：利用待定系数法求解即可；任务2：求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；任务3：分当和、时，三种情况讨论，求解即可．【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时，设，把，代入，得，解得，∴；设当药物释放后（即）时，设，把代入，得，解得，∴；任务2：把分别代入，得，解得，由图象，得；任务3：（1）当时，把代入，得，解得；把代入，得，满足题意；．（2）时，把代入，得，解得（舍去）；∴无解；（3）时，（即）①把代入，得，解得；把代入，解得，满足要求（），∴；②把代入，得，解得；把代入，解得，满足要求（），∴．综上，或．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【培优检测】1．（2023上·全国·九年级专题练习）某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（）A．4 B．5 C．10 D．0【答案】A【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可．【详解】解：由题意，设，∴，∴；∴当时，．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的定义是解题关键．2．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（

）．

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据反比例函数图象，并结合物理学科中的电流等于电压除以电阻的知识点即可求解．【详解】解：设，∵图象过，∴，∵，∴蓄电池的电压是，∴选项A、B错误，不符合题意；当时，，∴选项C错误，不符合题意；当时，，由图象可知：当时，，∴选项D正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和图象，并利用物理学科中电流、电压、电阻之间的关系是解本题的关键．3．（2023下·河南洛阳·八年级统考期末）在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压．海拔高度不同，大气压强也不同，如图是大气压强随海拔高度变化的关系图象，观察图象可知，下列说法正确的是（

）A．大气压强与海拔高度成反比例函数关系B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大C．海拔高度为时，大气压强约为D．海拔高度为时，大气压强为【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可判断A；根据图象的变化趋势即可判断B；根据表格数据即可判断C；根据图象趋势即可判断D．【详解】解：A、根据图象可知图象经过，，，，，，横坐标与纵坐标的积不相等，所以结论错误，故此选项不符合题意；B、根据图象可以看出，随着海拔高度的增大，大气压强也随之减小，所以结论错误，故此选项不符合题意；C、根据图象可以看出，当时，大气压强，所以结论正确，故此选项符合题意；D、根据图象可以看出，，，所以结论错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．4．（2023下·山西长治·九年级校考阶段练习）随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（

）

A．4小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【分析】先求出正比例函数解析式，反比例函数解析式，令，确定两个函数自变量的值，其差就是持续的时间．【详解】设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，把分别代入解析式，得，解得，故函数的解析式为，当时，，解得，故持续时间为（小时），故选C．【点睛】本题考查了正比例函数解析式，反比例函数解析式的确定，应用，熟练掌握解析式的确定和应用是解题的关键．5．（2023·广东江门·校考三模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求得解析式，进而观察函数图象，根据反比例函数的性质，即可判断②③④【详解】解：根据函数图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，得，∴与的函数关系式是，故①错误；观察函数图象，随着的增大而减小，则时，，故②错误③当时，，故③错误④当时，,则当时，的取值范围是．故④正确，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6．（2022上·山西吕梁·九年级校考阶段练习）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围．【答案】【分析】利用待定系数法求出比例函数解析式，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案．【详解】解：设反比例函数解析式，由图象可知，反比例函数经过点，，，在第一象限内，P随V的增大而减小，当时，，气球内的气压大于时，气球将爆炸，，此时，气体的体积的取值范围为，故答案为：，【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．7．（2023·浙江台州·统考一模）小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为．

【答案】【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式为，则，，则，即可得到答案．【详解】解：如图，

由图1可得，则，由图2可得，则，∴，故答案为：【点睛】此题考查了反比例函数的应用，准确列出等式是解题的关键．8．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，与成正比例，燃烧完后与成反比例．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量，当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过后教室内的空气才能达到安全要求．

【答案】【分析】设药物燃烧后与之间的解析式为，把点代入即可，把代入反比例函数解析式，求出相应的，此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．【详解】解：设药物燃烧后与之间的解析式为，把点代入得，解得：，∴关于的函数关系式为：，当时，由得：，所以分钟后教室内的空气才能达到安全要求，故答案为：．9．（2022上·山东潍坊·九年级统考期末）饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是．【答案】【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间x的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论．【详解】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：，依据题意，得，解得：，故此函数解析式为：；在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，依据题意，得：，解得：，∴，当时，，解得：，∵，∴当时，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．10．（2023上·河北保定·九年级统考期末）如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作（n为1~11的整数），函数的图象为L．（1）若L过点，则；（2）若L过，则L一定过另一点，则；（3）若L使得这些点分布在它的两侧，且一侧5个点一侧6个点，请写出符合要求的k的所有整数值：．【答案】12917【分析】（1）先确定的坐标，然后根据反比例函数即可确